Меню

Почему 4 не является простым числом



Что такое Простые числа

Простые числа — это натуральные числа, больше единицы, которые делятся без остатка только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Единица не является ни простым числом, ни составным.

Последовательность простых чисел начинается с 2 и является бесконечной; наименьшее простое число — это 2 (делится на 1 и на самого себя).

Составные числа — это натуральные числа, у которых есть больше двух делителей (1, оно само и например, 2 и/или 3); это противоположность простым числам. Например: 4, 6, 9, 12 (все делятся на 2, на 3, на 1 и на само себя).

Все натуральные числа считаются либо простыми, либо составными (кроме 1).

Натуральные числа — это те числа, которые возникли натуральным образом при счёте предметов; например: 1, 2, 3, 4. (нет ни дробей, ни 0, ни чисел ниже 0).

Зачастую множество простых чисел в математике обозначается буквой P.

Простые числа до 1000

Как определить, является ли число простым?

Очень простой способ понять, является ли число простым — нужно его разделить на простые числа и посмотреть, получится ли целое число. Сначала нужно попробовать его разделить на 2 и/или на 3. Если получилось целое число, то оно не является простым.

Если после первого деления не получилось целого числа, значит нужно попробовать разделить его на другие простые числа: 5, 7, 11 и т. д. (на 9 делить не нужно, т. к. это не простое число и оно делится на 3, а на него вы уже делили).

Более структурированный метод — это решето Эратосфена.

Решето Эратосфена

Это алгоритм поиска простых чисел. Для этого нужно:

  1. Записать все числа от 1 до n (например, записываются все числа от 1 до 100, если нужны все простые числа между ними);
  2. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 2 (кроме 2);
  3. Вычеркнуть все числа, которые делятся на 3 (кроме 3);
  4. И так далее по порядку со всеми невычеркнутыми числами до числа n (после 3 это 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.).

Те числа, которые не будут вычеркнуты в конце этого процесса, являются простыми.

Взаимно простые числа

Это натуральные числа, у которых 1 — это единственный общий делитель. Например:

  • 14 (это 2 х 7) и 15 (это 3 х 5), единственный общий делитель — 1; если числа следуют одно за другим (как 13 и 12 либо 10 и 11), то они всегда будут взаимно простыми;
  • 7 (это 7 х 1) и 11 (это 11 х 1) — это два простых числа, а значит единственный общий делитель всегда будет только единица, простые числа всегда являются взаимно простыми;
  • или 30 и 48 не являются взаимно простыми, т. к. 6 х 5 = 30 и 6 х 8 = 48 и 6 — это наибольший общий делитель, т. е.: НОД (30; 48) = 6.

Число Мерсенна

Простое число Мерсенна — это простое число вида:

число Мерсенна формула, 2 в степени p минус 1

До 1536 г. многие считали, что числа такого вида были все простыми, пока математик Ульрих Ригер не доказал, что 2 (^11) – 1 = 2047 было составным (23 x 89). Затем появились и другие составные числа (p = 23, 29, 31, 37 и др.).

Например, для p = 23 это 2 (^23) – 1 = 8 388 607; И 47 x 178481 = 8 388 607, значит оно составное.

Почему 1 не является простым числом?

Российские математики Боревич и Шафаревич в своей знаменитой работе «Теория чисел» (1964 г.) определяют простое число как p (элемент кольца D), не равен ни 0, ни 1. И p можно называть простым числом, если его невозможно разложить на множители ab (т.е. p = ab), притом ни один из них не является единицей в D. Так как 1 невозможно представить ни в одном, ни в другом виде, 1 не считается ни простым числом, ни составным.

Почему 4 не является простым числом?

Простое число — это натуральное число, больше единицы, которое делится без остатка на 1 и на само себя. Т. к. 4 можно разделить на 1, на 2 и на 4, из-за деления на 2 оно не является простым.

Самое большое простое число

21 декабря 2018 года Great Internet Mersenne Prime Search (проект, целью которого является открытие новых простых чисел Мерсенна) обнаружил новое самое большое известное простое число:

(2 в степени 82,589,933) минус 1

Новое простое число также именуется M82589933 и в нём более чем на полтора миллиона цифр больше, чем в предыдущем (найденном годом ранее).

