Беседы о комплексных числах и их смысле

Есть смысл физический и геометрический в комплексных числах — ну, для начала в геометрии его увидим. — Картинку рассмотрели, прочли её внимательно — с карандашом в руке?
Теперь рассмотрим их смысл физический на таком примере — вы гляньте на картинку, если мелкая — увеличь её масштабом. Ну так вот, смысл физический чисел комплексных — в том множестве значений этих чисел будет, которые в объёме, над плоскостью числовой можно вычислить по ФОРМУЛАМ. Самих тех чисел в реальности не будет, но значения их будут известны. Это не так уж сложно, в объёме можно ведь изображать на трёхмерной оси решения квадратных уравнений, а тут — на ПЛОСКОСТИ будет объёмное решение. Ну, типа траекторий электронов в атоме. Нет у электрона конкретной траектории, а есть вероятность нахождения в точках, на определённых расстояниях от ядра, ну, от скопления протонов в центре атома — квантовые числа, типа. — Ну, орбиты. Но обнаружить в каждой точке в момент времени определённый — электрон не получится. Как там в физике — неопределённость. Во — принцип неопределённости Гейзенберга. вот тебе (Вам) и смысл физический этих чисел, читатель мой любезный.

Довольно таки туманно это ваше «объемное решение на плоскости». Это уже не физический смысл, а математический трюк — отображение трехмерного в двумерном. А про религии не надо — я атеист.
Саша Савин 10.09.2012 16:53

Числа-то мнимые, это и есть трюк, но атом, тем не менее — материален, как и орбиты электронов, хотя обнаружить место нахождения этого электрона в некий определённый момент времени — не удастся. Так и числа на плоскости, ясно, где расположено множество с заданным значением его, и можно отобразить это значение на плоскости, — но на плоскости чисел-то самих, ну, комплексных — нет, есть лишь их «размер». Понятно, где «обитают» эти комплексные числа, соответствующие значению, каково их, так сказать, значение, отображённое в виде ординаты и абсциссы. Кстати, вот вам и многомерность миров можно иллюстрировать — вектор конкретный задал, вот вам и мир новый и конкретный. Вот планета наша и Солнечная система может быть отображением некой реальности, которая не может быть нам дана в непосредственных ощущения той реальности, и мы её можем понимать и видеть только в качестве отображения нашего мира. кстати, вот вам и модель «высшего и необнаружимого» в мире нашем — «разума». Он есть, но ощутить мы его не сможем. Вот если вся совокупность множества — это всё сущее, то есть полная информация при заданных условиях, то есть в виде констант, по которым действуют все законы природы, то наш мир — это частное проявление, и мы в нём живём. Кстати, я сам только что понял, что написал. А весь объём, значение которого мы можем лишь увидеть, как плоскость — это уже всеобъемлющий разум — БОГ и ТВОРЕЦ. Который бесконечен, и потому не может человеку весь быть известным и понятным.

Юрий Казаков 10.09.2012 18:14

Трёхмерный мир задан расстояниями. и временем. Конфигурация мира нашего зависит от скорости движения точки (максимальная скоростью — это скорость распространения электромагнитного колебания из точки, которая и формируют расстояния до любой другой точки — и это скорость света, которая в нашей вселенной постоянна, это постулат — а размер перемещения каждой точки — это и есть линия времени).
Оси — это линии, то есть — это движение точки по прямолинейной траектории.

Временная ось — определяется скоростью движения точки. В вакууме — она максимальна, и это — скорость света.

Любое тело, имеющее объём (характеризующийся длиной отрезков прямых линий, то есть временем пробега точки)- существует во времени, как совокупность всех точек одномоментно. Идеальная масса тела, в таком случае, может быть определяться временем перемещения и достижения электромагнитного колебания от любого произвольно взятого атома вещества из этого объёма до каждого атома (точки) вещества в этом же объёме. Чем медленнее скорость движения «света» в веществе, тем вещество имеет плотность большую. А массу эту, ну время пробега «фотона», можно вычислять, использую операции с комплексными числами. Как это сделать, мне пока неясно, но тем не менее, понятно, что возможность такая существует.

Н-да, вроде логично, но к чему это можно применить, и, главное — зачем?

Хотя вывод напрашивается такой, — единственная константа, которая характеризует наш мир — это скорость света в вакууме. И нет никаких других констант, все остальные — производные от этой.

