Меню

Оценка погрешностей измерений Расчет выборочного стандартного отклонения

Оценка погрешностей измерений. Расчет выборочного стандартного отклонения

Пусть измеряемая имеет известное значение величина X. Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x1,x2,…xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X. Тогда величина
будет являться абсолютной погрешностью i-го измерения. Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое
,
которое рассчитывают по формуле:

Однако при малых объемах выборки вместо
предпочтительнее пользоваться медианой. Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая ­большее, чем Ме. Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда. Например,
для n=3

Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов. Например,
для n=4

Далее рассчитывают среднеквадратичную погрешность (стандартное отклонение выборки), являющуюся мерой разброса и характеризующую случайную погрешность определения:

Выборочное стандартное отклонение sзависит от объема выборки n и ее значение колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного отклонения σ

Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком.
При очень большом числе выборки (n>
) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса. При малых n распределение может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t-распределением. Существует некоторый коэффициент t, называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f) и доверительной вероятности (Р) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата
определяется по формуле:

Разности между средним
выборки и средним значением генеральной совокупности μ лежат в Р случаях в пределах, которые при помощи нормального распределения и связанного с ним t-распределения определяются следующим выражением:

Величина

является доверительным интервалом среднего значения
. Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.

Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t)

Пример 1. Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа

= 0,679 .
Далее по формуле (2) находят стандартное отклонение единичного результата

По табл. 1 (приложение) находят для f = n-1= 9 коэффициент Стьюдента (Р = 0,95) t = 2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения.

По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t=2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.

Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % — й доверительной вероятности.
Решение. Коэффициент Стьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен 2,31. Учитывая, что

и
, найдем:

— ширина доверит. интервала для среднего значения

— ширина доверит. интервала для единичного измерения значения

Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s. Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в виде таблицы:

Источник

Таблица критических значений t-критерия Стьюдента

В таблице критических значений t-критерия Стьюдента находятся теоретические значения критерия.

df p=0,05 p=0,01 p=0,001
1 12,70 63,65 636,61
2 4,303 9,925 31,602
3 3,182 5,841 12,923
4 2,776 4,604 8,610
5 2,571 4,032 6,869
6 2,447 3,707 5,959
7 2,365 3,499 5,408
8 2,306 3,355 5,041
9 2,262 3,250 4,781
10 2,228 3,169 4,587
11 2,201 3,106 4,437
12 2,179 3,055 4,318
13 2,160 3,012 4,221
14 2,145 2,977 4,140
15 2,131 2,947 4,073
16 2,120 2,921 4,015
17 2,110 2,898 3,965
18 2,101 2,878 3,922
19 2,093 2,861 3,883
20 2,086 2,845 3,850
21 2,080 2,831 3,819
22 2,074 2,819 3,792
23 2,069 2,807 3,768
24 2,064 2,797 3,745
25 2,060 2,787 3,725
26 2,056 2,779 3,707
27 2,052 2,771 3,690
28 2,049 2,763 3,674
29 2,045 2,756 3,659
30 2,042 2,750 3,646
31 2,040 2,744 3,633
32 2,037 2,738 3,622
33 2,035 2,733 3,611
34 2,032 2,728 3,601
35 2,030 2,724 3,591
36 2,028 2,719 3,582
37 2,026 2,715 3,574
38 2,024 2,712 3,566
39 2,023 2,708 3,558
40 2,021 2,704 3,551
41 2,020 2,701 3,544
42 2,018 2,698 3,538
43 2,017 2,695 3,532
44 2,015 2,692 3,526
45 2,014 2,690 3,520
46 2,013 2,687 3,515
47 2,012 2,685 3,510
48 2,011 2,682 3,505
49 2,010 2,680 3,500
50 2,009 2,678 3,496
51 2,008 2,676 3,492
52 2,007 2,674 3,488
53 2,006 2,672 3,484
54 2,005 2,670 3,480
55 2,004 2,688 3,476
56 2,003 2,667 3,473
57 2,002 2,665 3,470
58 2,002 2,663 3,466
59 2,001 2,662 3,463
60 2,000 2,660 3,460
61 2,000 2,659 3,457
62 1,999 2,657 3,454
63 1,998 2,656 3,452
64 1,998 2,655 3,449
65 1,997 2,654 3,447
66 1,997 2,652 3,444
67 1,996 2,651 3,442
68 1,995 2,650 3,439
69 1,995 2,649 3,437
70 1,994 2,648 3,435
71 1,994 2,647 3,433
72 1,993 2,646 3,431
73 1,993 2,645 3,429
74 1,993 2,644 3,427
75 1,992 2,643 3,425
76 1,992 2,642 3,423
77 1,991 2,641 3,422
78 1,991 2,640 3,420
79 1,990 2,639 3,418
80 1,990 2,639 3,416
90 1,987 2,632 3,402
100 1,984 2,626 3,390
110 1,982 2,621 3,381
120 1,980 2,617 3,373
130 1,978 2,614 3,367
140 1,977 2,611 3,361
150 1,976 2,609 3,357
200 1,972 2,601 3,340
250 1,969 2,596 3,330
300 1,968 2,592 3,323
350 1,967 2,590 3,319
Читайте также:  Налоги при осн и усн таблица

