Меню

Как составить таблицу истинности для заданной булевой функции



Построение таблиц истинности

Вы будете перенаправлены на Автор24

Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.

Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.

Готовые работы на аналогичную тему

При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:

Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.

Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка), $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.

Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.

Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.

Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar \vee (B \vee C)$.

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:

Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.

Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.

По данному логическому выражению построить таблицу истинности:

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:

  1. отрицание ($\bar$);
  2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A \vee B$);
  3. конъюнкция ($(A\vee B)\bigwedge \overline$);
  4. отрицание, которое обозначим $F_1$ ($\overline<(A\vee B)\bigwedge \overline>$);
  5. дизъюнкция ($A \vee C$);
  6. конъюнкция ($(A\vee C)\bigwedge B$);
  7. отрицание, которое обозначим $F_2$ ($\overline<(A\vee C)\bigwedge B>$);

Кол-во столбцов = $3 + 8 = 11$.

Заполним таблицу, учитывая таблицу истинности логических операций.

Алгоритм построения логической функции по ее таблице истинности

  1. Выделяют в таблице истинности строки со значением функции, равным $1$.
  2. Выписывают искомую формулу как дизъюнкцию нескольких логических выражений. Количество этих выражений равно количеству выделенных строк.
  3. Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции записать как конъюнкцию аргументов функции.
  4. В случае, когда значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы принимает значение $0$, то этот аргумент записать в виде его отрицания.

По данной таблице истинности некоторой логической функции $Y(A,B)$ cоставить соответствующую логическую функцию.

Решение:

  1. Значение функции равно $1$ в $1$-й и $3$-й строках таблицы.
  2. Поскольку имеем $2$ строки, получим дизъюнкцию двух элементов:

  • Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции запишем как конъюнкцию аргументов функции $A$ и $B$: $\left(A\wedge B\right)\vee \left(A\wedge B\right)$
  • В случае, когда значение в соответствующей строке таблицы равно $0$, запишем этот аргумент с отрицанием, получим искомую функцию:\[Y\left(A,B\right)=\left(\overline\wedge \overline\right)\vee \left(A\wedge \overline\right).\]
  • Источник

    Как составить таблицу истинности для заданной булевой функции

    2. Построение таблиц истинности и логических функций

    Логическая функция — это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b).

    Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части — соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций.

    Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

    1. инверсия;
    2. конъюнкция;
    3. дизъюнкция;
    4. импликация;
    5. эквивалентность.

    Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

    Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:

      Определить количество строк:

    количество строк = 2 n + строка для заголовка,

    n — количество простых высказываний.
    Определить количество столбцов:

    количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;

    • определить количество переменных (простых выражений);
    • определить количество логических операций и последовательность их выполнения.
  • Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности с учетом таблиц истинности основных логических операций.
  • Пример: Составить таблицу истинности логического выражения:

    D = ¬ А & (B Ú C).

    Решение: Ù

      Определить количество строк:

    Источник

    Как составить таблицу истинности для заданной булевой функции

    2. Построение таблиц истинности и логических функций

    Логическая функция — это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль. Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b).

    Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части — соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций.

    Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:

    1. инверсия;
    2. конъюнкция;
    3. дизъюнкция;
    4. импликация;
    5. эквивалентность.

    Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

    Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:

      Определить количество строк:

    количество строк = 2 n + строка для заголовка,

    n — количество простых высказываний.
    Определить количество столбцов:

    количество столбцов = количество переменных + количество логических операций;

    • определить количество переменных (простых выражений);
    • определить количество логических операций и последовательность их выполнения.
  • Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности с учетом таблиц истинности основных логических операций.
  • Пример: Составить таблицу истинности логического выражения:

    D = ¬ А & (B Ú C).

    Решение: Ù

      Определить количество строк:

    Источник

    Логические выражения и таблица истинности

    Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

    Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

    Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак « =».

    Алгоритм построения таблицы истинности:

    1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

    2. определить число строк в таблице по формуле m=2 n , где n — количество переменных;

    3. подсчитать количество логических операций в формуле;

    4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

    5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

    6. выписать наборы входных переменных;

    7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

    1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

    2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

    3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

    Пример 1. Для формулы A/\ (B \/ ¬B /\ ¬C) постройте таблицу истинности.

    Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2 3 = 8.

    Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

    Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А\/ В)/\(¬А\/¬В) .

    1. В выражении две переменные А и В (n=2).

    2. m строк=2 n , m=2 2 =4 строки.

    3. В формуле 5 логических операций.

    4. Расставляем порядок действий

    1) А\/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А\/¬В; 5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).

    5. К столбцов=n+5=2+5=7 столбцов.

    Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

    Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

    1. В данной функции три логические переменные – А, В, С
    2. количество строк таблицы = 2 3=8
    3. В формуле 3 логические операции.
    4. Расставляем порядок действий
    1. количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

    Пример 4. Определите истинность формулы: F = ((С \/В) => В) /\ (А /\ В) => В.

    Построим таблицу истинности этой формулы.

    Ответ: формула является тождественно истинной.

    Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

    Какое выражение соответствует F?

    Решение (вариант 1, через таблицы истинности ):

    Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

    Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/ Y\/¬ Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

    Решение (Вариант 2):

    Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

    Рассмотрим данный конкретный пример:

    1) первое заданное выражение ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

    2) второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;

    3) третье выражение X\/Y\/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

    4) четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

    Источник

    Читайте также:  Регулировочные параметры топливных насосов