Но, как оказалось, если луч мчится на зеркало, он от ужаса собственного отражения начинает вилять и сам с собой образует двойную спираль. Вот такой свет имеет одинаковую скорость. А тот, что не встретил ничего, тот догонит сам себя и ..
сам себе встанет в затылочек. Закон такой — все по честному. Скорость первая была в начале ТА САМАЯ. Ну и вот. Осталась ТОЙ САМОЙ! Поздравляю, Альберт!
Надежда Бабайлова 16.01.2017 05:37
.
А перечитать? С новой общей точки зрения.
Надежда Бабайлова 26.07.2017 16:19

— То, что сфера замкнулась на саму себя, и свет, не встретивший препятствий сам себя догнал, и образовал кольцо в пространстве — это лишь частный случай.
Юрий Казаков 26.07.2017 17:09
— Но та величина, которую обзывают постоянной Планка или Дирака — это константа лишь для того мира, в котором мы живём. Но кто вам сообщил, что универсальный закон Творящей Бесконечности не позволяет этой величине иной быть, если вселенная не замкнута, и в ней луч света неспособен сам себя догнать?
Юрий Казаков 26.07.2017 17:14

— Я хотела о комплексных числах. А про Дирака я знаю ничего))
Надежда Бабайлова 26.07.2017 17:51

В таком случАе, Баба вы Айлова, надо договориться,
— что же есть такое точка, как начало отсчёта, то есть, что из себя самого представляет некий нуль, то есть тот самый ноль, до которого не было ни времени и ни пространства, и энергия, как таковая, не существовала вовсе.
— И что такое точка, как сингулярность, то бишь когда бесконечный по своим размерам объём, или какой-либо вполне себе конечный, за счёт некой бесконечной огромной по своему значению силой, утянется в тот минимально объём пространства, плотность которого будет максимально возможной, чтоб не разорвать эту суживающуюся до точки материю.
— и что такое точка, как геометрической понятие на числовой оси.
— Ведь каждой точке должно соответствовать лишь одно число, а число мнимое, и комплексное число подразумевает бесконечное множество разных значений в неком объёме, но которые обязаны проецироваться на плоскость в одну и туже точку.
— Хотя есть ещё на числовой оси реальной числа, — но иррациональные, когда невыносимо близко с рациональным числом, скажем, с натуральным, есть числа, такие, как скажем число Пи, или корень квадратный из числа 2. Которые в мире реальном вполне обнаружимы, но определить их точно на числовой оси не представляется возможным.
— Но такое Рыбников любимый твой считает за математическое мошенничество, и что лично он создал теорию Единого Поля, но в чём существо её — пока так и не объяснил конкретно.
— Вот он утверждает, что каждый сам себе способен добыть электричество! — да, каждый способен, тут спору нет, но как добыть такой объём, чтобы его хватило и на обогрев жилья, и на освещение, и на всё прочее, про это он не говорит. Ибо ничего пока сказать не может.
Юрий Казаков 09.02.2019 17:50

Что-то мне подсказывает, что скорость света — комплексное число. тут вам и дуализм зарыт.

Это бес вам нашептал, мол, Адам, он — наг, что если скушать плод от древа познания Добра и Зла, то это вам много удовольствий принесёт. — Полуметровую резинку растянуть на метр, и найти немеряно финансов в путоте, которые включить в отчёт, — вот так дуализм, — в одно и тоже время быть в нескольких местах. Вы, прям, как банкиры из ФРС, которые доллары США готовы печатать ежесуточно, наводняя ими мир, покупая потом за эти фантики реальные богатсва.

Читайте также: Таблица десятков до 500

Да он не про то шептал. Вы плохо слушали.

Ладно, ладно, — знаю я про что бесы шепчут.

А перечитать? С новой общей точки зрения.

То, что сфера замкнулась на саму себя, и свет, не встретивший препятствий сам себя догнал, и образовал кольцо в пространстве — это лишь частный случай.

Но та величина, которую обзывают постоянной Планка или Дирака — это константа лишь для того мира, в котором мы живём. Но кто вам сообщил, что универсальный закон Творящей Бесконечности не позволяет этой величине иной быть, если вселенная не замкнута, и в ней луч света неспособен сам себя догнать?