Вы просмотрели статью критерий стьюдента таблица.

Источник



Таблица для погрешности стьюдента

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины :

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим . Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Δx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

Это означает, что из 100 шансов – 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм .

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ 2 – дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.

Читайте также:  Таблица соответствия оката рукава пройме

На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Δx и двумя ординатами из точек Δx1 и Δx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Δx1,Δx2) .

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

где – n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

Таблица 2
Таблица 3
Необходимое число измерений для получения ошибки Δ с надежностью Р

&#916 = Δx/σ Значения Р
0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.999
1.0 2 3 5 7 11 17
0.5 3 6 13 18 31 50
0.4 4 8 19 27 46 74
0.3 6 13 32 46 78 127
0.2 13 29 70 99 171 277
0.1 47 169 273 387 668 1089

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

  1. Результат каждого измерения запишите в таблицу.
  2. Вычислите среднее значение из n измерений

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4).

Таблица 4
n d, мм
1 4.02 + 0.01 0.0001
2 3.98 — 0.03 0.0009
3 3.97 — 0.04 0.0016
4 4.01 + 0 .00 0.0000
5 4.05 + 0.04 0.0016
6 4.03 + 0.02 0.0004
Σ 24.06 – 0.0046

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Сравним случайную и систематическую ошибки:

следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить.

Источник

Проект Extra.im

Критические значения коэффициента Стьюдента (t-критерия) для различной доверительной вероятности p и числа степеней свободы f:

f / p 0.80 0.90 0.95 0.98 0.99 0.995 0.998 0.999
1 3.0770 6.3130 12.7060 31.820 63.656 127.656 318.306 636.619
2 1.8850 2.9200 4.3020 6.964 9.924 14.089 22.327 31.599
3 1.6377 2.35340 3.182 4.540 5.840 7.458 10.214 12.924
4 1.5332 2.13180 2.776 3.746 4.604 5.597 7.173 8.610
5 1.4759 2.01500 2.570 3.649 4.0321 4.773 5.893 6.863
6 1.4390 1.943 2.4460 3.1420 3.7070 4.316 5.2070 5.958
7 1.4149 1.8946 2.3646 2.998 3.4995 4.2293 4.785 5.4079
8 1.3968 1.8596 2.3060 2.8965 3.3554 3.832 4.5008 5.0413
9 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 3.6897 4.2968 4.780
10 1.3720 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 3.5814 4.1437 4.5869
11 1.363 1.795 2.201 2.718 3.105 3.496 4.024 4.437
12 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0845 3.4284 3.929 4.178
13 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.1123 3.3725 3.852 4.220
14 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.976 3.3257 3.787 4.140
15 1.3406 1.7530 2.1314 2.6025 2.9467 3.2860 3.732 4.072
16 1.3360 1.7450 2.1190 2.5830 2.9200 3.2520 3.6860 4.0150
17 1.3334 1.7396 2.1098 2.5668 2.8982 3.2224 3.6458 3.965
18 1.3304 1.7341 2.1009 2.5514 2.8784 3.1966 3.6105 3.9216
19 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.1737 3.5794 3.8834
20 1.3253 1.7247 2.08600 2.5280 2.8453 3.1534 3.5518 3.8495
21 1.3230 1.7200 2.2.0790 2.5170 2.8310 3.1350 3.5270 3.8190
22 1.3212 1.7117 2.0739 2.5083 2.8188 3.1188 3.5050 3.7921
23 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.1040 3.4850 3.7676
24 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 3.0905 3.4668 3.7454
25 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.0782 3.4502 3.7251
26 1.315 1.705 2.059 2.478 2.778 3.0660 3.4360 3.7060
27 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.0565 3.4210 3.6896
28 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.0469 3.4082 3.6739
29 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.0360 3.3962 3.8494
30 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.0298 3.3852 3.6460
32 1.3080 1.6930 2.0360 2.4480 2.7380 3.0140 3.3650 3.6210
34 1.3070 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 3.9520 3.3479 3.6007
36 1.3050 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 9.490 3.3326 3.5821
38 1.3042 1.6860 2.0244 2.4286 2.7116 3.9808 3.3190 3.5657
40 1.303 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 3.9712 3.3069 3.5510
42 1.320 1.682 2.018 2.418 2.6980 2.6930 3.2960 3.5370
44 1.301 1.6802 2.0154 2.4141 2.6923 3.9555 3.2861 3.5258
46 1.300 1.6767 2.0129 2.4102 2.6870 3.9488 3.2771 3.5150
48 1.299 1.6772 2.0106 2.4056 2.6822 3.9426 3.2689 3.5051
50 1.298 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 3.9370 3.2614 3.4060
55 1.2997 1.673 2.0040 2.3960 2.6680 2.9240 3.2560 3.4760
60 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 3.9146 3.2317 3.4602
65 1.2947 1.6686 1.997 2.3851 2.6536 3.9060 3.2204 3.4466
70 1.2938 1.6689 1.9944 2.3808 2.6479 3.8987 3.2108 3.4350
80 1.2820 1.6640 1.9900 2.3730 2.6380 2.8870 3.1950 3.4160
90 1.2910 1.6620 1.9867 2.3885 2.6316 2.8779 3.1833 3.4019
100 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 2.8707 3.1737 3.3905
120 1.2888 1.6577 1.9719 2.3578 2.6174 2.8598 3.1595 3.3735
150 1.2872 1.6551 1.9759 2.3515 2.6090 2.8482 3.1455 3.3566
200 1.2858 1.6525 1.9719 2.3451 2.6006 2.8385 3.1315 3.3398
250 1.2849 1.6510 1.9695 2.3414 2.5966 2.8222 3.1232 3.3299
300 1.2844 1.6499 1.9679 2.3388 2.5923 2.8279 3.1176 3.3233
400 1.2837 1.6487 1.9659 2.3357 2.5882 2.8227 3.1107 3.3150
500 1.2830 1.6470 1.9640 2.3330 2.7850 2.8190 3.1060 3.3100

Добавить комментарий Отменить ответ

Разделы

  • Видео и вебинары (7)
  • Интересные места планеты (30)
  • Научные основы (13)
  • Оффлайн исследования (7)
  • Приборы для исследований (5)
  • Статьи об исследованиях (13)
  • Экспедиции по местам Силы (20)

Новые материалы

  • 16-я необъяснимая встреча НОЗП и критика 28.06.2021
  • 18 — 21 июня 2021 26.06.2021
  • 9 — 11 апреля 2021 года 21.04.2021
  • 20 — 21 марта 2021 года 29.03.2021
  • Первый Чемпионат по экстрасенсорике 24.01.2021
  • Телепортация с точки зрения науки 14.11.2020
  • 31 октября — 1 ноября 2020 года 08.11.2020
  • Большой Взрыв, тесты на психокинез и Источник Всего 04.11.2020
  • Магия с точки зрения современной науки 25.10.2020
  • Портал в параллельный мир с точки зрения современной науки 18.10.2020
  • Статьи об исследованиях
  • Видео и вебинары
  • Интересные места планеты
  • Экспедиции
  • Оффлайн исследования
  • Научные основы

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник