Меню

Как вычислять косинусы с помощью таблицы брадиса



Все о таблице Брадиса: синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы

  • Что такое таблица Брадиса
  • Функциональные возможности таблицы
  • Таблица синусов и косинусов
  • Таблица для тангенсов и котангенсов
  • Значения от 181 до 360 градусов
  • Практические примеры использования таблицы

Что такое таблица Брадиса

Использование калькуляторов при сложных расчетах (например, формулах с применением логарифмов) сегодня считается стандартом по умолчанию. Но еще 20-30 лет назад, когда вычислительная техника была распространена не так сильно, на помощь приходили другие способы вычислений — с помощью специальных таблиц, логарифмической линейки или арифмометра.

Таблица Брадиса — математическое пособие, в котором собраны таблицы, необходимые для работы по курсу математики и для практических вычислений, созданное Владимиром Модестовичом Брадисом.

Свое название они получили от брошюры «Четырехзначные математические таблицы», составленной Владимиром Брадисом. Книга неоднократно переиздавалась в советское время большими тиражами (до 500 000 экземпляров) и широко использовалась в учебном процессе — на уроках алгебры, геометрии и физики.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Функциональные возможности таблицы

Самыми распространенными являются таблицы, содержащие тригонометрические функции (например, синус, косинус, тангенс, котангенс и арктангенс).

В целом, в сборнике Брадиса содержалось более 20 таблиц, в том числе, помогавшие найти значения:

  • значение дробей вида 1/n;
  • квадратов;
  • квадратных корней;
  • площади круга определенного диаметра;
  • радианной меры;
  • мантиссы десятичных логарифмов;
  • номограммы для решения отдельных уравнений.

Таблица синусов и косинусов

Таблица синусов

В силу широкого использования синусов и косинусов в учебных задачах, это самая распространенная из таблиц Брадиса. Она дает значение этих тригонометрических функций для любого острого угла от 0° до 90°. С помощью дополнительных колонок можно находить и более точные спецификации. Это 6′, 12′,18, 24′, 30′, 36′, 42′, 48′ и 54′ для углов указанного диапазона, например:

  • \(\sin\;10^\circ\;=\;0,1736\) . С помощью дополнительных колонок находим — \(\sin\;10^\circ\;12’\;=\;0,1771,\;\sin\;10^\circ\;24’\;=\;0,1805\) ;
  • \(\sin\;50^\circ\;=\;0,7660\) . Обращаясь к дополнительной колонке выясняем, что \(\sin\;50^\circ\;12’\;=\;0,7683,\;\sin\;50^\circ\;24’\;=\;0,7705\) .

Если нужны еще более точные показатели, то нужно использовать поправочные коэффициенты, отнимая и прибавляя их к ближайшему табличному значению минут. Используя их, находим:

Для нахождения косинусов можно использовать значения в правой колонке, но куда удобнее вычислять через синус угла, дополняющего до 90°. В этом случае:

Аналогично проводят и более точные вычисления, в том числе — с использованием поправочных коэффициентов:

Таблица для тангенсов и котангенсов

Таблица Брадиса

Аналогичным образом с помощью соответствующей таблицы Брадиса можно найти значения тангенса:

  • \(tg\;10^\circ\;=\;0,1763\) . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(tg\;10^\circ\;12’\;=\;0,1799,\;tg\;10^\circ\;24’\;=\;0,1835\) ;
  • \(tg\;50^\circ\;=\;1,1918\) . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(tg\;50^\circ\;12’\;=\;1,2002,\;tg\;50^\circ\;24’\;=\;1,2088\) .

