Меню

Алгебраические выражения одночлен и многочлен

Многочлен стандартного вида

О чем эта статья:

Определение многочлена

Многочлен — это сумма одночленов. Получается, что многочлен — не что иное, как несколько одночленов, собранных «под одной крышей».

Одночлен — это частный случай многочлена.

Рассмотрим примеры многочленов:

  • 15x + 7x 4ab — b + 3

Если многочлен состоит из двух одночленов, его называют двучленом:

  • 10x – 3×2
  • 10x — одночлен
  • – 3×2 — одночлен

Многочлен — это сумма одночленов, поэтому знак «минус» относится к числовому коэффициенту одночлена. Именно поэтому мы записываем – 3×2, а не просто 3×2.

Этот же многочлен можно записать вот так:

  • 10x – 3×2 = 10x – 3 x = 10 x + (-3x).

Это значит, что каждый одночлен важно рассматривать вместе со знаком, который перед ним стоит.

Многочлен вида 10x – 3×2 + 7 называется трехчленом.

Линейный двучлен — это многочлен первой степени: ax + b. a и b здесь — некоторые числа, x — переменная.

Если разделить многочлен с переменной x на линейный двучлен x – b (где b — некоторое положительное или отрицательное число) — остаток будет только многочленом нулевой степени. То есть некоторым числом N, которое можно определить без поиска частного.

Если многочлен содержит обычное число — это число является свободным членом многочлена.

  • Например, в многочлене 6a + 2b -x + 2 число 2 — свободный член.

Свободный член многочлена не имеет буквенной части. Кроме того, любое числовое выражение — это многочлен. Например, вот такие числовые выражения — тоже многочлены:

  • 16 + 13 (7 — 2) * 9 (25 + 25) : 5

Такие выражения состоят из свободных членов.

Многочлен стандартного вида

Недостаточно просто знать, что такое многочлен и что такое одночлен. Это целая алгебраическая экосистема, где у всего есть названия, определения и особенности.

Давайте разберемся, что такое многочлен стандартного вида. Многочленом стандартного вида называют многочлен, каждый член которого имеет одночлен стандартного вида и не содержит подобных членов.

Получается, что всякий многочлен можно привести к стандартному виду. Таким образом можно получить многочлен, работать с которым гораздо проще и приятнее.

К стандартному виду многочлен приводится очень просто. Нужно лишь привести в нем подобные слагаемые.

Подобные слагаемые — это подобные члены многочлена. Приведение подобных слагаемых в многочлене — приведение его подобных членов. Тут же возникает резонный вопрос: Что такое подобные члены многочлена? Это члены с одинаковой буквенной частью.

Давайте разберем на примере, как «нестандартный» многочлен приводится к стандартному виду.

Дан красавец многочлен: 3x + 5xy2 + x – xy2

Приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

  • 3x и x — подобные слагаемые.
  • 5xy2 и – xy2 — подобные слагаемые.

Получаем многочлен вот такого вида: 3x + 5xy2 + x – xy2 = 4x + 4xy2 .

Как видите, в получившемся многочлене нет подобных членов. Такой многочлен — это многочлен стандартного вида.

Степень многочлена

Многочлен может иметь степень — имеет на это полное право.

Степень многочлена стандартного вида — это наибольшая из степеней, входящих в него одночленов.

Из определения можно сделать вывод, что степень многочлена возможно определить только после приведения его к стандартному виду.

  1. Приводим многочлен к стандартному виду.
  2. Выбираем одночлен с наибольшей степенью.

Рассмотрим на примере:

Дан многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2

Сначала приводим многочлен к стандартному виду — для этого приводим подобные слагаемые:

  • 6x и x — подобные слагаемые
  • 4xy2 и xy2 — подобные слагаемые

Получаем многочлен стандартного вида 6x + 4xy2 + x + xy2 = 7x + 5xy2.

  • Степень первого одночлена (7x) — 1.
  • Степень второго одночлена (5xy2) — 2.
  • Наибольшая из двух степеней — 2.

Отсюда делаем вывод, что многочлен 7x + 5xy2 — многочлен второй степени.

Кроме того, можно сделать вывод, что и исходный многочлен 6x + 4xy2 + x + xy2 — многочлен второй степени, поскольку оба многочлена равны друг другу.

В некоторых случаях необходимо сначала привести к стандартному виду одночлены многочлена, а затем уже и сам многочлен.

Пример:

Дан многочлен 6xx3 + 5xx2 — 3xx3 — 3x2x

Приведем его к стандартному виду: 6xx3 + 5xx2 — 3xx3 — 3x2x = 6×4 + 5×3 — 3×4 — 3×3

Получившийся многочлен без труда приводим к стандартному виду. Приводим подобные слагаемые:

  • 5×3 и -3×3 — подобные слагаемые.
  • 6×4 и -3×4 — подобные слагаемые.
  • 6×4 + 3×3 — 3×4 — 3×3 = 3×4 — 2×3
  • 6xx3 + 5xx2 — 3xx3 — 3x2x — многочлен четвертой степени.