Я хотела о комплексных числах. А про Дирака я знаю ничего))

В таком случАе, Баба вы Айлова, надо договориться,
— что же есть такое точка, как начало отсчёта, то есть, что из себя самого представляет некий нуль, то есть тот самый ноль, до которого не было ни времени и ни пространства, и энергия, как таковая не существовала вовсе.
— И что такое точка, как сингулярность, то бишь когда бесконечный по своим размерам объём, или какой-либо вполне себе конечный, за счёт некой бесконечной огромной по своему значению силой, утянется в тот минимально объём пространства, плотность которого будет максимально возможной, чтоб не разорвать эту суживающуюся до точки материю.
— и что такое точка, как геометрической понятие на числовой оси.
— Ведь каждой точке должно соответствовать лишь одно число, а число мнимое, и комплексное число подразумевает бесконечное множество разных значений в неком объёме, но которые обязаны проецироваться на плоскость в одну и туже точку.
— Хотя есть ещё на числовой оси реальной числа, — но иррациональные, когда невыносимо близко с рациональным числом, скажем, с натуральным, есть числа, такие, как скажем число Пи, или корень квадратный из числа 2. Которые в мире реальном вполне обнаружимы, но определить их точно на числовой оси не представляется возможным.
— Но такое Рыбников любимый твой считает за математическое мошенничество, и что лично он создал теорию Единого Поля, но в чём существо её — пока так и не объяснил конкретно.
— Вот он утверждает, что каждый сам себе способен добыть электричество! — да, каждый способен, тут спору нет, но как добыть такой объём, чтобы его хватило и на обогрев жилья и на освещение, и на всё прочее, про это он не говорит. Ибо ничего пока сказать не может.

Кстати, анекдот про Альберта, про того самого, Эйнштейн который.

— Этот Альберт, он даже Всевышнему Творцу ума дать смог. Помер Эйнштейн когда, то при встрече с Богом попросил у того, чтоб он формулу всего ему дал посмотреть.
— Творец не смог отказать сему гению земному, и дал эту формулу ему прочесть, написанную на скрижалях.
— Альберт читал, читал, пальцем указательным по скрижалям тем водя.
— О Боже мой, воскликнул вдруг Альберт, ведь здесь — ошибка.
— Да знаю я, — со смущением ему Всевышний отвечал. Недосмотрел я. Но ведь пытался я исправить.
— Смолчал Эйнштейн, видимо даже на том свете не захотел навечно он в дом скорби попадать.

Математики создали новую геометрию — Математики из МГУ совместно с иностранными специалистами заложили основы Нийенхейсовой геометрии – раздела математики, который тесно связан с интегрируемыми системами, алгеброй, дифференциальной геометрией и математической физикой.
Работы, поддержанные грантом РНФ, можно найти на сайте arXiv.org, сейчас они готовятся к публикации в ведущих мировых математических журналах.

В основе современной физики лежит геометрия. Так, например, теория относительности Альберта Эйнштейна связана с псевдоримановой геометрией. В этой геометрии информация о геометрической структуре записывается в виде матрицы – заключенных в таблицу элементов объекта, который изучают математики.
В такой таблице все элементы имеют два номера – номер строки, где он записан, и номер столбца. Так же, как в Экселе.

Компоненты, то есть значения элементов таблицы, меняются от точки к точке.
Если размерность пространства, например, три (длина, ширина и высота), то размер такой матрицы 3 на 3, то есть у нее 9 параметров. На матрицу накладывается дополнительное условие – симметричность.
Это значит, что элементы матрицы, симметричные относительно диагонали, одинаковы.
Это значит, что количество параметров не 9, а 6.
Свою теорию относительности Альберт Эйнштейн формулировал именно в терминах псевдоримановой геометрии – это ее математический инструментарий.
Он объединил пространство и время, получив четырехмерный объект, поэтому матрица у него имеет размер 4 на 4.
В свою очередь, уравнение Эйнштейна описывает гравитацию через компоненты матрицы.
Именно его численно решают астрофизики, когда пытаются описать поведение физических объектов в окрестности черных дыр.

Другая геометрия, которую используют в классической механике и частично в квантовой, называется Пуассоновой геометрией.
В ней вся геометрическая информация содержится в матрице, которая в этом случае не симметрична, а кососимметрична.
Это означает, что на месте ij в этой матрице стоит та же функция, что и на ji, только взятая со знаком минус.
На компоненты этой матрицы наложены дополнительные условия – система дифференциальных тождеств Якоби.