Для более точных показателей применяем поправочные коэффициенты (аналогично, как для таблиц синуса и косинуса):

С помощью правой колонки таблицы Брадиса со значением тангенсов можно найти котангенс. Альтернативный вариант — вычисление через тангенс угла, дополняющего искомый до 90°:

  • \(ctg\;10^\circ\;=\;tg\;80^\circ\;=\;5,671\) . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(сtg\;10^\circ\;12’\;=\;5,558,\;сtg\;10^\circ\;24’\;=\;5,449\) (аналогичные результаты могут быть получены, если посмотреть в значение тангенса дополняющих углов — 79° 48′ и 79° 36′ соответственно);
  • \(ctg\;50^\circ\;=\;0,8391\) . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(ctg\;50^\circ\;12’\;=\;0,8332,\;ctg\;50^\circ\;24’\;=\;0,8273\) (как вариант, можно уточнить значение тангенса дополняющих углов — 39° 48′ и 39° 36′).

Важно отметить, что значения тангенсов (и соответствующих им котангенсов) распределены по двум таблицам:

  • тангенсы углов от 0° до 76° (и котангенсы от 90° до 24°);
  • tg от 76° до 90° (и ctg от 24° до 0°).

Такое разделение связано с особенностями предоставления информации. Для котангенсов углов, близких к 90° (и котангенсам острых углов) проблематично использовать общие поправки, поэтому значения там даются индивидуально для каждого значения.

Например, в отдельных строках таблицы, без применения поправочных величин, приводятся:

  • \(tg\;80^\circ\;(и\;ctg\;10^\circ)\;=\;5,671\) ;
  • \(tg\;80^\circ\;1’\;(и\;ctg\;10^\circ\;59′)\;=\;5,681\) ;
  • \(tg\;80^\circ\;2’\;(и\;ctg\;10^\circ\;58′)\;=\;5,\;691\) ;
  • и так далее.

Величину тангенса и котангенса можно узнать и имея в наличии только таблицу Брадиса по синусам и косинусам. Для этого надо воспользоваться формулами:

Подставляя необходимые значения получим:

Значения от 181 до 360 градусов

Таблицы Брадиса дают значения для углов от 0° до 90°. Остальные величины можно легко найти с помощью формул приведения. В этом случае угол, величину которого необходимо узнать, представляется как сумма (или разность) угла, кратного 90° и острого угла, например, для 140° это будет:

  • 90° + 50°;
  • 180° — 40°.
Читайте также:  Стадии профессионального становления личности презентация к уроку по психологии на тему

Формулы приведения, которые используются в этом случае, имеют вид:

Для примера можно провести расчет для ситуации, когда угол в 140° представлен как 90° + 50°:

  • \(\sin\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;\cos\;50^\circ\;=\;0,6428\) ;
  • \(\cos\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;-\sin\;50^\circ\;=\;-0,7660\) ;
  • \(tg(90^\circ+50^\circ)=-ctg50^\circ=-0,8391\) ;
  • \(ctg\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;tg\;50^\circ\;=\;1,1918\) .

Практические примеры использования таблицы

Таблицам Брадиса легко можно найти применение в современном учебном процессе, например, выполняя школьные уроки.

Задача №1

10-метровая лестница опирается на здание таким образом, что имеет угол наклона 35°. Необходимо узнать расстояние от земли до ее вершины.

Решение

Имеем треугольник, где угол BСA = 90°, BАC = 30°. По определению^

где ВС — высота лестницы, которую нужно найти, а АВ — известная из условия длина.

Узнав из таблицы Брадиса нужный синус и подставив все известные значения в формулу, можно найти ответ:

ВС (высота лестницы) = 10 м х 0,5736 = 5,736 метров.

Задача №2

Найдете длину тени от маяка высокой 30 м, если солнце находится в 60° над горизонтом.

Решение

Схематически условия задачи можно представить в виде треугольника, с прямым углом ВСА, и ВАС = 55°. По определению:

где АВ — высота маяка, а СВ — длина тени.

Определив по таблице Брадиса нужную величину и подставив в формулу все известные значения, получим:

СВ (длина тени) = 30 м / 1,732 = 17,32 метра.

Источник

Таблица косинусов

Содержание статьи

  1. Что такое косинус угла и как его применять в решении задач
  2. Как рассчитать косинус угла без формул
  3. Калькулятор расчета косинуса онлайн
  4. Примеры решения задач по геометрии по нахождению неизвестных величин с применением таблицы косинусов Брадиса

Таблица косинусов

это удобное решение для проведения быстрых расчетов, когда нужно получить числовое значение косинуса того или иного угла. В статье мы узнаем, что такое косинус, чем похожи и как связаны таблица синусов и косинусов, как использовать таблицу синусов Брадиса для получения конкретных числовых значений косинуса того или иного угла.

Что такое косинус угла и как его применять в решении задач

Начнем с того, что каждый знает, что такое прямоугольный треугольник. Им называется такой треугольник, у которого один из углов (C) прямой (равен 90°), остальные два угла (? и ?) острые. Он имеет стандартное обозначение углов и сторон. Тогда, что такое косинус угла, можно рассмотреть дальше.

Стандартный прямоугольный треугольник: стороны a (BC) и b (AC) - катеты, сторона с (AB) - гипотенуза

Прямоугольный треугольник: стороны a (BC) и b (AC) – катеты, сторона с (AB) – гипотенуза

Прямой угол всегда равен 90°, острый – всегда меньше, а тупой – больше 90°

Согласно теореме косинусов, что бы рассчитать угол α или β, нужно знать длину гипотенузы (АВ) и прилежащий к этому углу катет.

Косинусэто отношение прилежащей стороны к гипотенузе:
  • cos α = b деленное на с;
  • cos β = а(BC)/с(AB) .

То есть, если вам нужно узнать, например, какой высоты делать крышу над домом, если известна ширина дома и угол наклона крыши, что бы снег не задерживался, то высоту конька рассчитать не составит труда, применяя теорему косинусов. Нужно помнить, что такие функции, как косинусы и синусы в формулах зависят от угла. Синус работает с противолежащей стороной, косинус с работает прилежащей.

C:\Users\Nataly\Desktop\Решение треугольников 4.jpg

Это тригонометрические формулы для вычисления углов в треугольнике через тригонометрические функции синус, косинус, тангенс, котангенс

Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе

Если треугольник не прямоугольный, его параметры также можно рассчитать, используя теорему Евклида. Суть ее в том, что треугольник, лежащий на плоскости, и имеющий стороны а, b, с, а также углом α, который находится напротив стороны а, может быть рассчитан по следующей формуле:

а²= b²+с²-2²· b· cos α или:

Таблица косинусов | 1

Отсюда можем найти cos α, cos α =( b²+2²- а²) : 2bс.

Небольшое уточнение: если угол α менее 90°, тогда b²+2²- а² > 0, если α =90°, то b²+2²- а²=0, если α >90°,то есть угол тупой, то и b²+2²- а² таблицу синусов и косинусов π . В ней расчет идет через число π, которое делится на целое число, в зависимости от размера угла, то есть sin 30° = π : 6 или 0,5, cos 30° = √3: 2. В такой таблице есть данные косинуса 30 градусов , косинуса 45 градусов, косинуса 60 градусов, косинуса 90 градусов, косинуса 120 градусов, косинус 180 градусов, косинус 270 градусов, косинус 360 градусов, косинус 0 , а также аналогичные значения синусов.

Читайте также:  Классификация методов обучения в педагогике

Ниже приведена таблица косинусов, дополнительно указаны синусы в их числовом выражении.