Источник

Таблица Шульте: методика поиска чисел для детей и взрослых

Наверняка на нашем сайте вы видели, что в основе тренажеров Викиум лежат научные разработки известных ученых. Одна из них — Таблицы Шульте. Что это такое? Почему они так важны для развития мозга? Мы расскажем!

Начнем, пожалуй, с определения. В таблице Шульте случайным образом располагаются буквы или цифры. Задача: как можно скорее отыскать эти значения в определенном порядке. Разумеется, на результаты влияет и скорость поиска, и количество правильных ответов. Наиболее часто встречаются таблицы квадратного вида, с пятью строками и столбцами. В числовом варианте размещается 25 цифр в случайном порядке. Задача человека, который работает с ней: за короткое время найти все числа от 1 до 25.

Немного истории

Как вообще появилась методика? Своим происхождением эта техника обязана немецкому психотерапевту Вальтеру Шульте. С 1962 по 1972 годы он практиковал как профессор в области психиатрии в Тюбингене. Изначально методика применялась в качестве психодиагностической пробы во время экспериментов по исследованию свойств человеческого внимания.

Эффективно ли решение Таблиц Шульте?

Через методику специалисты отслеживали работоспособность и скорость ориентировочно-поисковых движений взгляда. Однако, после публикации данного метода, он приобрел популярность в более широких кругах психиатров и психотерапевтов. В ходе исследований была доказана высокая эффективность занятий для развития памяти, внимания, и интеллекта, в целом. При регулярном решении подобных задач, вне зависимости от возраста (заниматься может как школьник, так и взрослый), улучшается объемное внимание. Все дело в самой методике: когда символы воспринимаются сразу все вместе, а отыскиваются последовательно. Впоследствии их стали активно использовать во всевозможных курсах по развитию скорочтения и для расширения поля зрения, в целом.

Читайте также:  Модель виды моделей понятие и описание

В работах некоторых специалистов в области психиатрии и психологии внимание уделено и им. Состояние человека, который занимается поиском символов схоже с состоянием, которое достигается во время сеанса медитации. А подобные состояния позволяют не только “перезагрузить голову”. Они положительно сказываются на всех областях нашего мозга.

Часто можно встретить случаи, когда таблицы Шульте являлись частью курсов по НЛП. Но как связаны Нейролингвистическое Программирование и эти задачи? Сознание перестраивается. Оно переключается от критического и избирательного восприятия к некоему апатичному состоянию, тем самым повышая способность мозга решать последовательные логические задачи.

Как эффективно работать с таблицами Шульте?

Чтобы рассказать о том, как быстрее решать задачи, составленные по этой методике, мы подберем максимально часто встречающуюся таблицу с числами от 1 до 25. Итак, найдите такое изображение и распечатайте его. Что делать дальше? Прочитайте все числа от 1 до 25 беззвучно, про себя. Найдите центральную точку изображения, чтобы вам было видно каждое из чисел. Таким способом будет достигаться максимальная тренировка периферического зрения. Если это необходимо, отодвиньте от себя таблицу на такое расстояние, чтобы видеть все ее ячейки вам было максимально комфортно. Как правило, достаточно оказывается расстояния от 40 до 50 сантиметров.

Занимаясь по методике, в первую очередь, вы тренируете и развиваете свои зрительные навыки. Какие выводы из этого нужно сделать? Все просто. Не ориентируйтесь на показатели скорости. Уделите внимание тому, насколько качественно вы выполняете упражнение. А качественным выполнение можно назвать только в том случае, если движение ваших зрачков от угла до угла — минимально.

Да, в первые разы выполнять упражнение, постоянно контролируя движение своих глаз, и перенося фокус: сложно. Однако с каждым новым практическим занятием вам будет становиться проще.

Как часто нужно заниматься таблицами Шульте, чтобы развивать навыки?

В развитии навыков внимания, памяти, мышления, одним из главных составляющих является не только усердие, но и периодичность. Посвящать время выполнению упражнения необходимо регулярно. Оптимальной считается периодичность 3-4 раза в неделю по 15-20 минут. В таком режиме необходимо заниматься хотя бы 2-3 недели, пока навыки активно развиваются и закрепляются. Впоследствии количество упражнений можно сократить. Поддерживать полученные навыки и развивать их далее, тоже очень важно.

