Меню

Натуральный логарифм определение свойства и примеры решений

Натуральный логарифм — определение, свойства и примеры решений

Содержание

  1. Понятия и термины
  2. Функция выражения
  3. Свойства логарифма
  4. Примеры типовых заданий
  5. Использование онлайн-калькулятора

Из-за своего простого вида производная натурального логарифма нашла широкое применение в высшей математике, физике, экономике. Определяется она площадью, образованной гиперболой, и характеризуется рядом свойств. При этом всё, что относится к обычным логарифмам, справедливо и для неё. Для расчёта выражений такого вида используют правила и алгоритмы, делающие вычисления удобными и простыми.

Понятия и термины

Впервые упоминание о логарифмах встречается в античные времена. Толчком, послужившим для выделения понятия в отдельное выражение, стало открытие свойств степеней. Из-за стремительного развития архитектуры и строительства, астрономических исследований в средневековой Европе, Индии и Китае возник спрос на сложные расчёты. Так, вместо умножения при возведении в степень стали использовать логарифмирование — тождественную операцию.

При поиске различных закономерностей для упрощения вычислений было найдено простое действие, помогающее заменить громоздкую степенную запись простым членом. Выражение, используемое для этого, получило название логарифм. Равенство вида n x = y, в котором икс определяется иррациональным числом, стали обозначать как x = logn y .

В формуле log обозначает степенную функцию, n — основание, y — аргумент. Читается такая запись, как икс, равный логарифму игрек по основанию эн. В 1614 году шотландец Непер предложил таблицу логарифмов тригонометрических функций и описал их свойства. Несмотря на неточности в их вычислении, его расчёты вызвали восторг в математическом мире. Через пять лет английский учитель Спайделл внёс свои корректировки в таблицы и фактически предложил сборник натуральных логарифмов.

До начала XX века общепринятого обозначения выражения не существовало. Пока операция, заменяющая собой возведение в степень, не была подробно описана в книге «Введение в анализ бесконечных» Эйлера, который выделил и разделил все известные выражения логарифмов на три вида:

Стандартный. Им назвали выражение числа по основанию. Десятичный. Определяется основанием, равным десяти. Натуральный. Тот, у которого основание определяется иррациональной постоянной, равняющейся трансцендентному числу e (єкспонента).

Использование в основании натурального логарифма математической константы e играет важную роль в математическом анализе. Иррациональное число принимается равным 2,71828. Её функция дифференцируется и интегрируется «в саму себя». Поэтому запись, в основании которой стоит такое число, и назвали натуральным.

Таким образом, логарифм, у которого по основанию находится постоянная e, называют также натуральным. Математически это определение записывают в виде выражения: ln c = loge c.

Функция выражения

Функцией натурального логарифма является график, описывающийся равенством y = ln x. Он представляет собой возрастающую кривую, находящуюся в четвёртом и первом квадранте декартовой системы координат. По своему виду функция обратна экспоненциальному изображению, принадлежащему выражению y = e x .

Первая производная логарифма равняется отношению единицы к основанию. Например, (log c x )’ = ((1/ln c) * ln x)’ = (ln x)’ / ln c = 1 / x * ln c. Так как основанием в натуральном выражении является экспонента, то учитывая свойства производной, итоговое равенство будет иметь вид: ln e x = 1 / x. Значение e определяется пределом, к которому стремится при неограниченном возрастании число m. То есть ограничение можно записать как (1 + 1 / m) m .

График натурально-логарифмической функции сходен с обычной, но имеет меньшую крутизну. К основным свойствам функции относят:

  • неупорядоченный вид;
  • действительную область, ограниченную интервалом от нуля до плюс бесконечности;
  • множественность значений, относящихся к области от минус до плюс бесконечности;
  • переход графика оси игрек в точке A, определяющийся координатами (1; 0);
  • возрастание на всём протяжении функции;
  • отсутствие точки пересечения с осью ординат;
  • вертикальность асимптоты по отношению оси ординат;
  • знакопостоянство интервалов для значения ординаты больше нуля, находящегося в области от единицы до плюс бесконечности, и для ординаты в четвёртом квадранте от нуля до единицы.

Формула ∫ ln p dp = p ln p — p + C является интегралом функции натурального логарифма. Выводится она с помощью метода интегрирования по частям: ∫ i dk = i * k — i dk. В заданном интеграле можно выделить функции i и k и отдельно выполнить их интегрирование. Тогда исходное выражение будет разложено на две части. Первая будет иметь вид: i = ln p, di = dp / p, а вторая — dk = dp, k = p. Соответственно, выполняя подстановку, можно записать следующее равенство: p ln p — ∫ dp = p ln p — p + C.

Иными словами, простая интегральная первообразная функция g (p) = f'(p) / f (x) будет иметь вид: ln |f (p)|. Это также следует из цепного правила и факта: d / dp (ln |p|) = 1/p. Последнее выражение можно переписать как ∫ dx / x = ln |x| + C, где свободный член — произвольная константа. В соответствии: ∫ f'(x) / f (x) dx =ln |f (x)| + C.

Свойства логарифма

Натуральное логарифмическое выражение характеризуется основной формулой сложения и вычитания. Согласно ей, функцию вида ln (x * y) справедливо преобразовать в сумму ln x + ln y. Аналогично, если в основании стоит знак деления, то его можно заменить разностью: ln (x/y) = ln x — ln y. Это свойство логарифма используется довольно часто при преобразованиях сложных уравнений.

Кроме этого, можно выделить следующие основные формулы, использующиеся при решениях заданий различной сложности:

Логарифм степени. Используя это свойство, показатель степени можно выносить за знак натурального логарифма: ln c i n ​ ​ = n * ln c i. Если в основании натурального выражения стоит степень, то при перемещении её за знак функции в виде десятичной дроби получится тождественное уравнение: ln​ c n ​​​i = ​ 1/ n​​​ ​ * ln c * ​​i. То есть степень можно выносить в виде обратного числа. При нахождении степени в аргументе и основании эти показатели можно перенести за знак натурального логарифма: ln ​c​ n * ​​​​i​ m ​​ =​ (m​/n) ​ * ln c​​i. В случае, если значения показателей одинаковые, то выражение будет иметь вид: ln c n * i n = log c* i. Отношение логарифмов с разным основанием можно переписать как их произведение: ln c i / log c k = ln k * i. Натуральное выражение от иррациональной константы равняется единице, а от единицы — нулю. При этом логарифм по любому основанию от единицы составляет нуль.

Читайте также:  Методическая разработка теста по Информатике и ИКТ по теме Создание базы данных учебно методический материал на тему

Рассматриваемый логарифм можно разложить в степенной ряд. В нём слагаемыми служат действительная функция p © и её производные, делённые на факториал. Это преобразование называют разложение Маклорена. Для натурального выражения оно будет иметь вид: ln (1+c) = c — c 2 /2 + c 3 /3 — …+ (-1) n+1 * c n / n +…, при условии, что значение икса по модулю меньше единицы.

Для выражения логарифма через комплексные числа следует рассмотреть функцию с переменной p: f (p) = ln p. Переменную можно выразить через модуль q и аргумент u: p = q * e i*u . Применяя свойство логарифма, исходную формулу можно преобразить до вида: f (p) = ln p = ln (q * e i*u ) = ln q + ln e i*u .

Учитывая, что аргумент однозначно не определён, то u = u0 + 2 pn, где n — простое целое число, то p = q * e i*u . Смысл этой записи в том, что натуральное выражение, рассматриваемое как функция, будет неоднозначное.

Источник

Натуральный логарифм гугл таблица

Как найти натуральный логарифм

Термин «логарифм» произошел от двух греческих слов, одно из которых обозначает «число», а другое — «отношение». Им обозначают математическую операцию вычисления переменной величины (показателя степени), в которую надо возвести постоянное значение (основание), чтобы получить число, указанное под знаком логарифма. Если основание равно математической константе, называемое числом «e», то логарифм называют «натуральным». Статьи по теме:

  • Доступ в интернет, Microsoft Office Excel или калькулятор.

