Знакомство с матрицами
Понятие и базовые операции.
Разработчики нейросетей говорят, что все нейросети — это просто бесконечное перемножение матриц. Мы решили разобраться, что это за матрицы и как их перемножать, а для этого пришлось полезть в линейную алгебру. И это оказалось не так сложно, как мы думали:
- Вектор — это просто группа из нескольких чисел, выстроенных в определённой последовательности. Например, рост и вес человека можно представить как вектор (172, 80). Ничего сложного.
- У вектора может быть внутри сколько угодно чисел. Главное — чтобы мы договорились, что для нас значат эти числа, и не меняли их местами просто так, произвольно.
- Векторы можно складывать, вычитать, умножать. Это чуть сложнее, чем с обычными числами.
- У вектора есть понятие линейной зависимости. Грубо говоря — параллельны друг другу векторы или нет. От этого зависит, какие операции можно делать с этими векторами.
Вектор — это «кирпичик» линейной алгебры. На его основе мы переходим к понятию матрицы.
Что такое матрица
Если вектор — это строка с числами в определённом порядке, то матрица — это таблица с числами в определённом порядке. Как у любой таблицы, у матрицы есть столбцы и строки. В них сидят какие-то числа. Всё вместе — это математический объект, то есть в каких-то случаях всю эту таблицу можно рассматривать как единое целое и совершать с ним операции.
Матрицы принято обозначать большими буквами латинского алфавита вроде А, В, С, D и так далее.
Числа внутри матрицы называют элементами. Каждый элемент обозначается двумя цифрами: первая цифра указывает на строку, а вторая — на столбец. Это адрес числа внутри матрицы. Например, элемент А₂₃ означает, что нужное число находится во второй строке и третьем столбце. Нумерация элементов нужна для записи формул и устного объяснения того, где находится нужное число в матрице.
В матрице может находиться неограниченное количество строк, столбцов и элементов. Из-за этого матрицы бывают разных видов и могут обладать разными особенностями. Например, если в матрице совпадает число строк и столбцов, то такая матрица называется квадратной.
В этой статье и в следующих материалах мы будем рассматривать разные виды матрицы и постепенно изучим их особенности.
Общая схема матрицы
Пример квадратной матрицы с пятью строками и столбцами. Записывается как матрица размера 5×5. В числовой матрице мы не нумеруем элементы — они закрепляются за числами по умолчанию. Например, элементу А₂₃ соответствует число три
Простые операции с матрицами
Вынесение минуса за пределы матрицы. Если внутри матрицы у большинства элементов знак минус, то часто это мешает расчётам или приводит к ошибкам. Чтобы этого избежать, от минуса избавляются. Для этого нужно вынести минус за пределы матрицы и изменить знак всех элементов внутри самой матрицы.
И наоборот: если внутри матрицы у большинства элементов знак минус и перед матрицей стоит минус, то минус можно внести в матрицу.
Выносим минус за пределы матрицы и получаем вместо двадцати одного отрицательного элемента — четыре
Перед матрицей минус, и внутри у большинства элементов минус. Вносим минус в матрицу и делаем её удобной для дальнейших вычислений
Умножение матрицы на число. Для умножения матрицы на число достаточно каждый элемент матрицы умножить на это число.
Пример умножения матрицы на число
Транспонирование матрицы. Это операция, которая позже нам понадобится для решения матричных уравнений. Для транспонирования мы берём известную матрицу, меняем в ней местами строки со столбцами и получаем новую матрицу. Как бы поставили матрицу набок.
⚠️ При этом в матрице запрещено в произвольном порядке менять элементы. Зато можно полностью менять местами строки или столбцы. Если мы поменяем местами первую и вторую строку, то это останется прежняя матрица.
Схема транспонирования матриц: первая строка переходит в первый столбец, вторая строка — во второй столбец и так далее в зависимости от количества элементов матрицы
Пример транспонирования. Транспонированная матрица обозначается буквой той же матрицы, из которой она получилась + надстрочечный индекс в виде печатной буквы «Т»
Матрицу можно перетасовывать, но это нужно делать по правилам. Транспонирование — одно из таких правил
Сложение и вычитание матриц
Если в нескольких матрицах совпадает число строк и столбцов, то мы можем их складывать и вычитать. Для вычислений нам нужно поэлементно сложить или вычесть каждый элемент матриц: первый элемент первой матрицы складываем с первым элементом второй матрицы или вычитаем из него и так далее. В результате получаем новую матрицу.
Пример сложения двух прямоугольных матриц с тремя строками и двумя столбцами
Пример вычитания двух матриц
Умножение матриц
Матрицы умножаются по принципу строка на столбец. Мы умножаем первую строку первой матрицы, на первый столбец второй матрицы, складываем результаты и получаем первый элемент новой матрицы. По аналогичной схеме вычисляем все остальные элементы. Звучит запутанно, поэтому идём по шагам:
Пошаговое умножение матрицы
- У нас есть две матрицы A и B. Их нужно перемножить, чтобы получить новую матрицу C.
- Размер матрицы A два на два: есть две строки и два столбца. Первая строка состоит из элементов А₁₁ и А₁₂; вторая — А₂₁ и А₂₂.
- У матрицы B такая же размерность: есть две строки и два столбца. Первая строка состоит из элементов B₁₁ и B₁₂; вторая — B₂₁ и B₂₂.
- У нас две одинаковые по размеру матрицы с двумя строками и столбцами. Это значит, что и матрица C будет размером два на два. Первая строка будет состоять из элементов C₁₁ и C₁₂; вторая — C₂₁ и C₂₂.
- Считаем элемент C₁₁. Умножаем первый элемент первой строки матрицы А (А₁₁) на первый элемент первого столбика матрицы B (B₁₁). Это первая часть, после которой ставим знак плюс. Вторая часть: умножаем второй элемент первой строчки матрицы А (А₁₂) на второй элемент первого столбика матрицы B (B₂₁). Складываем обе части и получаем первый элемент первой строки матрицы С (C₁₁).
- Считаем элемент C₁₂. Умножаем первый элемент первой строки матрицы А (А₁₁) на первый элемент второго столбика матрицы B (B₁₂). Это первая часть. Вторая часть: умножаем второй элемент первой строчки матрицы А (А₁₂) на второй элемент второго столбика матрицы B (B₂₂). Складываем части и получаем второй элемент первой строки матрицы С (C₁₂).
- Считаем элемент C₂₁. Умножаем первый элемент второй строки матрицы А (А₂₁) на первый элемент первого столбика матрицы B (B₁₁). Это первая часть. Вторая часть: умножаем второй элемент второй строки матрицы А (А₂₂) на второй элемент первого столбика матрицы B (B₂₁). Складываем части и получаем первый элемент второй строки матрицы С (C₂₁).
- Считаем элемент C₂₂. Умножаем первый элемент второй строки матрицы А (А₂₁) на первый элемент второго столбика матрицы B (B₁₂). Это первая часть. Вторая часть: умножаем второй элемент второй строки матрицы А (А₂₂) на второй элемент второго столбика матрицы B (B₂₂). Складываем части и получаем второй элемент второй строки матрицы С (C₂₂).
Если нам нужно найти матрицу в квадрате, то мы умножаем эту матрицу на саму себя. Если нужна матрица в кубе — умножаем её на саму себя три раза и так далее в зависимости от количества степеней. Если в одной из матриц все элементы нули, то она считается нулевой и после умножения на другую матрицу даёт нулевую матрицу — это как нуль умноженный на число всегда даёт нуль.
Источник
Математика для чайников. Матрицы и основные действия над ними
- 12 Январь 2021
- 7 минут
- 198 725
1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого — определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!
Определение матрицы
Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.
Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A, матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n, где m – количество строк, а n – количество столбцов.
Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.
Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать, умножать на число, умножать между собой, транспонировать. Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.
Операции сложения и вычитания матриц
Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы. Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.
Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.
Умножение матрицы на число
На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:
Операция умножения матриц
Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы — A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго. Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:
И пример с реальными числами. Умножим матрицы:
Операция транспонирования матрицы
Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:
Определитель матрицы
Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!
Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.
А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.
Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.
Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот — столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис. Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.
Источник
Умножение матриц.
Умножение матриц – это одна из самых распространенных операций с матрицами. Матрица, которая получается после умножения, называется произведением матриц.
Произведением матрицы A m × n на матрицу B n × k будет матрица C m × k такая, что элемент матрицы C, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце, то есть элемент c ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B.