Значение угла α (градусов) Значение угла α в радианах COS (косинус)
Косинус 0 градусов 1
Косинус 15 градусов π/12 0.9659
Косинус 30 градусов π/6 0.866
Косинус 45 градусов π/4 0.7071
Косинус 50 градусов 5π/18 0.6428
Косинус 60 градусов π/3 0.5
Косинус 65 градусов 13π/36 0.4226
Косинус 70 градусов 7π/18 0.342
Косинус 75 градусов 5π/12 0.2588
Косинус 90 градусов π/2
Косинус 105 градусов 5π/12 -0.2588
Косинус 120 градусов 2π/3 -0.5
Косинус 135 градусов 3π/4 -0.7071
Косинус 140 градусов 7π/9 -0.766
Косинус 150 градусов 5π/6 -0.866
Косинус 180 градусов π -1
Косинус 270 градусов 3π/2
Косинус 360 градусов 1

Калькулятор расчета косинуса онлайн

Примеры решения задач по геометрии по нахождению неизвестных величин с применением таблицы косинусов Брадиса

Пример 1: Для примера решим следующую задачу. Берем прямоугольный треугольник, у него нужно найти оба угла, но известны гипотенуза с = 12 см, сторона b = 9,2 см. По теореме косинусов C:\Users\Nataly\Desktop\Решение треугольников 4.jpgcos α = b : с, cos α = 9,2: 12 = 0, 7667. Далее открываем таблицу Брадиса и научимся, как ею пользоваться для нахождения косинуса угла. С левой стороны таблицы мы напротив косинусов находим ближайшее значение 0, 7672, которое соответствует 39°, поднимаем линию до значения минут и находим 54′.

Но наше значение меньше табличного на 0,0006, что становит 3′. Тогда мы вычитаем эту поправку 3′, 39°54′ – 3′ = 39°51′. Второй угол находим, исходя из того, что сумма всех углов в треугольнике не должна превышать 180°. Поэтому 180° – (90° + 39°51′) = 50° 09′. Угол β = 50° 09′. Решаем задачу дальше. Ищем сторону а. Для этого мы можем использовать два способа.

  1. по формуле а²= b²+с²-2²· b· cos α находим сторону а;
  2. по формуле cos β=sinα = а: с, а = с · cos β.

Второй вариант немного проще в вычислении. Обращаемся к таблице Брадиса снова. У нас ближайшее значение 50° 06′ = 0,6414. Поправка на 3′ составляет 0, 0007. Тогда 0, 6414 + 0,0007 = 0,6421.

По условию с = 12 см, тогда а = 12 · 0,6421 = 7,7 см. Задача решена. Если значения углов простые, таблица косинусов и синусов может упростить вычисление. Можно использовать следующие тождества: sin (90°+15°) = cos 15°= cos (90°-75°) = sin 75° Функции повторяются, только нужно учитывать знак. Если нужно найти косинус 145 градусов, находим угол до 90 градусов. 180 °– 145° = 35°. Косинус 35 градусов будет 0,8192 по таблице, если это 145°, это будет значение с отрицательным значением -0,8192.

Пример 2: Рассмотрим треугольник с произвольными углами, ни один из которых не равен 90°. Мы имеем две стороны с =12 см, b = 8,2 см, а также угол α, который равен 31°12′. Найти третью сторону. Формула, которая применялась в предыдущей задаче, не подходит, так как у нас треугольник не прямоугольный (по крайней мере мы это ещё не рассчитали). Используем формулу из теоремы косинусов:

а² = b²+с²-2²· b· cos α. Косинус угла находим на пересечении угла 31° и 12′. Он равен числу 0,8554, которое мы и подставляем в формулу.

а² = 67, 24 + 144 -4 · 8,2 · 0,8554 = 211,24 – 28,07 = 183,17. Находим а = √183,17 = 13, 54 (см)

Если будет стоять задание найти ещё и углы треугольника, используем формулу:

с² = а² + b² – 2аb cos γ, отсюда cos γ = (b² + а² – с²): 2 bс. cos γ = (8,2² + 13,54² – 12²): 2· 8,2·12 = (64,24 + 183, 17 – 144): 196,8 = 0, 5255. Открываем таблицу Брадиса. Это число соответствует 58° 18′. Согласно теореме о правилах трёх углов в треугольнике находим третий угол:

180° – 58° 18′-31°12′ =89° 30′. Задача решена!