Инструкция
1 Воспользуйтесь во множестве представленными в интернете онлайн-калькуляторами — это, пожалуй, самый быстрый и простой способ вычисления натурального логарифма. Поиском соответствующего сервиса вам заниматься не придется, так как многие поисковые системы и сами имеют встроенные калькуляторы, вполне пригодные для работы с логарифмами. Например, перейдите на главную страницу самого крупного сетевого поисковика — Google. Никаких кнопок для ввода значений и выбора функций здесь не потребуется, просто наберите в поле ввода запроса нужное математическое действие. Скажем, для вычисления логарифма числа 457 по основанию «e» введите ln 457 — этого будет вполне достаточно, чтобы Google отобразил правильный ответ с точностью до восьми знаков после запятой (6,12468339) даже без нажатия кнопки отправки запроса на сервер.
2 Используйте соответствующую встроенную функцию, если необходимость вычисления значения натурального логарифма возникает при работе с данными в популярном табличном редакторе Microsoft Office Excel. Эта функция здесь вызывается с использованием общепринятого обозначения такого логарифма в верхнем регистре — LN. Выделите ячейку, в которой должен быть отображен результат вычисления, и введите знак равенства — так в этом табличном редакторе должны начинаться записи в ячейках, содержащих формулы. Затем наберите название функции (LN) и в скобках укажите числовое значение, логарифм которого требуется вычислить — например, =LN(457). После того, как вы нажмете Enter, в этой ячейке таблицы отобразится результат вычисления натурального логарифма.
3 Откройте программу-калькулятор, которая устанавливается вместе с операционной системой, если оба приведенных выше способа вам не подходят. Найти соответствующую ссылку в ОС Windows 7 можно, если раскрыть главное меню щелчком по кнопке «Пуск», а затем ввести «каль» в поле «Найти программы и файлы». Ссылка с названием «Калькулятор» будет первой строкой в результате поиска. В других версиях ОС ее надо искать в подразделе «Стандартные» раздела «Все программы» главного меню. Переключите калькулятор в более функциональный режим, нажав сочетание клавиш Alt + 2. Затем введите значение, натуральный логарифм которого требуется вычислить, и кликните в интерфейсе программы кнопку, обозначенную символами ln. Приложение произведет вычисление и отобразит результат. Видео по теме

Источник



Что такое логарифм

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют . Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
log2 2 = 1 log2 4 = 2 log2 8 = 3 log2 16 = 4 log2 32 = 5 log2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log2 5 = 2,32192809.
log3 8 = 1,89278926.
log5 100 = 2,86135311.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100.

Читайте также:  Расчет труб и дополнительного оборудования для теплого пола

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Что такое логарифм

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

  1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
  2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

  1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
  2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
  3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

  1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
  2. Составим и решим уравнение:
    log5 25 = b ⇒ (5 1 ) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
  3. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Пример логарифма

  1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4 ) −1 = 3 −4 ;
  2. Составим и решим уравнение: Как считать логарифм
  3. Получили ответ: −4.
  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. Составим и решим уравнение:
    log4 64 = b ⇒ (2 2 ) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2 b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Получили ответ: 3.
  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. Составим и решим уравнение:
    log16 1 = b ⇒ (2 4 ) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4 b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Получили ответ: 0.
  1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 2 ;
  2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
  3. Ответ — без изменений: log7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459.

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

  1. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
  2. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
  3. Десятичные дроби
  4. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
  5. Метод коэффициентов, часть 2
  6. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
Читайте также:  Таблица 1 Ограничения по клиентским счетам

Источник

9 удивительных возможностей Google Таблиц

Favorite В закладки

9 удивительных возможностей Google Таблиц

Доказывающих, что этот редактор таблиц невероятно крут. И для 95% людей вполне может заменить Excel.

У Google Sheet есть два явных достоинства: он бесплатен и работает через браузер/мобильные приложения (App Store/Google Play). Многие воспринимают его просто как удобное средство для просмотра табличек, присланных по почте. Но такая точка зрения в корне неверна.

Вот обзор интересных возможностей Google Sheets, дополненный несколькими полезными мини-инструкциями, заставит вас посмотреть на приложение совсем другими глазами.

1. Совместная работа над документами

collective_acess

В Google Sheet очень просто организовать совместную работу над файлом. Надо нажать на кнопку Настройки доступа, ввести email нужного человека и выставить для него права: редактирование, комментирование или чтение.

Если в команде слишком много народу, а документ не содержит конфиденциальной информации, то можно включить доступ по ссылке и выложить ее где-нибудь.

Не стоит бояться, что кто-нибудь испортит документ. Все версии сохраняются в истории изменений и откат к более ранней версии можно произвести в пару кликов.

google_spread_sheet_history

Если очень надо, можно защитить от редактирования определенные диапазоны данных.

Инструкция по блокировке ячеек

1. Выделяем ячейки и нажимаем Защитить лист.
list_protect
2. Даем имя диапазону и нажимаем на кнопку Задать разрешения.
set_permissions_1
3. Указываем, кто имеет право редактировать диапазон.
set_permission_2

Еще в Google Sheets есть интересный способ указать пользователю на конкретное место в документе. Не надо писать человеку письмо “Привет, Василий! Проверь пожалуйста данные 125 ячейки 17 столбца 30 листа счета №343”. Надо просто нажать на эту ячейку правой кнопкой мыши, выбрать пункт меню “Добавить комментарий” и набрать “+ вопрос к нему”.