Процесс умножения матриц возможен только в случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Пример:
Можно ли умножить матрицу
m = n, значит, умножать данные матрицы можно.
Если же матрицы поменять местами, то, при таких матрицах, умножение уже не будет возможно.
m ≠ n, таким образом, выполнять умножение нельзя:
Довольно часто можно встретить задания с подвохом, когда ученику предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.
Обратите внимание, что иногда можно умножать матрицы и так, и так. К примеру, для матриц,
возможно как умножение MN, так и умножение NM.
Операция умножения матриц.
Операция умножения матриц – это не очень сложное действие. Умножение матриц лучше понимать на конкретных примерах, т.к. только определение может сильно запутать.
Начнем с самого простого примера:
. Первым делом приведем формулу для данного случая:
– здесь хорошо прослеживается закономерность.
Источник
Матрицы
Общие сведения о матрицах из курса высшей математики
Краткая информация о матрицах в математике, видах матриц и действиях с ними.
Что такое матрица
Матрица — это прямоугольный массив элементов, записанных в виде набора строк и столбцов, количество которых определяют размер матрицы. Запись в виде прямоугольной таблицы, содержащая m — строк и n — столбцов, называется матрицей и записывается в виде:
$$ \left| \begin
Запись данных в виде матрицы позволяет компактно предоставить набор данных (чисел, символов, переменных и т.д.) и в последующем выполнить математические операции над этими данными или математические преобразования записанных в матрице данных.
- это матрица размерностью 3 × 4 3 – строки и 4 – столбца
- у матрицы три строки: $ \left( \begin
0 & -33 & 58 & 45 \end \right), \ \left( \begin 23 & 0 & 7 & 5 \end \right), \ \left( \begin 6 & 0 & -11 & 21 \end \right), \ $ - у матрицы четыре столбца: $ \left( \begin
0 \\ 23 \\ 6 \end \right), \ \left( \begin -33 \\ 0 \\ 0 \end \right), \ \left( \begin 58 \\ 7 \\ -11 \end \right), \ \left( \begin 45 \\ 5 \\ 21 \end \right) $ - каждому элементу матрицы можно присвоить порядковый номер и записать в виде: $ a_<11>\!=\!0,\ a_<12>\!=\!-33,\ a_<13>\!=\!58,\ a_<14>\!=\!45,$ $ a_<21>\!=\!23,\ a_<22>\!=\!0,\ a_<23>\!=\!7,\ a_<24>\!=\!5,\ $ $ a_<31>\!=\!6,\ a_<32>\!=\!0,\ a_<33>\!=\!-11,\ a_<34>\!=\!21 $
Для выполнения математических операций над матрицами, необходимо четко и однозначно идентифицировать каждый элемент матрицы и его взаимное расположение в матрице относительного других элементов. Для этого, каждому элементу присваивается порядковый номер, состоящий из номера строки и номера столбца в которых расположен элемент. Например, элемент расположенный в первой строке и третьем столбце будет иметь порядковый номер: $ а_ <13>$.
Используя указанное правило нумерации элементов матрицы, матрицу размерностью m – строк и n – столбцов, можно записать в виде:
$$ A = \left[ \begin
где элементом $ а_
Существует несколько видов матриц, обладающих фиксированными параметрами. Например, матрица, состоящая только из строки или столбца, или матрица содержащая все нули. Запись матриц в подобном виде помогает упростить некоторые математические операции над матрицами.
Рассмотрим некоторые виды специальных матриц.
Специальные виды матриц
Нулевая матрица — это матрица произвольного порядка называется нулевой матрицей тогда и только тогда, когда каждый элемент матрицы равен нулю. $ \left( \begin
Матрица «вектор-строка» — это матрица, которая имеет только одну строку. $ \left( \begin
Матрица «вектор-столбец» — это матрица, которая имеет только один столбец. $ \left( \begin
Математические операции над матрицами
Над данными записанными в виде матрице можно выполнять следующие математические операции:
- найти определитель матрицы
- найти собственные числа и вектор матрицы
- вычислить обратную матрицу
- вычислить ранг матрицы
- транспонировать матрицу
- привести матрицу к треугольному виду
- привести матрицу к диагональному виду
- выполнить LU разложение матрицы
- умножение матрицы на число
- возвести матрицу в степень
Над двумя и более матрицами, можно выполнить математические операции:
- сложение матриц
- вычитание матриц
- умножение матриц
Курс валют ЦБ РФ на 26.07.2021
1 USD = 73.77 руб.- 1 EUR = 86.85 руб.
- 10 CNY = 11.39 руб.