Можно не рассчитывать самому, а использовать сервис и высчитать косинус онлайн, когда регистрируешься на сайте, и любое вычисление приходит автоматически. Минус такого сервиса, его нельзя применять на экзамене по математике. В качестве справочного материала таблицы предоставляются. Естественно, надо хорошо уметь ими пользоваться, так как на экзамен отводится ограниченное количество времени.

Источник

Как вычислять косинусы с помощью таблицы брадиса

Рассмотрим на нескольких примерах как пользоваться таблицей Брадиса:
1. sin(8°) = 0.1392, sin(45°)=0.7071, sin(20°36′)=0.3518, sin(40°18′)=0.6468

2. cos(15°) = 0.9613, cos(30°)=0.8572, cos(72°24′)=0.2990, cos(45°48′)=0.7046

В таблице Брадиса представлены значения углов кратных 6 минутам. Если необходимо найти значения синуса или косинуса угла, который отсутствует в таблице Брадиса, следует выбирать наиболее близкое к нему значение. А на имеющуюся разницу, которая может быть 1′, 2′, 3′, взять поправочное значение из последних трех столбцов таблицы Брадиса.

1. sin(5°15′) = 0.0906 + 0.0009 = 0.0915, или sin(5°15′) = 0.0924 — 0.0009 = 0.0915

2. sin(27°44′) = 0.4648 + 0.0005 = 0.4653, sin(73°23′) = 0.9583 — 0.0001 = 0.9582

При вычислении значений синуса поправка имеет положительный знак, тогда как для косинуса поправку необходимо брать с отрицательным знаком:
1. cos(74°37′) = 0.2689 + (-0.0003) = 0.2686, cos(35°29′) = 0.8141 — (-0.0002) = 0.8139

Если вам необходимо узнать значения синуса или косинуса больше 90°, тогда воспользуйтесь формулами приведения и перейдите к углу, который больше 0°, но меньше 90°.

Для нахождения значений тангенсов и котангенсов мы используем таблицу Брадиса для тангенсов и котангенсов.

Ещё ПРОСМАТРИВАЮТ:

  1. ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ: СИНУСОВ И КОСИНУСОВ. ТАБЛИЦЫ БРАДИСА
  2. КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ЗНАЧЕНИЯ ТАНГЕНСА ИЛИ КОТАНГЕНСА, ИСПОЛЬЗУЯ ТАБЛИЦУ БРАДИСА
  3. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ: ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА. ТАБЛИЦЫ БРАДИСА
  4. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Источник

Как пользоваться таблицами синусов, косинусов, тангенсов

Нажмите, чтобы узнать подробности

В презентации рассказано о том, как с помощью таблиц Брадиса находить тригонометрические функции острых углов.

Просмотр содержимого документа
«Как пользоваться таблицами синусов, косинусов, тангенсов»

sin 22 ° = ? tg х = 0,8574

sin 22 ° = ?

tg х = 0,8574

Единицы измерения углов: градус – « ° » , минута – « ´ » , секунда – « ˝ » 36 градусов 28 минут 47 секунд 36 ° 28 ´ 47 ˝ © Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Единицы измерения углов:

градус – « ° » , минута – « ´ » , секунда – « ˝ »

36 градусов 28 минут 47 секунд

36 ° 28 ´ 47 ˝

© Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

 Брадис Владимир Модестович – Брадис Владимир Модестович 1890 - 1975 © Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Брадис Владимир Модестович –

Брадис Владимир Модестович 1890 — 1975

© Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Алгоритм нахождения синуса угла заданной величины по таблице Брадиса: 1 . Находим в столбце А величину угла в градусах. 2. Находим в строке А ближайшее значение в минутах. 3. На пересечении строки «36 ° » и столбца «24 ´ » находим значение синуса 4. Прибавляем к найденному значению поправку (или вычитаем). sin 38 ° 41 ´= 0,5939 0,6250 sin 36 ° 26 ´= © Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Алгоритм нахождения синуса угла заданной величины по таблице Брадиса:

1 . Находим в столбце А величину угла в градусах.

