Меню

Формулы математического маятника

Данные для таблицы математический маятник

Лабораторная работа № 111

Цель работы: Экспериментальное определение ускорения силы тяжести методом колебаний математического маятника.

Приборы и принадлежности: математический маятник, секундомер, зеркальная шкала.

Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой и длинной нити. На практике математическим маятником можно считать тяжелое тело, подвешенное на нити, длина которой во много раз больше размеров тела. Длиной l математического маятника называется расстояние от центра масс тела до точки подвеса нити.

Если отклонить маятник из положения равновесия так, чтобы нить составляла небольшой угол j с вертикалью (рис.1), и затем отпустить его, то он начнет колебаться в вертикальной плоскости под действием силы тяжести и силы натяжения нити . Сила , возвращающая математический маятник в положение равновесия, является равнодействующей сил тяжести и натяжения нити. Ее можно найти из рисунка 1:

Период и частоту колебания математического маятника можно найти из закона сохранения механической энергии.

В отсутствии сил сопротивления полная механическая энергия маятника в любой момент времени остается постоянной, т.е. сумма кинетической энергии и потенциальной энергии маятника :

где h – высота подъема материальной точки от положения равновесия.

Из рис.1 найдем h . Она равна

Момент инерции J материальной точки определяется формулой:

Учитывая, что угловая скорость равна , а угловое ускорение равно , а так же (2) и (3), то выражение (1) можно записать в виде:

Взяв первую производную по времени, получим:

При малых углах j ° выполняется условие , что Т огда уравнение (4) можно записать в виде

(6) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка, описывающим гармонические колебания маятника. Решение этого уравнения имеет вид:

где А , a – амплитуда и начальная фаза колебания. Величина w в формуле (5) является циклической частотой колебания математического маятника.

Период колебаний маятника определяется формулой:

который зависит от длины l маятника и ускорения свободного падения g тел.

Описание рабочей установки и метода измерений

Периоды колебаний двух математических маятников с различными длинами l 1 и l 1 согласно формуле (8) равны:

Из этих двух равенств получим:

Формула (9) является исходной для определения величины ускорения свободного падения.

В данной работе математическим маятником служит груз 1, подвешенный бифилярно на длинной легкой нити 2, таким образом, длину которой можно менять (рис.2). Бифилярная подвеска (на двойной нити) позволяет осуществлять колебания в одной плоскости. Величина изменения длины математического маятника l 1 — l 2 , входящая в формулу (9), измеряется с помощью зеркальной шкалы 3.

1. Длину маятника подбирают так, чтобы груз 1 находился в нижней части шкалы 3. Отсчитывают положение нижней грани груза по шкале, располагая глаз так, чтобы эта грань и ее изображение в зеркале шкалы совпадали.

2. По секундомеру определяют время t 1 50-70 полных колебаний. Опыт повторяют не менее 5 раз и находят среднее значение . Определяют период колебания:

где n – число колебаний маятника.

3. Укорачивая нить, перемещают груз в верхнюю часть шкалы и отсчитывают положение нижней грани груза l 2 . Разность отсчетов l 1 — l 2 равна изменению длины маятника.

4. Измеряют не менее 5 раз время t 2 того же числа колебаний n . Вычисляют период колебаний:

5. По формуле (9) вычисляют значение g > .

6. Методом расчета погрешностей косвенных измерений находят абсолютную погрешность результата D g .

7. Данные результатов измерений и вычислений заносят в таблицу.

Источник

Математический маятник

Цель работы: Изучение свободных колебаний маятника, с хорошей точностью удовлетворяющего модели математического маятника; оценка точности реализации этой модели в лабораторной установке; определение ускорения свободного падения; оценка результатов измерений и расчет погрешностей.

Читайте также:  Таблица белки и углеводы при раздельном питании

Оборудование: лабораторная установка.

Период малых колебаний физического маятника (см. работу № 6) равен:

(1)

где Io – момент инерции маятника относительно оси ОО качаний, m – масса маятника, g – ускорение свободного падения, а – расстояние от оси качаний маятника до его центра масс С.

В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения (1) в случае, когда маятник можно приближенно считать математическим, т. е. когда масса маятника сосредоточена в области, размеры которой малы по сравнению с а.

Исследуемый в лабораторной

установке маятник схематически изо-

бражен на рис. 1. Он представляет со-

бой стальной шарик радиусом r на би-

филярном подвесе: тонкая нить пропу-

щена через центр шарика, концы нити

закреплены на стойке. Длина подвеса

может регулироваться в пределах от

нескольких сантиметров до примерно

25 см. Период колебаний с высокой

(до 10-4с) точностью измеряется с

помощью электронного секундомера.

Момент инерции маятника складывается из момента инерции шарика и момента инерции нити подвеса. Пренебрегая моментом инерции нити, запишем момент инерции маятника относительно оси ОО в виде:

Io = Iс + ma2 = 2mr2/5 + ma2 (2)

Соотношение (2) следует из теоремы Гюйгенса-Штейнера, если учесть, что момент инерции Iс однородного шара радиусом r и массой m относительно оси, проходящей через центр шара, равен

Рассмотрим случай, когда радиус шара мал по сравнению с длиной подвеса (случай математического маятника): r a. Тогда в (2) можно пренебречь слагаемым Iс = 2mr2/5 по сравнению с ma2 и положить:

В этом приближении Io определяется, очевидно, с небольшой систематической погрешностью

ΔIсист /Io = (2mr2/5)/(ma2 ) = (2r2)/(5a2 ) (4)

которую в условиях эксперимента легко оценить (она равна, примерно, 0,5%).

С учетом (3) период колебаний маятника может быть записан в виде:

(5)

Он, как должно быть, совпадает с периодом колебаний математического маятника, длина подвеса которого равна а. Из (5) находим следующее выражение для ускорения свободного падения:

Соотношение (6) позволяет опытным путем определить значение ускорения свободного падения в нашей лаборатории. Для этого, очевидно, необходимо измерить период колебаний Т маятника и длину подвеса а, затем рассчитать g по формуле (6) и оценить точность полученного значения.

Однако, прежде чем перейти к определению g, необходимо выяснить, применимо ли вообще соотношение (6) для лабораторной установки.

Дело в том, что выражение (1) для периода колебаний справедливо для идеализированной модели физического маятника. Следовательно, и соотношение (6) также справедливо только в рамках этой модели. При выводе соотношения (1) были сделаны следующие предположения:

маятник совершает колебания малой амплитуды, и поэтому период колебаний не зависит от амплитуды (изохронность колебаний); затуханием колебаний можно пренебречь

Непосредственным измерением легко проверить, что периоды колебаний маятника при малой (порядка 3-5о) и большой (30-45о) амплитудах заметно отличаются. Так как расчетная формула (6) применима только для малых амплитуд, то необходимо определить, в каком диапазоне амплитуд период колебаний остается постоянным с достаточно высокой точностью (например, с точностью до 0,5%). Это легко сделать, измеряя период колебаний маятника при различных значениях амплитуды в пределах от 2-3о до 10-15о.

Обсудим теперь, как можно оценить влияние затухания на период колебаний маятника. Отклонив маятник из положения равновесия, легко проверить, что колебания его постепенно затухают. Количественную оценку величины поправки ΔТ к периоду можно получить, если учесть, что основной причиной затухания колебаний маятника является вязкое трение о воздух.

В этом случае действующая на шарик сила трения пропорциональна скорости V его движения:

Читайте также:  Таблица величин силы ньютон

где b > 0 – коэффициент пропорциональности.

Период T колебаний маятника несколько увеличивается, а частота

ω = 2π/T колебаний уменьшается по сравнению с частотой ωo = 2π/To колебаний маятника без трения:

(7)

(8)

Здесь σ — коэффициент затухания, который выражается через число колебаний N (обычно это достаточно большое число), за которое амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раз:

Из соотношений (7) – (9) находим

(10)

(11)

ΔT/T = (T – To)/T ≈ 1/(8π2N2) (12)

Видно, что уже при N ≈ 10 эта поправка меньше, чем 10-3 (т. е. меньше 0,1 %) и ею можно пренебречь.