Пуассонова геометрия возникла сначала как инструмент в теории динамических систем.
Сейчас ее используют, например, в теории деформационного квантования, за создание которой известный французский математик российского происхождения Максим Концевич получил премию Филдса и дважды премию Миллера (один раз – за физическую часть, другой раз – как раз за соответствующий математический инструментарий).
Эта теория позволяет комплексно подходить к переходу от классической физики к квантовой.
Сегодня в этом направлении множество вопросов, которые активно изучаются.

«В своих работах мы обратились к геометрии, где информация о структуре также содержится в матрице.
Важное отличие в том, что это за матрица, — объясняет Андрей Коняев, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальной геометрии мехмата МГУ имени М.В. Ломоносова.
— Традиционно матрицами в математике записывают три разных объекта – билинейная форма, 2-вектор и оператор.
Матрицами их записывают потому, что эти объекты называются тензорами и правильно преобразуются при замене координат.
В псевдоримановой геометрии фигурируют билинейная форма, в пуассоновой – 2-вектор, а в новой геометрии, которая получила название Нийенхейсовой, речь про операторы».

Представьте себе обычную материю: кусочек скатерти или полотенце.
Оно состоит из переплетенных нитей. Часть нитей идет, условно, слева направо, а часть – сверху вниз.
Если скатерть повидала виды, то на ней есть зацепки, стяжки.
Двумерное пространство с оператором Нийнехейса представляет собой что-то похожее – через каждую точку протянуты нити.
В этом смысле теорема о расщеплении говорит, как локально устроено плетение нашей «скатерти», а изучение особых точек (теорема о линеаризации) – какие бывают простейшие узелки и зацепки.

На матрицу в нийенхейсовой геометрии тоже наложены некоторые условия, которые были открыты Альбертом Нийенхейсом еще в 50-х годах прошлого века.
Несмотря на то, что этот объект был в распоряжении математиков последние 60 лет, он рассматривался как некий вспомогательный объект для решения других задач.

Похожая ситуация была с пуассоновой геометрией в 70-х годах прошлого века до тех пор, пока нескольким математикам не удалось заложить фундамент пуассоновой геометрии.
Этот фундамент – некоторый набор базовых теорем, которые раскрывают богатство структуры и демонстрируют потенциал для ее изучения.

Одним из таких ученых был Алан Вайнштейн.
Ему удалось доказать так называемую теорему о расщеплении и заложить основы линеаризации – обе эти математические идеи позже превратились в целые направления.

«В новых работах удалось получить похожие по глубине результаты – теорему о расщеплении для операторов Нийнехейса, а также сформулировать и в некоторых случаях решить проблему линеаризации.
В этих же работах мы продемонстрировали глубокие связи полученных результатов с другими областями математики и математической физики».

Ясно, что победит лаконизм и простота. Смотреть внимательно надо на ткачей и бабушек, вяжущих носки.

Источник

Мнимая единица. Степени мнимой единицы.

Мнимая единица.Степени мнимой единицы.

Мнимой единицей называется число i, такое что

Мнимая единица не принадлежит привычному нам множеству действительных чисел, а используется для его расширения.

Степени мнимой единицы.

Рассмотрим несколько степеней мнимой единицы, чтобы стало ясно, как с ней работать:

-1

-i

-1

-i

Примечательно то, что любой многочлен имеет корни, если брать в рассчет мнимую единицу, а именно, число корней равно степени многочлена, с точностью до кратности корней.

Источник

Просто о сложном: комплексные числа

Комплексные числа всегда меня занимали. Как и с понятием экспоненты, большинство определений подпадали под одну из двух категорий:

это математическая абстракция, всё упирается в формулы. Смиритесь.
это используется в продвинутой физике, поверьте. Просто дождитесь университета.

Какой хороший способ привлечь деток к математике! Сегодня мы возьмем эту тему штурмом, используя наши любимые инструменты:

Будем основываться на связях, а не на механических формулах.
Рассмотрим комплексные числа как дополнение к нашей системе счисления, такому же, как ноль, дробные или отрицательные числа.
Визуализируем идеи в графиках, чтобы лучше понять суть, а не просто изложим сухим текстом.

