Меню

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Эквивалентные функции

  • Что такое эквивалентные функции
  • Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов
    • Свойства функций
    • Применяемые определения
    • Применяемые теоремы
  • Сравнение функций
    • Сравнение бесконечно малых функций
    • Сравнение бесконечно больших функций
  • Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Что такое эквивалентные функции

Эквивалентность — равнозначность в каком-либо отношении.

Эквивалентные функции позволяют облегчить процесс вычисления пределов с помощью замены множителей в примерах с дробями и произведениями.

Функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при x→α, если \( \lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>=1.\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данное определение применимо к бесконечно большим и малым функциям.

Эквивалентность обозначается знаком ∼, т.е. чтобы показать, что функции α(x) и β(x) эквивалентны, нужно оформить запись следующим образом: α(x)∼β(x)

Для удобства следует использовать специальную таблицу.

Таблица

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Свойства функций

Основные свойства бесконечно малых функций:

  1. \(\alpha\sim\alpha,\;(\lim_)\frac\alpha\alpha=1.\)
  2. Если \(\alpha\sim\beta и \beta\sim\gamma, то \alpha\sim\gamma,\;(\lim_\frac\alpha\gamma=\lim_(\frac\alpha\beta\times\frac\beta\gamma)=1\times1=1).\)
  3. Если \(\alpha\sim\beta и \beta\sim\gamma и \beta\sim\gamma, то (\lim_\frac\beta\alpha=\lim_\frac1<\displaystyle\frac\alpha\beta>=1).\)
  4. Если \(\alpha\sim\alpha_1 и \beta\sim\beta и \lim_\frac\alpha\beta=\kappa, то и \lim_\frac<\alpha_1><\beta_1>=\kappa или \lim_\frac\alpha\beta=\lim_\frac<\alpha_1><\beta_1>.\)

Основные свойства эквивалентных бесконечно больших функций:

Применяемые определения

  1. Функции \(\alpha(x) и \beta(x)\) бесконечно малы при \(x\rightarrow\alpha.\)
  2. Если есть \(\lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>=C\neq0,\;\infty, то \alpha(x) и \beta(x)\) бесконечно малые одного и того же порядка при \(x\rightarrow\alpha \)
  3. Если есть \(\lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>=0\) , то \(\alpha(x)\) — величина более высокого порядка малости, чем \(\beta(x)\) при \(x\rightarrow\alpha.\)
  4. Если \(\not\ni\lim_\frac<\alpha(x)><\beta(x)>\) , то бесконечно малые \(\alpha(x) и \beta(x)\) несравнимы при \(x\rightarrow\alpha.\)
  5. Суммой двух бесконечно больших функций при \(x\rightarrow\alpha\) является неопределенность.
  6. Произведением бесконечно большой функции и функции, имеющей в точке α конечный ненулевой предел, является бесконечно большая функция при \(x\rightarrow\alpha.\)

Данных определений будет достаточно для решения пределов с применением понятия эквивалентности.

Применяемые теоремы

Теорема 1 (о замене эквивалентными в произведении и отношении):

Если \(\alpha_1(x),\;\alpha_2(x),\;\beta_1(x),\;\beta_2(x)\) являются бесконечно малыми при \(x\rightarrow\alpha и \alpha_1(x)\sim\beta_1(x),\;\alpha_2(x)\sim\beta_2(x)\) при \(x\rightarrow\alpha\) , то

Теорема 2:

Для того чтобы бесконечно малые функции α(x) и β(x) были эквивалентными при \(x\rightarrow\alpha\) , нужно, чтобы при \(x\rightarrow\alpha\) выполнялось любое из равенств:

  • \(\alpha(x)-\beta(x)=\circ(\alpha(x));\)
  • \(\alpha(x)-\beta(x)=\circ(\beta(x)).\)

Теорема 3:

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 4:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теорема 5 (о замене эквивалентных функций в пределах частного):

Сравнение функций

Сравнение бесконечно малых функций

  1. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть конечное ненулевое число, то \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
  2. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть ноль, то \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta(x)\) является бесконечно малой более высокого порядка при \(x\rightarrow\alpha\) , а \(\beta(x)\) по сравнению с \(\alpha(x) \) — бесконечно малой меньшего порядка.
  3. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть бесконечность, то \(\beta(x)\) по сравнению с \(\alpha(x)\) является бесконечно малой более высокого порядка при \(x\rightarrow\alpha\) , а \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta(x)\) — бесконечно малой меньшего порядка.