Коэффициенты многочлена

Коэффициенты членов многочлена — это числа, которые указаны перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена = 1.

Иными словами — коэффициенты членов многочлена — это члены многочлена, представленные в виде стандартных одночленов.

Читайте также:  Что такое региональные сети Виды региональных сетей

Например:

Дан многочлен 2x + 5x — 18y

Все одночлены имеют стандартный вид. 2, 5 и 18 — коэффициенты членов данного многочлена.

Кажется, со стандартным видом многочлена все понятно. Чтобы без труда приводить любой многочлен к стандартному виду, нужно потренироваться, ведь в 7 классе только и разговоров, что о многочленах. Давайте разберем несколько примеров. Попробуйте решить их самостоятельно, сверяясь с ответами.

Задание раз. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 4x + 6xy2 + x – xy2.

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

  • 4x и x — подобные слагаемые.
  • 6xy2 и – xy2 — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 4x + 6xy2 + x – xy2 = 5x + 5xy2.

Ответ: стандартный вид многочлена 5x + 5xy2. Данный многочлен — многочлен второй степени.

Задание два. Приведите многочлен к стандартному виду: 2x2y3 — xy3 – x4 – x2y3 + xy3 + 2×4.

Как решаем: сначала необходимо привести все одночлены к стандартному виду: 2x2y3 — xy3 – x4 – x2y3 + xy3 + 2×4 = ( – x4 2×4) + (2x2y3 — xy3 ) + ( — xy3 +xy3 ) = x4 + x2y3 + 0 = x4 + x2y3.

Многочлен приведен к стандартному виду.

Задание три. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: 8x + 8xy2 — x + xy2.

Как решаем: приведем подобные слагаемые. Для этого найдем все члены с одинаковыми буквенными составляющими:

  • 8x и -x — подобные слагаемые.
  • 8xy2 и xy2 — подобные слагаемые.

Получаем многочлен стандартного вида: 8x + 8xy2 — x + xy2 = 7x + 9xy2 .

Ответ: стандартный вид многочлена 7x + 9xy2 , данный многочлен — многочлен второй степени.

Разобраться в многочленах не так-то просто. В этой теме немало нюансов и подводных камней. Чтобы не запутаться в множестве похожих одно на другое определений, побольше практикуйтесь. Чтобы перейти на следующую ступень и начать выполнение арифметических действий с многочленами, важно научиться приводить многочлен к стандартному виду.

Источник

Алгебраические выражения, одночлен и многочлен

Одночлен

Определение: называется конечный произведение чисел, букв и их натуральных степеней, а также сами числа, буквы и их степени.

Нулевой одночлен — число 0.

Определение: — это сумма показателей букв, что входит в одночлен. Если одночленом является число, что не равно нулю, то его степень считается равным нулю.

Одночлен записан в стандартном виде, если первый множитель есть число, называется

— одночлен в стандартном виде

Подобные одночлен, если они равны между собой или различаются только своими коэффициентами.

Действия над одночленами

Возведение в степень

Многочлен

Определение: — сумма конечного числа одночлен (каждый из которых называется членом многочлена).

Одночлен, состоящие из одного члена также считаются многочленами.

Число 0 называется нулевым многочленом

Примеры многочленов

— многочлены

— многочлены, состоящие из одного члена

Определение: —наибольший степень из степеней его членов (одночлен).

— многочлен третьей степени (поскольку наибольший степень — третий)

Нулевой многочлен (0) степени не имеет.

Действия над многочленами

Тождественно равные многочлены

Определение: Два многочлена — если они приобретают рвних значений при любых значениях букв.

Разложение многочлена на множители

  1. Вынесение общего множителя за скобку

Использование формул сокращенного умножения

Источник



Одночлены и многочлены

Одночлены и многочлены от одной переменной

Одночленом (мономом) от переменной x называют целую неотрицательную степень переменной x , умноженную на число.

Показатель степени, в которую возведена переменная x, называют степенью одночлена , а числовой множитель – коэффициентом одночлена .

Если в одночлене степень переменной x не умножена ни на какое число, то считается, что коэффициент одночлена равен 1.

Степень одночлена, являющегося числом, равняется нулю.

Примеры одночленов от переменной x:

Алгебраической суммой одночленов от переменной x называют один или несколько одночленов, соединенных между собой знаками сложения и вычитания. Аналогично определяется алгебраическая сумма чисел.

Алгебраическую сумму одночленов от переменной x также называют многочленом или полиномом от переменной x. Например, многочленом является выражение

Степенью многочлена называют наивысшую степень входящих в него одночленов.

В частности, многочлен

где буквами a и b обозначены произвольные числа, причем число a отлично от нуля, является многочленом первой степени.

где буквами a, b и c обозначены произвольные числа, причем число a отлично от нуля, является многочленом второй степени и называется квадратным трехчленом .

Двучленом называется многочлен, состоящий из двух одночленов, трехчленом называется многочлен, состоящий из трех одночленов.

Многочлен всегда можно расположить по возрастанию или по убыванию степеней входящих в него одночленов:

Число α называется корнем многочлена p(x) , если

Например, квадратный трехчлен

имеет два корня x = 1 и x = 2 .

Одночлены и многочлены от нескольких переменных

Одночленом (мономом) от переменных x1 , x2 , … , xn называют выражение вида:

Читайте также:  Таблица оксидов солей основ и кислот

где c – произвольное число, называемое коэффициентом одночлена , а символами

Таким образом, одночлен от нескольких переменных является произведением числа на несколько букв, каждая из которых входит в одночлен в целой неотрицательной степени.

Степенью одночлена называют сумму степеней всех входящих в него букв, т.е. сумму целых неотрицательных чисел:

Число c называют коэффициентом одночлена .

Пример . Степень одночлена

равна 3, а коэффициент равен – 0,83 .

Два одночлена равны , если, во-первых, у них равны коэффициенты, а во-вторых, одночлены состоят из одних и тех же букв, которые входят в них с соответственно равными показателями степеней.

Алгебраическая сумма одночленов от нескольких переменных носит название многочлена или полинома от нескольких переменных . Например,

Степенью многочлена от нескольких переменных называют наивысшую степень входящих в него одночленов.

В частности, степень многочлена

Многочлен от нескольких переменных называют однородным многочленом , если степени всех входящих в него одночленов равны. В этом случае степень многочлена равна степени каждого входящего в него одночлена.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Обобщение и систематизация знаний по теме «Одночлены, многочлены»

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Алгебраические выражения.
  • Числовые и буквенные выражения.
  • Многочлен и одночлен.
  • Действия с многочленами и одночленами (сложение, вычитание, умножение).
  • Стандартный вид одночлена и многочлена.
  • Разложение многочленов на множители.
  • Целые выражения.

Числовое выражение – это выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок.

Значение числового выражения – результат выполненных арифметических действий в числовом выражении.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел.

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Подобные одночлены – одночлены, которые состоят из одних и тех же букв, в одинаковых степенях, но с разными или одинаковыми коэффициентами (числовыми множителями).

Многочлен – сумма одночленов.

Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом многочлена.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Вынесением за скобки общего множителя многочлена – называют преобразование многочлена в произведение одночлена и многочлена.

Разложением многочлена на множители, называют его преобразование в произведение двух или нескольких многочленов.

Целое выражение – такое алгебраическое выражение, в котором многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Числовые, буквенные, алгебраические и целые выражения – все эти понятия объединяет общая тема: «Одночлены и многочлены».Сегодня мы вспомним, что такое одночлен и многочлен и какие действия с ними можно выполнять.

Для начала вспомним, что называют числовым выражением.

Числовое выражение – выражение, состоящее из чисел, знаков математических действий и скобок. Если в данных выражениях выполнить все действия, т.е. получить ответ в видедействительного числа, то говорят, что получено значение числового выражения.

25 – (2 + 14 : 7 · 3) – числовое выражение.

17 –значение числового выражения.

Но бывают числовые выражения, которые не имеют смысла.

Выражение 245 : (25 – 12,5 : 0,5) не имеет смысла, т.к. на ноль делить нельзя:

Вспомним, какое выражение называют буквенным.

Буквенное выражение – выражение, состоящее из букв, чисел, знаков математических действий и скобок.

Стоит отметить, что буквенные и числовые выражения называют алгебраическими выражениями.

Если взять два алгебраических выражения и соединить их знаками арифметических действий (сложения, вычитания, умножения или деления), то получится алгебраическое выражение.

(2 +36 : с) + (23 – 58 · 23) – сумма алгебраических выражений.

(2 + 36 : с) – (23 – 58 · 23) – разность алгебраических выражений.

(2 + 36 : с)(23 – 58 · 23) – произведение алгебраических выражений.

(2 + 36 : с) : (23 – 58 · 23) – частное алгебраических выражений.

Вспомним, что такое одночлен и многочлен.

Одночлен – это алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел.

Буквы и числа называют множителями одночлена.

Читайте также:  Классический способ смены системы счисления

Например, 20 · х · с– одночлен.