И наше секретное оружие: изучение по аналогии. Мы доберемся до комплексных чисел, начав с их предков, отрицательных чисел. Вот вам небольшое руководство:

Пока что смысла в этой таблице мало, но пусть она будет рядом. К концу статьи всё станет на свои места.

Давайте действительно поймем, что такое отрицательные числа

Отрицательные числа не так просты. Представьте, что вы — европейский математик в XVIII веке. У вас есть 3 и 4, и вы можете написать 4 – 3 = 1. Всё просто.

Но сколько будет 3 – 4? Что, собственно, это означает? Как можно отнять 4 коровы от 3? Как можно иметь меньше, чем ничего?

Отрицательные числа рассматривались как полная чушь, что-то, что «бросало тень на всю теорию уравнений» (Фрэнсис Масерес, 1759). Сегодня было бы полной чушью думать об отрицательных числах, как о чем-то нелогичном и неполезном. Спросите вашего учителя, нарушают ли отрицательные числа основы математики.

Что же произошло? Мы изобрели теоретическое число, которое обладало полезными свойствами. Отрицательные числа нельзя потрогать или ощутить, но они хорошо описывают определенные связи (как задолженность, например). Это очень полезная выдумка.

Вместо того, чтобы сказать «Я должен вам 30», и читать слова, чтобы понять в плюсе я или в минусе, я могу просто записать «-30», и знать, что это означает. Если я заработаю деньги и оплачу свои долги (-30 + 100 = 70), я смогу легко записать эту транзакцию несколькими символами. У меня останется +70.

Знаки плюса и минуса автоматически фиксируют направление — вам не нужно целое предложение, чтобы описать изменения после каждой транзакции. Математика стала проще, элегантнее. Стало не важно, являются ли отрицательные числа «осязаемыми» — у них есть полезные свойства, и мы пользовались ими, пока они крепко не вошли в наш обиход. Если кто-то из ваших знакомых еще не понял суть отрицательных чисел, теперь вы ему поможете.

Но не будем умалять человеческие страдания: отрицательные числа были настоящим сдвигом в сознании. Даже Эйлер, гений, открывший число е и много еще чего, не понимал отрицательные числа так же хорошо, как мы сегодня. Они рассматривались как «бессмысленные» результаты вычислений.

Странно требовать от детей, чтобы они спокойно понимали идеи, которые когда-то смущали даже самых лучших математиков.

Ввод мнимых чисел

С мнимыми числами та же история. Мы можем решать уравнения вроде этого целыми днями:

Ответами будут 3 и -3. Но представим, что какой-то умник приписал сюда минус:

Ну и ну. Такой вопрос заставляет людей съеживаться, первый раз видя его. Вы хотите вычислить квадратный корень из числа, меньшего, чем ноль? Это немыслимо! (Исторически реально существовали подобные вопросы, но мне удобнее представлять какого-то безликого умника, чтобы не вгонять в краску ученых прошлого).

Выглядит безумно, как в свое время выглядели и отрицательные числа, ноль и иррациональные числа (неповторяющиеся числа). В этом вопросе нет «реального» смысла, правда?

Нет, не правда. Так называемые «мнимые числа» нормальны настолько же, как и все другие (или настолько же ненормальные): они являются инструментом для описания мира. В том же духе, как мы представляем, что -1, 0.3 и 0 «существуют», давайте предположим, что существует некое число i, где:

Другими словами, вы умножаете i на себя же, чтобы получить -1. Что сейчас происходит?

Ну, сначала у нас конечно болит голова. Но, играя в игру «Давайте представим, что i существует», мы действительно делаем математику проще и элегантнее. Появляются новые связи, которые мы с легкостью можем описать.

Вы не поверите в i, как и те старые математики-ворчуны не верили в существовании -1. Все новые, сворачивающие мозг в трубочку понятия сложны для восприятия, и их смысл вырисовывается не сразу, даже для гениального Эйлера. Но, как показали нам отрицательные числа, странные новые идеи могут быть чрезвычайно полезными.

Я не люблю сам термин «мнимые числа» — такое чувство, что он был выбран специально, чтобы оскорбить чувства i. Число i такое же нормальное, как и другие, но за ним закрепилась кличка «мнимое», так что мы тоже будем ей пользоваться.

Визуальное понимание отрицательных и комплексных чисел

Уравнение x^2 = 9 на самом деле означает следующее:

Какое преобразование x, применяемое дважды, превращает 1 в 9?