2. Находим в строке А ближайшее значение в минутах.

3. На пересечении строки «36 ° » и столбца «24 ´ » находим значение синуса

4. Прибавляем к найденному значению поправку (или вычитаем).

sin 38 ° 41 ´=

sin 36 ° 26 ´=

© Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Алгоритм нахождения косинуса угла заданной величины по таблице Брадиса: 1 . Находим в столбце А величину угла в градусах. 2. Находим в строке А ближайшее значение в минутах. 3. На пересечении строки «26 ° » и столбца « 48´ » находим значение косинуса 4. Прибавляем к найденному значению поправку (или вычитаем). cos 28 ° 13 ´= 0, 892 9 0,8812 cos 26 °4 6 ´= © Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Алгоритм нахождения косинуса угла заданной величины по таблице Брадиса:

1 . Находим в столбце А величину угла в градусах.

2. Находим в строке А ближайшее значение в минутах.

3. На пересечении строки «26 ° » и столбца « 48´ » находим значение косинуса

4. Прибавляем к найденному значению поправку (или вычитаем).

cos 28 ° 13 ´=

0, 892 9

cos 26 °4 6 ´=

© Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Задание 1 Используя таблицы Брадиса, найдите: sin 22 ° = 0,3749 sin 22 °36´ = 0,3843 cos 68 °18´ = 0,3697 tg 40 °40´ = 0,8591 © Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Используя таблицы Брадиса, найдите:

sin 22 ° =

sin 22 °36´ =

cos 68 °18´ =

tg 40 °40´ =

© Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Задание 2 Используя таблицы Брадиса, найдите: sin 16 ° = 1) 0,4163 0,2756 sin24 °36´= 2 ) 0,9092 0,9613 cos24 °36´= cos 16 ° = sin88 °49´= 4 ) 3 ) sin70 °32´= 0,9428 0,9998 0,3333 0,0206 cos88 °49´= cos70 °32´= © Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Используя таблицы Брадиса, найдите:

sin 16 ° =

sin24 °36´=

cos24 °36´=

cos 16 ° =

sin88 °49´=

sin70 °32´=

cos88 °49´=

cos70 °32´=

© Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Задание 3 Используя таблицы Брадиса, найдите величину угла: sin х = 0,0175 sin х = 0,5015 2) 1) х = 30°6´ х = 1 ° cos х = 0, 6814 cos х = 0, 0670 3) 4) х = 86°9´ х = 47°3´ © Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Задание 3

Используя таблицы Брадиса, найдите величину угла:

sin х = 0,0175

sin х = 0,5015

х = 30°6´

х = 1 °

cos х = 0, 6814

cos х = 0, 0670

х = 86°9´

х = 47°3´

© Кузьмина Е.А., Колобовская МСОШ, 2010

Используемая литература и Интернет-ресурсы: 1. Погорелов А.В. Геометрия: 7–9 классы – М.: Просвещение, 2004 2. Геометрия. 8 класс. Поурочные планы по учебнику А.В. Погорелова / Авт.-сост. Н.В. Грицаева – Волгоград: Учитель, 2006 3 . Википедия – свободная энциклопедия – http://ru.wikipedia.org/ Презентацию подготовила: Кузьмина Елена Александровна учитель математики и информатики Колобовская МСОШ Шуйский район Ивановская область 2010 год

Используемая литература и Интернет-ресурсы:

1. Погорелов А.В. Геометрия: 7–9 классы – М.: Просвещение, 2004

2. Геометрия. 8 класс. Поурочные планы по учебнику А.В. Погорелова / Авт.-сост. Н.В. Грицаева – Волгоград: Учитель, 2006

3 . Википедия – свободная энциклопедия – http://ru.wikipedia.org/

Кузьмина Елена Александровна

учитель математики и информатики

Колобовская МСОШ Шуйский район Ивановская область

Источник