- 10 UAH = 27.28 руб.
1 USD = 73.77 руб.
1 EUR = 86.85 руб.
10 CNY = 11.39 руб.
10 UAH = 27.28 руб.Источник
Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения
Произведение двух матриц
Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n
- A = a ( i j ) размеров m × n ;
- B = b ( i j ) размеров p × n
Матрицу C , элементы c i j которой вычисляются по следующей формуле:
c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m
Вычислим произведения АВ=ВА:
А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1
Решение, используя правило умножения матриц:
А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2
В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3
Произведение А В и В А найдены, но являются матрицами разных размеров: А В не равна В А .
Свойства умножения матриц
Свойства умножения матриц:
- ( А В ) С = А ( В С ) — ассоциативность умножения матриц;
- А ( В + С ) = А В + А С — дистрибутивность умножения;
- ( А + В ) С = А С + В С — дистрибутивность умножения;
- λ ( А В ) = ( λ А ) В
Пример 1
Проверяем свойство №1: ( А В ) С = А ( В С ) :
( А × В ) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,
А ( В × С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .
Проверяем свойство №2: А ( В + С ) = А В + А С :
А × ( В + С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,
А В + А С = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .
Произведение трех матриц
Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:
- найти А В и умножить на С : ( А В ) С ;
- либо найти сначала В С , а затем умножить А ( В С ) .
Пример 3
Перемножить матрицы 2-мя способами:
4 3 7 5 × — 28 93 38 — 126 × 7 3 2 1
Алгоритм действий:
- найти произведение 2-х матриц;
- затем снова найти произведение 2-х матриц.
1). А В = 4 3 7 5 × — 28 93 38 — 126 = 4 ( — 28 ) + 3 × 38 4 × 93 + 3 ( — 126 ) 7 ( — 28 ) + 5 × 38 7 × 93 + 5 ( — 126 ) = 2 — 6 — 6 21
2). А В С = ( А В ) С = 2 — 6 — 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 — 6 × 2 2 × 3 — 6 × 1 — 6 × 7 + 21 × 2 — 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .
Используем формулу А В С = ( А В ) С :
1). В С = — 28 93 38 — 126 7 3 2 1 = — 28 × 7 + 93 × 2 — 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 — 126 × 2 38 × 3 — 126 × 1 = — 10 9 14 — 12
2). А В С = ( А В ) С = 7 3 2 1 — 10 9 14 — 12 = 4 ( — 10 ) + 3 × 14 4 × 9 + 3 ( — 12 ) 7 ( — 10 ) + 5 × 14 7 × 9 + 5 ( — 12 ) = 2 0 0 3
Ответ: 4 3 7 5 — 28 93 38 — 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3
Умножение матрицы на число
Произведение матрицы А на число k — это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
b i , j = k × a i , j
Свойства умножения матрицы на число:
- 1 × А = А
- 0 × А = нулевая матрица
- k ( A + B ) = k A + k B
- ( k + n ) A = k A + n A
- ( k × n ) × A = k ( n × A )
Пример 4
Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.
5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0
Умножение матрицы на вектор
Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
- если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
- результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:
А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m
- если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:
А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n
Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В :
А В = 2 4 0 — 2 1 3 — 1 0 1 1 2 — 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × ( — 1 ) — 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × ( — 1 ) — 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × ( — 1 ) = 2 + 8 + 0 — 2 + 2 — 3 — 1 + 0 — 1 = 10 — 3 — 2
Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В :
А = 3 2 0 — 1 , В = — 1 1 0 2
А В = 3 2 0 1 × — 1 1 0 2 = 3 × ( — 1 ) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × ( — 1 ) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × ( — 1 ) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × ( — 1 ) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = — 3 3 0 6 — 2 2 0 4 0 0 0 0 — 1 1 0 2
Ответ: А В = — 3 3 0 6 — 2 2 0 4 0 0 0 0 — 1 1 0 2
Источник