Есть два ответа: «x = 3» и «x = -3». То есть, вы можете «масштабировать в» 3 раза или «масштабировать в 3 раза и перевернуть» (переворачивание или взятие обратного результата — всё это интерпретации умножения на отрицательную единицу).

А теперь давайте подумаем об уравнении x^2 = -1, которое можно записать так:

Какое преобразование x, применяемое дважды, превращает 1 в -1? Хм.

Мы не можем умножить дважды положительное число, потому что результат будет положительным.
Мы не можем умножить дважды отрицательное число, потому что результат опять будет положительным.

А как насчёт… вращения! Звучит, конечно, необычно, но что если представить х как «поворот 90 градусов», тогда применив х дважды, мы совершим поворот на 180 градусов на координатной оси, и 1 обернется в -1!

Вот это да! И если мы еще немного над этим поразмышляем, то мы можем совершить два оборота в противоположном направлении, и также перейти с 1 на -1. Это «отрицательное» вращение или умножение на -i:

Если мы дважды умножим на-i, то при первом умножении получим -i из 1, а при втором -1 из -i. Так что на самом деле существует два квадратных корня -1: i и -i.

Это довольно круто! У нас есть что-то вроде решения, но что оно означает?

i — это «новая мнимая размерность» для измерения числа
i (или -i) — это то, чем «становятся» числа при вращении
Умножение на i — это вращение на 90 градусов против часовой стрелки
Умножение на -i — это вращение на 90 градусов по часовой стрелке.
Двойное вращение в любом из направлений дает -1: оно опять возвращает нас к «обычной» размерности положительных и отрицательных чисел (ось x).

Все числа 2-мерные. Да, это трудно принять, но древним римлянам было бы также трудно принять десятичные дроби или деление в столбик. (Как это так, между 1 и 2 есть еще числа?). Выглядит странно, как и любой новый способ мыслить в математике.

Мы спросили «Как превратить 1 в -1 в два действия?» и нашли ответ: повернуть 1 на 90 градусов дважды. Довольно странный, новый способ мыслить в математике. Но очень полезный. (Между прочим, эта геометрическая интерпретация комплексных чисел появилась только десятилетия спустя после открытия самого числа i).

Также, не забывайте, что принятие оборота против часовой стрелки за положительный результат — это сугубо человеческая условность, и всё могло бы быть совсем по-другому.

Поиск множеств

Давайте углубимся немного в детали. При умножении отрицательных чисел (как -1), вы получаете множество:

Поскольку -1 не меняет размер числа, а только знак, вы получаете одно и то же число то со знаком «+», то со знаком «-». Для числа х у вас получится:

Это очень полезная мысль. Число «х» может представлять хорошие и плохие недели. Представим, что хорошая неделя сменяет плохую; это хорошая неделя; а какой будет 47-я неделя?

-x означает, что неделя выдастся плохой. Видите, как отрицательные числа «следят за знаком» — мы можем просто ввести (-1)^47 в калькуляторе вместо того, чтобы считать («Неделя 1 хорошая, неделя 2 плохая… неделя 3 хорошая…»). Вещи, которые постоянно чередуются можно отлично смоделировать, используя отрицательные числа.

Хорошо, а что будет, если мы продолжим умножать на i?

Очень смешно, давайте немного это всё упростим:

(Тут вопросов быть не может)
(Тут я тоже мало что могу)
(В этом всё i)
(Ага, 3 оборота против часовой стрелки = 1 оборот по часовой стрелке. Всё четко)
(4 оборота дают в сумме «полный круг»)
(И снова по кругу…)

Вот всё то же представлено графически:

Мы повторяем цикл каждый 4-й поворот. В этом определенно есть смысл, да? Любой ребенок скажет вам, что 4 поворота влево — это всё равно, что не поворачиваться вовсе. А теперь оторвитесь от мнимых чисел (i, i^2)и посмотрите на общее множество:

Точно, как отрицательные числа моделируют зеркальное отражение чисел, мнимые числа могут моделировать что угодно, что вращается между двумя измерениями «Х» и «Y». Или что угодно с циклической, круговой зависимостью — есть что-нибудь на примете?

Понимание комплексных чисел

Есть еще одна деталь для рассмотрения: может ли число быть и «реальным», и «мнимым»?

Даже не сомневайтесь. Кто сказал, что нам обязательно нужно поворачивать строго на 90 градусов? Если мы одной ногой станем на «реальную» размерность, а другой — на «мнимую», то будет выглядеть примерно так:

Мы находимся на отметке в 45 градусов, где вещественная и мнимая части одинаковы, и само число равно «1 + i». Это как хот-дог, где есть и кетчуп, и горчица — кто сказал, что нужно обязательно выбирать что-то одно?

По сути, мы можем выбрать любую комбинацию вещественной и мнимой части и сделать из всего этого треугольник. Угол становится «углом вращения». Комплексное число — это заумное название для чисел, в которых есть вещественная и мнимая части. Они пишутся, как «a + bi», где:

a — вещественная часть
b — мнимая часть

Неплохо. Но остается один последний вопрос: как «велико» комплексное число? Мы не можем измерить вещественную часть или мнимую отдельно, потому что мы упустим общую картину.

Давайте сделаем шаг назад. Размер отрицательного числа — это расстояние от нуля:

Это другой способ найти абсолютную величину. Но как измерить оба компонента на 90 градусах для комплексных чисел?

Это птица в небе… или самолет… Пифагор спешит на помощь!

Эта теорема выскакивает, где только можно, даже в числах, придуманных через 2000 лет после самой теоремы. Да, мы делаем треугольник, и его гипотенуза и будет равна расстоянию от нуля:

Хоть измерить комплексное число не так просто, как «просто опустить знак -», у комплексных чисел есть очень полезные применения. Давайте рассмотрим некоторые из них.

Реальный пример: Вращения

Мы не будем дожидаться университетского курса физики, чтобы попрактиковаться с комплексными числами. Мы займемся этим уже сегодня. Много можно рассказать на тему умножения комплексных чисел, но пока нужно понять главное:

Умножение на комплексное число совершает вращение на его угол

Давайте посмотрим, как это работает. Представьте, что я на лодке, движусь с курсом 3 единицы на Восток каждые 4 единицы на Север. Я хочу изменить свой курс на 45 градусов против часовой стрелки. Каким будет мой новый курс?

Кто-то может сказать «Это просто! Вычислите синус, косинус, погуглите значение по тангенсу…и тогда…» Кажется, я сломал свой калькулятор…

Давайте пойдем более простым путем: мы идем по курсу 3 + 4i (не важно, какой тут угол, нам всё равно пока) и хотим повернуться на 45 градусов. Ну, 45 градусов это 1 + i (идеальная диагональ). Так что мы можем умножить наш курс на это число!

Исходный курс: 3 единицы на Восток, 4 единицы на Север = 3 + 4i
Вращение против часовой стрелки на 45 градусов = умножение на 1 + i

При умножении мы получаем:

Наш новый ориентир — 1 единица на Запад (-1 на Восток) и 7 единиц на Север, можете нарисовать координаты на графике и следовать им.

Но! Мы нашли ответ за 10 секунд, без всяких синусов и косинусов. Не было векторов, матриц, отслеживания, в каком квадранте мы находимся. Это была простая арифметика и немного алгебры для приведения уравнения. Мнимые числа отлично справляются с вращением!

Более того, результат такого вычисления очень полезен. У нас есть курс (-1, 7) вместо угла (atan(7/-1) = 98.13, и сразу ясно, что мы во втором квадранте. Как, собственно, вы планировали нарисовать и следовать указанному углу? Используя транспортир под рукой?

Нет, вы бы конвертировали угол в косинус и синус (-0.14 и 0.99), нашли бы примерное соотношение между ними (около 1 к 7) и набросали бы треугольник. И тут комплексные числа несомненно выигрывают — аккуратно, молниеносно, и без калькулятора!

Если вы похожи на меня, то это открытие покажется вам сногсшибательным. Если нет, боюсь, что математика вас совсем не зажигает. Уж извините!

Тригонометрия хороша, но комплексные числа значительно упрощают вычисления (вроде поиска cos(a + b)). Это только маленький анонс; в следующих статьях я предоставлю вам полное меню.

Лирическое отступление: некоторые люди думают примерно так: «Эй, ну не удобно же иметь курс Север/Восток вместо простого угла для следования судна!»

Правда? Ну хорошо, посмотрите на свою правую руку. Какой угол между основанием вашего мизинца и кончиком указательного пальца? Удачи с вашим способом вычисления.