Сформулируем некоторые свойства одночленов.

1. Два одночлена считаются равными, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей.

(-12,3) асх = а(-12,3)хс

2. Два одночлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой некоторых его числовых множителей их произведением.

-24kх = 6 · х · (-4) · k

3. Одночлен считается равным нулю, если среди его множителей есть число ноль. Такой одночлен называется нулевым.

Например, 2х · 0с = 0 – нулевой одночлен.

4. Два одночлена считаются равными, если один получен из другого путём опускания множителя 1.

5. Два одночлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой произведения множителей, каждый из которых есть одна та же буква, соответствующей степенью этой буквы.

14ас · асх = 14асасх = 14а 2 с 2 х.

6. Если перед одночленом поставить знак «+», то получится одночлен, равный исходному.

7. А если поставить перед одночленом знак «–», то получится одночлен, равный исходному, умноженному на число (-1).

При этом одночлены, которые отличаются лишь знаками, называются противоположными.

ах и -ах – противоположные одночлены.

Вспомним определение многочлена.

Многочлен – сумма одночленов.

2a 2 bc 3 +ху 4 + 1,2ср – 9

Сформулируем некоторые свойства многочленов.

1. Члены многочлена можно менять местами.

2abc + 3kх = 3kх + 2abc

2. Если прибавить к многочлену ноль, то он не изменится.

3. В многочлене можно приводить подобные члены.

2ас + 4ас + kх – 3kх = (2+4)ас + (1+(-3))kх = 6ас – 2kх

Многочлен и одночлен можно привести к стандартному виду.

Многочлен стандартного вида – это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в котором это произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных.

Вспомним ещё одно понятие – степень многочлена и одночлена.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, входящих в этот многочлен.

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех букв, которые входят в его запись.

14a 2 bc 3 + 7kх – многочлен 6 степени.

15х 2 у 3 – одночлен 5 степени.

С многочленами можно выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение.

Действия с многочленами.

(6а + х) + (4а – с) = 6а+х+4а – с = 10а + с + х – сумма многочленов.

(6а+х) – (4а – с)= 6а+х – 4а+с= 2а +с +х – разность многочленов.

(6а+х)(4а – с)= 6а∙4а+ 6а∙(-с)+х∙4а+х∙(-с) =24а 2 – 6ас + 4ах – сх – произведение многочленов.

Стоит отметить, что алгебраические выражения называют целыми, если многочлены в нём соединены знаками сложения, вычитания и умножения.

(а + с)(а – х) + 2аk + (4k – х)

4а(5k – х) – (12а + 4с)

Итак, сегодня мы повторили различные виды выражений, вспомнили, что значит стандартный вид многочленов и одночленов. Переходим к тренировочным заданиям.

Докажем следующее тождество:

(х 5 – 1)= (х – 1)(х 4 + х 3 + х 2 + х + 1).

Для доказательства возьмём правую часть равенства, преобразуем её, используя правило умножения многочленов, а затем приведём подобные члены и сравним с левой частью равенства.

(х – 1)(х 4 + х 3 + х 2 + х + 1) = х ∙ х 4 + х ∙ х 3 + х ∙ х 2 + х ∙ х + х ∙ 1 + (-1) ∙ х 4 + (-1) ∙ х 3 + (-1) ∙ х 2 + (-1) ∙ х + (-1) ∙ 1 = х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + х – х 4 – х 3х 2х – 1 = х 5 + (1 – 1)х 4 + (1 – 1)х 3 + (1 – 1)х 2 + (1 – 1)х – 1 = х 5 + 0 ∙ х 4 + 0 ∙ х 3 + 0 ∙ х 2 + 0 ∙ х – 1 = х 5 – 1.

Левая и правая часть равенства равны, что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1.Каким алгебраическим выражением определяется периметр пятиугольника со сторонами: а,с, k, х,у?

Нужно вспомнить, что периметр многоугольника – это сумма всех его сторон. По условию нужно найти периметр пятиугольника со сторонами а,с, k, х,у, следовательно, найти сумму всех его сторон: а + с + k + х + у. Это и есть искомый ответ.

Ответ:а + с + k + х + у.

2. Упростите выражение: (2а + 7) (а – 1) + (а – 4) (3а + 2).

Используем правила умножения многочлена на многочлен, после выполнения умножения многочленов, приведём полученное выражение к стандартному виду.

(2а + 7) (а – 1) + (а – 4) (3а + 2) = 2а ∙ а + 2а( -1) +7∙а + 7∙( -1) + а∙ 3а + а∙ 2 +( -4)∙3а + ( -4)∙2 = 2а 2 – 2а +7а – 7 + 3а 2 +2а – 12а – 8 = 5а 2 – 5а – 15.

Источник