Матрицы. Виды матриц
Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.
Матрица порядка m × n записывается в форме:
или 
(i=1,2. m; j=1,2. n).
Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.
Матрица строка
Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:
Матрица столбец
Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например
Нулевая матрица
Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например
Квадратная матрица
Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:
Главная диагональ матрицы
Элементы расположенные на местах a 11, a 22 . ann образуют главную диагональ матрицы. Например:
В случае m×n -матриц элементы aii ( i= 1,2. min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:
Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .
Побочная диагональ матрицы
Элементы расположенные на местах a 1n, a 2n-1 . a n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:
Диагональная матрица
Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:
Единичная матрица
Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n , где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:
След матрицы
Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:
Верхняя треугольная матрица
Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:
Нижняя треугольная матрица
Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).
Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).
Ядро или нуль пространство матрицы
Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).
Противоположная матрица
Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.
Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица
Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:
В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.
Пример кососимметрической матрицы:
Разность матриц
Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством
Для обозначения разности двух матриц используется запись:
Степень матрицы
Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:
где E-единичная матрица.
Из сочетательного свойства умножения следует:
где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.
Симметричная (Симметрическая) матрица
Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.
Для симметричных матриц имеет место равенство:
Источник
Основные понятия. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
Матрицы.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Пример 13. , , , .
В общем случае матрица может содержать строк и столбцов
Числа называются элементами матрицы, где — указывает номер строки, — указывает номер столбца.
Элементы образуют главную диагональ матрицы.
Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называется матрицей – го порядка.
Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда , для всех , .
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.
Пример 14. .
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.
Пример 15. .
Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.
Пример 16. , .
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.
Пример 17. , .
Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором(вектор-строкой, вектор-столбцом).
Пример 18. , .
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .
Пример 19. ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
Основные понятия. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
Матрицы.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Пример 13. , , , .
В общем случае матрица может содержать строк и столбцов
Числа называются элементами матрицы, где — указывает номер строки, — указывает номер столбца.
Элементы образуют главную диагональ матрицы.
Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица размеров называется матрицей – го порядка.
Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е. тогда и только тогда, когда , для всех , .
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.
Пример 14. .
Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.
Пример 15. .
Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.
Пример 16. , .
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.
Пример 17. , .
Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором(вектор-строкой, вектор-столбцом).
Пример 18. , .
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .
Пример 19. ;
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
2.3.4.Табличные величины. Объекты алгоритмов
В практической деятельности человек часто использует всевозможные таблицы. Это, например, список учащихся в классном журнале, табель успеваемости, таблица результатов спортивных соревнований и т. д. Чаще всего встречаются линейные и прямоугольные таблицы.
Линейная таблица
Линейная таблица (одномерный массив) представляет собой набор однотипных данных, записанных в одну строку или один столбец. Элементы строки (столбца) всегда нумеруются. Например, с помощью линейной таблицы могут быть представлены дни недели (рис. 2.5, а) или количество уроков, пропущенных учеником в течение 5-дневной учебной недели (рис. 2.5, б).
Прямоугольная таблица
Прямоугольная таблица (двумерный массив) — это упорядоченный некоторым образом набор строк (столбцов), содержащих одинаковое количество элементов. Строки прямоугольных таблиц имеют свою нумерацию, столбцы — свою. Например, с помощью прямоугольной таблицы можно представить количество уроков, пропущенных всеми учениками 8 класса в течение 5-дневной учебной недели (рис. 2.6).
Всей совокупности элементов табличной величины даётся одно имя. Элементы различают по их номерам, называемым индексами. Индекс записывается в квадратных скобках сразу за именем таблицы.
Если первую из рассмотренных нами таблиц (см. рис. 2.5, а) назвать WEEK, то WEEK[1] = ‘понедельник’, WEEK[6] = ‘суббота’.
Назовём третью из рассмотренных таблиц LES. Тогда LES[1,1] = 6, LES[2,5] = 6, LES[3,4] = 0.
Образно линейная и прямоугольная таблицы показаны на рис. 2.7.
Источник