А можно просто ответить «Ну, кончик находится на Х дюймов вправо и Y дюймов вверх» и с этим уже можно что-то сделать.

Комплексные числа стали ближе?

Мы пронеслись смерчем по моим базовым открытиям в области комплексных чисел. Посмотрите на самую первую иллюстрацию, теперь он должен стать более понятным.

Есть еще столько всего интересного в этих красивых, чудных числах, но мой мозг уже устал. Моя цель была проста:

Убедить вас в том, что комплексные числа только рассматривались как «сумасшествие», а на деле они могут быть очень полезными (точно как и отрицательные числа)
Показать, как комплексные числа могут упростить некоторые задачи вроде вращения.

Если я кажусь слишком озабоченным этой темой, то для этого есть причина. Мнимые числа годами были моей навязчивой идеей — недостаток понимания меня раздражал.

Сейчас я наконец-то дошел до этого долгожданного понимания, и мне не терпелось поделиться с вами. Но меня по-прежнему злит, что вы знакомитесь с этими замечательными, несложными приемами понимания в блоге какого-то безумного лунатика, а не в классе на уроке математики. Мы душим в себе вопросы и «пыхтим» над непонятными вещами, потому что не хотим искать, находить и делиться чистыми, абсолютно логичными объяснениями.

Но зажечь свечу лучше, чем пробираться сквозь кромешную тьму: вот мои мысли, и я уверен, что огонек зажжется и в умах моих читателей.

Эпилог: Но они по-прежнему довольно странные!

Я знаю, они и для меня всё еще выглядят странными. Я пытаюсь мыслить, как мыслил первый человек, открывший ноль.

Ноль — это такая странная идея, «что-то» представляет «ничего», и это никак не могли понять в Древнем Риме. То же самое и с комплексными числами — это новый способ мышления. Но и ноль, и комплексные числа значительно упрощают математику. Если бы мы никогда не внедряли странности вроде новых систем счисления, мы бы до сих пор считали всё на пальцах.

Я повторяю эту аналогию, потому что так легко начать думать, что комплексные числа «не нормальные». Давайте быть открытыми к новшествам: в будущем люди будут только шутить над тем, как кто-то вплоть до XXI века не верил в комплексные числа.

Источник

Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида $z=a+b i$

Например. $z=3-7 i$

Действительная и мнимая часть комплексного числа

Действительное число $a$ называется действительной частью комплексного числа $z=a+b i$ и обозначается $a=\operatorname z$ (От французского слова reel — действительный).

Действительное число $b$ называется мнимой частью числа $z=a+b i$ и обозначается $b=\operatorname z$ (От французского слова imaginaire — мнимый).

Например. Для комплексного числа $z=3-7 i$ действительная часть $a=\operatorname z=3$, а мнимая — $b=\operatorname z=-7$ .

Если действительная часть комплексного числа $z=a+b i$ равна нулю ( $a=\operatorname z=0$ ), то комплексное число называется чисто мнимым.

Например. $z=-2 i$

Мнимая единица

Величина $i$ называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:

Равные комплексные числа

Два комплексных числа $z_<1>=a_<1>+b_ <1>i$ и $z_<2>=a_<2>+b_ <2>i$ называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

$z_<1>=z_ <2>\Leftrightarrow a_<1>=a_ <2>\wedge b_<1>=b_<2>$

Задание. Определить при каких значениях $x$ и $y$ числа $z_<1>=2-x i$ и $z_<2>=y+2 i$ будут равными.

Решение. Согласно определению $z_<1>=z_<2>$ тогда и только тогда, когда

$2=y \wedge-x=2 \Rightarrow y=2, x=-2$

Ответ. $x=-2, y=2$

Число $\overline=a-b i$ называется комплексно сопряженным числом к числу $z=a+b i$ .

То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.

Например. Для комплексного числа $z_<1>=2+3 i$ комплексно сопряженным есть число $\overline_<1>=2-3 i$ ; для $z_<2>=i$ комплексно сопряженное $\overline_<2>=-i$ и для $z_<3>=-2$ имеем, что $\overline_<3>=-2$ .

Комплексное число $-z=-a-b i$ называется противоположным к комплексному числу $z=a+b i$ .

Например. Противоположным к числу $z=2+i$ есть число: $-z=-(2+i)=-2-i$ .

Источник