Определите диапазон изохронности колебаний. Для этого измерьте период колебаний маятника для 8 – 10 значений амплитуды θ в пределах от 0 до 30о. Результаты занесите в табл. 1. Выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными с точностью до 0,1 %; 0,5 %; 1 %.

Источник



Формулы математического маятника

Определение и формулы математического маятника

Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

Формулы математического маятника, рисунок 1

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

где $\varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$

где $\alpha $ — начальная фаза колебаний; $<\varphi >_0$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0$ — циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

Максимальная величина кинетической энергии:

где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=<\omega >_0x_m$ — максимальная скорость.

Примеры задач с решением

Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

Решение. Сделаем рисунок.

Читайте также:  Тайга тип почвы растительный мир животный мир таблица

Формулы математического маятника, пример 1

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

Ответ. $h=\frac<2g>$

Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit<>

Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

Выразим из нее ускорение:

Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

Ответ. $g=9,87\ \frac<м><с^2>$

Источник

Математический маятник

Содержимое разработки

Утверждено на МО: « »_______ 2018г

Руководитель МО:___________________

Методическая разработка лабораторно-практической работы

Автор: Рогаткина Л.С., учитель физики МОУ «Державинский лицей»

Тема: Математический маятник

Класс: 9

Раздел физики: механика

Тема раздела: Механические колебания

Тема урока: Математический маятник

Цель урока:

Проверить на практике справедливость теоретических отношений периода колебаний

математического маятника от его длины.

Задачи урока:

Закрепить представление о математическом маятнике и гармонических колебаниях.

Осуществить внутрипредметные связи с темой « Ускорение свободного падения. Зависимость ускорения свободного падения от высоты тела над поверхностью Земли»

Осуществить межпредметные связи с математикой. Построение графиков по результатам эксперимента.

Научиться пользоваться сведениями, полученными из графиков.

Расширить кругозор обучающихся.

Какие умения необходимо освоить на уроке:

Рассчитывать период колебаний математического маятника и изготавлять простейший маятник по полученным результатам.

Научиться практически определять период колебаний маятника на других планетах, применяя формулу T=t/n

Научится рассчитывать период колебаний маятника на других планетах и на разной высоте над поверхность Земли.

Закрепить умение записывать уравнение гармонического колебания и построения графика по уравнению.

Форма проведения урока:

Глоссарий

Амплитуда гармонических колебаний – наибольшее смещение от положения равновесия.

Гармонические колебания –периодические изменения физической величины, происходящие по закону синуса или косинуса.

Период колебаний – время одного полного колебания.

Уравнение гармонического колебания – уравнение, определяющее закон изменения смещения (х) от времени (t)

Ускорение свободного падения – ускорение, с которым тело падает к земле или другой планете только под действием силы тяжести.

Краткое изложение основного материала:

Лабораторная работа

Тема: Математический маятник

Рассчитать и изготовить секундный маятник.

Построить графики зависимости периода колебаний маятника от ускорения свободного падения и высоты над поверхность Земли и проанализировать их.

Оборудование: штатив, нитки, груз, секундомер, рулетка или линейка

Ход работы

Записать формулу для расчета периода колебаний математического маятника.

Рассчитать, какую длину должен иметь секундный маятник на поверхности Земли.

Изготовить маятник и убедиться, что период его колебаний действительно равен 1секунде. Опыт провести 3 раза, результаты занести в таблицу №1

Таблица №1

Воспользоваться данными таблицы №2, рассчитать период колебаний данного маяника на поверхности приведенных в таблице астрономических объектов.

Дополнить таблицу своими результатами.

Таблица №2

По полученным данным постройте, выбрав разумный масштаб, график зависимости периода колебаний (Т) от ускорения свободного падения (g).

Пользуясь графиком определить ускорение свободного падения для двух астероидов, масса которых мала и период колебаний маятника равен 5 и 7 секундам.

Сделать вывод по цели, предложив способ определения ускорения свободного падения на различных небесных телах с использованием маятника.

Дополнительное задание

( выполняется дома или на втором уроке)

Изготовить маятник с длиной 1 метр.

Рассчитать период его колебаний у поверхности Земли и на высоте 10,20,30,50 и 100 километров над поверхностью Земли. Данные занести в таблицу №3.

Источник