Сравнение бесконечно больших функций

  1. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) больше нуля и меньше бесконечности, то \(\alpha(x)\) и \(\beta(x)\) называются бесконечно большими одного и того же порядка.
  2. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть бесконечность, то \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta(x)\) является бесконечно большой более высокого порядка, при \(x\rightarrow\alpha\) . При этом \(\beta(x)\) имеет меньший порядок роста.
  3. Если \(\lim_\frac<\beta(x)>\) есть ноль, то \(\beta(x)\) по сравнению с \(\alpha(x)\) является бесконечно большой более высокого порядка при \(x\rightarrow\alpha.\)
  4. Если \(\alpha(x) и \beta^n(x)\) являются бесконечно большими функциями одного и того же порядка, то функция \(\alpha(x)\) по сравнению с \(\beta^n(x)\) называется бесконечно большой n-ного порядка.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

Произведем замену переменной

\((x-\mathrm\pi)=y, где y\rightarrow0, если x\rightarrow\mathrm\pi\)

Применим формулу приведения:

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

Источник

Эквивалентные бесконечно малые, применение к нахождению пределов

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) = 0 и lim x → x 0 β ( x ) = 0 .

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются эквивалентно бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Когда имеем α ( x ) как бесконечно малую функцию со значением x → x 0 .

sin ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
t g ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
a r c sin ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
a r c t g ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
1 — cos ( α ( x ) ) эквивалентна α ( x ) 2 2
ln ( 1 + α ( x ) ) эквивалентна α ( x )
α α ( x ) — 1 эквивалентна α ( x ) ln α
1 + α ( x ) p — 1 эквивалентна p α ( x )
1 + α ( x ) 1 p — 1 эквивалентна α ( x ) p

Для доказательства эквивалентности основываются на равенстве lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин ln ( 1 + α ( x ) ) и α ( x ) .

Необходимо вычислить предел отношения данных величин lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) .

При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Запишем предел вида

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )

Необходимо произвести замену переменных t = α ( x ) . Имеем, что α ( x ) является бесконечно малой функцией с x → x 0 , тогда lim x → x 0 a ( x ) = 0 . Отсюда следует, что t → 0 .

Предел принимает вид

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1

Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1

Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.

Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.

Вычислить предел функции lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 .

Производится подстановка значений

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = 1 — cos ( 4 · 0 2 ) 16 · 0 4 = » open=» 0 0

Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция 1 — cos α ( x ) является эквивалентной α ( x ) 2 2 , тогда имеем, что 1 — cos ( 4 x 2 ) является эквивалентной 4 x 2 2 2 .

После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = » open=» 0 0 = lim x → 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x → 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2

Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = » open=» 0 0 = lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) ‘ 16 x 4 ‘ = lim x → 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x → 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = » open=» 0 0 = lim x → 0 sin 4 x 2 ‘ 8 x 2 ‘ = lim x → 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x → 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2

Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что

lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) 16 x 4 = » open=» 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 ( 2 x 2 ) 16 x 4 = = lim x → 0 1 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = 1 2 lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = = п у с т ь t = 2 x 2 , t → 0 п р и x → 0 = 1 2 lim t → 0 sin ( t ) t · lim t → 0 sin ( t ) t = 1 2 · 1 · 1 = 1 2

Источник



Таблица эквивалентности пределов

Для раскрытия неопределенностей ноль делить на ноль $[\frac<0><0>]$ очень удобно использовать таблицу эквивалентности пределов. Важно, чтобы аргумент функции стремился к нулю. Только в этом случае возможно делать замену.