В ответ ему придет письмо со ссылкой на нужный лист, ячейку и комментарий. Это очень удобно.

К слову, в Excel тоже можно совместно работать над документами через OneDrive и Office Online. Но стоит это удовольствие от 299 рублей в месяц.

2. Формулы

В Google Sheet 371 функция! Здесь их полный список с описаниями на русском языке. Они распределены по 15 разделам:

categories_of_formulas

Для справки, в Excel их на сто функций больше. Если что-то очень нужное, как раз из этой сотни, это не повод отказываться от Google Spreadsheet. Ведь можно создать функцию под себя!

Инструкция по созданию собственных функций

1. Открываем редактор скриптов:

open_script_editor

2. Набираем код функции:

[jscript]
function c100wN(x) <
x = x*100*1.4;
return x;
>
[/jscript]

function_code

function_in_action

Этот пример функции очень простой, но вооружившись учебником по экономике/статистике/дискретной математике, вы сможете заставить Google SpreadSheet делать вычисления высокой степени сложности и избавиться от необходимости платить за Excel.

P.S. В Excel тоже можно создавать пользовательские функции.

3. Автоматизации

В этой сфере возможности предмета статьи поражают воображения. Автоматизировать можно практически все. Надо только немного подумать.

Мощнейший Google Apps Script (расширенная версия Java Script для работы с сервисами Google) может связать Sheets со следующими приложениями:

  • Google Docs;
  • Gmail;
  • Google Translate;
  • Google Forms;
  • Google Sites;
  • Google Translate;
  • Google Calendar;
  • Google Contacts;
  • Google Groups;
  • Google Maps.

Тему использования этого языка совместно с Google Таблицами на iphones.ru мы поднимали неоднократно:

4. Коллекция дополнений

Если вам не хватает каких-то возможностей в Google Sheet, то можно попробовать найти что-нужно среди дополнений. Страница с доступными аддонами открывается из меню Дополнения -> Установить дополнения.

google_sheet_addons

Я бы рекомендовала присмотреться к следующим дополнениям:

  • Styles;
  • Remove Blank Words;
  • Advanced Find And Replace;
  • Translate My Sheet;
  • Fitbit Activity Importer;
  • Magic JSON;
  • Drive Links Exporter.

5. Google Forms

Предположим, что нам надо сделать онлайн-опрос и собрать данные в таблицу для последующей обработки. Есть очень быстрый и бесплатный способ это сделать.

Организуем опрос с помощью сервисов Google

1. Инструменты -> Создать форму

create_forms

2. Заполняем информацию, придумываем вопросы.

create_poll

3. Получаем ссылку на готовый опрос.

link_form

opros_in_action

opros_end

5. Смотрим свой ответ на листе в таблице.

polls_data

Еще форму можно получить html-код формы и поставить ее на сайт.

form_for_web

html_form

6. Интеграция с Google Drive

Для хранения таблиц Google Sheets предоставляется 15 Гб места бесплатно. На том как крут этот сервис мы останавливаться не будем, а просто расскажем о беcценной фиче под названием ОФФЛАЙН РЕЖИМ. Он доступен для текстовых документов, таблиц и презентаций.

О том как включить его в мобильных приложениях, а также десктопной версии браузера Chrome можно подробно ознакомиться здесь.

Стоит также уточнить, что использование Google Drive клиента на компьютере не позволяет работать с таблицами офлайн. Файлы Google Sheet хранятся на компьютере в виде файлов-ссылок, при открытии которых запускается браузер.

google_drive_client_string

7. Горячие клавиши

У Google Sheet есть несколько десятков сочетаний клавиш практически для всех действий. Полные списки для PC, Mac, Chromebook и Android можно посмотреть здесь.

8. Экспорт данных

Созданные таблицы можно не только просматривать и редактировать онлайн, но и скачивать в разнообразных форматах:

import_google_sheet

9. Мгновенная вставка картинок из интернета

На лист таблицы можно в два счета вставить любое изображение из сети. Просто вставьте в ячейку формулу как на рисунке:

gs_insert_image

Это были лишь некоторые из самых интересных фич. Если вы осознали мощь программы и захотели начать активно ее использовать, рекомендую посмотреть эти 16 видео-уроков для получения стартовых знаний.

Опрос: Что вы такого делаете в Excel, что не можете делать в Google Sheet?

Favorite В закладки

Источник