Формулы эквивалентности пределов
$$ \sin x \sim x $$ $ e^x — 1 \sim x $
$ tg \;x \sim x $ $ a^x — 1 \sim x\ln a $
$$ \arcsin x \sim x $$ $$ \ln (1+x) \sim x $$
$ arctg \; x \sim x $ $\log_a (1+x) \sim \frac<\ln a>$
$$ 1- \cos x \sim \frac <2>$$ $$(1+x)^a — 1 \sim ax $$

Подставляем точку $x=0$ в предел и получаем неопределенность.

Замечаем под пределом две функции, для которых можно использовать формулы эквивалентных бесконечно малых функций. Но перед этим проверим, что аргументы их стремятся к нулю.

$$ \sin 0^2 = \sin 0 = 0 $$ $$ \arcsin 0 = 0 $$

Значит для нашей задачи получаем следующие замены.

$$ \sin x^2 \sim x^2 $$ $$ \arcsin x \sim x $$

Подставим эквивалентности в предел, чтобы вычислить ответ.

Сокращаем знаменатель и подставляем в оставшееся выражение под числителем $x=0$.

$$ = \lim_\limits x^2 = 0^2 = 0 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

В пределе получаем неопределенность ноль делить на ноль $[\frac<0><0>]$. Замечаем, что числитель похож на формулу из таблицы эквивалентности пределов. Подставим в него точку $x=0$.

$$ 1- \cos (4 \cdot 0) = 1-\cos 0 = 1 — 1 = 0 $$

Получили, что числитель равен нулю при $x=0$, а это значит допустима замена на бесконечно малую функцию.

Возвращаемся к пределу, подставляя в него полученное выражение для числителя.

Подставив $x=1$ получаем неопределенность $[ \frac<0> <0>] $. Замечаем, что в числителе присутствует синус, который есть в таблице эквивалентностей. По необходимому условию аргумент синуса должен стремиться к нулю, чтобы применить формулу эквивалентности. Проверим это подставив $x=1$ в него.

$$ \sin (1-1) = \sin 0 = 0 $$

Проверка показала, что формулу можно применить, так как аргумент равен нулю.

Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя упрощаем его.

Источник

Эквивалентные функции — формулы, свойства и примеры решений

В данной статье речь пойдет об основных понятиях эквивалентных функций, с помощью которых можно найти значение пределов. Понятие эквивалентности поменяется не только в высшей математике, но и в логике, психологии, при переводах с иностранных языков. Оно означает «равнозначность», «равносильность», «равенство».

Определение эквивалентных функций

Эквивалентные функции — это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.

Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Если при x1, стремящимся к x2, f(x)

g1(x) существует предел:

то существует и предел:

Доказательство

Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:

в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:

Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй.

Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно.

Таблица эквивалентных функций

Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x:

Эквивалентность при t → 0

Равенство при t → 0

a t – 1 = t ln a + 0(t)

(1 + t) b — 1 = bt + 0(t)

Всегда ли можно сделать замену функций эквивалентными?

Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел.

В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Для сравнения рассмотрим несколько примеров.

Источник

Применение эквивалентных функций при решении пределов

Применение эквивалентных функций при решении пределов

Метод решения

Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).

Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.

Применяемые определения и теоремы

Определение эквивалентных функций
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.

Если при , то ;
если , то .
При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.
Доказательство

Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций: . Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные:
,
где . Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй.

Таблица эквивалентных функций

Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .

Пример 1
Найти пределы используя эквивалентные бесконечно малые функции $\lim_\limits \frac <\arcsin x>$
Решение
Эквивалентность при Равенство при

Предостережение

Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.

В качестве примера рассмотрим следующий предел:
.
При . Но если заменить в числителе на x , то получим ошибку:
.
Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, :
.
Поскольку и , то мы снова получили неопределенность 0/0 . Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 2

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
.
Преобразуем квадрат логарифма:
.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 3

Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями.
.
Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0 .

Вычисляем предел:
.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
;
;

.

Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Пример 4

При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда
. Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞ .

Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид:
.

В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
.

В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции:
.
Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя.
.
Если положить , то . Тогда
.
Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
.

Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили \ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-05-2019

Источник

Читайте также:  Используя таблицу плотностей веществ найди массу 1м3 золота