Еще один важный момент, который касается занятий: если вы почувствовали, что ваши глаза начинают очень сильно уставать, то обязательно сделайте перерыв в 20-30 минут. Такой эффект может наблюдаться у людей, чье периферическое зрение недостаточно развито. Однако, благодаря регулярным тренировкам, развить его оказывается достаточно просто.

Какие существуют таблицы Шульте?

Со временем, помимо каноничной версии, психологи создали еще массу вариантов. Например, ячейки раскрашивают в красно-черной гамме. В некоторых задачах содержится не только числовая информация, а комбинации чисел и букв. Современные таблицы Шульте нередко вообще оказываются без чисел и без букв, и вместо них пользователю предстоит искать предметы в определенном порядке.

Часть тренажеров на Викиум также была разработана, опираясь на эту методику.

Источник

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1 .

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а , то есть оно будет делиться само на себя и на 1 . Дадим определение целых чисел.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Простые числа: 2 , 3 , 11 , 17 , 131 , 523 . Они делятся только сами на себя и на 1 . Составные числа: 6 , 63 , 121 , 6697 . То есть число 6 можно разложить на 2 и 3 , а 63 на 1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 63 , а 121 на 11 , 11 , то есть его делители будут 1 , 11 , 121 . Число 6697 разложится на 37 и 181 . Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000 , тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1 , b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а . Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.

Читайте также:  Дисперсия и стандартное отклонение

Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b , который отличен от 1 как и от b . Такой делитель обозначается как b 1 . Необходимо, чтобы условие 1 b 1 b было выполнено.

Из условия видно, что а делится на b , b делится на b 1 , значит, понятие делимости выражается таким образом: a = b · q и b = b 1 · q 1 , откуда a = b 1 · ( q 1 · q ) , где q и q 1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a = b 1 · ( q 1 · q ) . Видно, что b 1 – это делитель для числа а . Неравенство 1 b 1 b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а .

Простых чисел бесконечно много.

Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.

Примем на рассмотрение число р, которое равняется p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p 1 , p 2 , … , p n . Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение p n + 1 и показать несовпадение делителя ни с одним из p 1 , p 2 , … , p n .

Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p 1 , p 2 , … , p n , получим, что оно делилось бы на p n + 1 . Заметим, что на выражение p n + 1 делится число р равняется сумме p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получим, что на выражение p n + 1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1 , но это невозможно.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100 , 1000 , 10000 и так далее.

Решето Эратосфена

При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.

Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .

Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2 . Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:

Далее вычеркиваем все числа, кратные 3 . Получаем таблицу вида:

Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5 . Получим:

Вычеркиваем числа, кратные 7 , 11 . В конечном итоге таблица получает вид

Перейдем к формулировке теоремы.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a , где a является арифметическим корнем заданного числа.

Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа а . Существует такое целое число q , где a = b · q , причем имеем, что b ≤ q . Недопустимо неравенство вида b > q , так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b ≤ q следует умножить на любое положительное число b , не равное 1 . Получаем, что b · b ≤ b · q , где b 2 ≤ a и b ≤ a .

Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа , которое равняется b 2 и удовлетворяет неравенству b 2 ≤ a . То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2 , то процесс начинается с 4 , а кратных 3 – с 9 и так далее до 100 .

Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n . В примере, где n = 50 , у нас имеется, что n = 50 . Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50 . Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Решение

Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.

Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.

Определить составное или простое число 11723 .

Решение

Теперь необходимо найти все делители для числа 11723 . Необходимо оценить 11723 .

Отсюда видим, что 11723 200 , то 200 2 = 40 000 , а 11 723 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 108 2 = 11 664 , а 109 2 = 11 881 , то 108 2 11 723 109 2 . Отсюда следует, что 11723 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

При разложении получим, что 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 – это все простые числа. Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19 . Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:

Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19 .

Читайте также:  Postgresql вывести содержимое таблицы

Ответ: 11723 является составным числом.

Источник

Разряды и классы чисел

О чем эта статья:

Числа и цифры

Числа — это единицы счёта. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.

Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …

  • Единица (1) — самое маленькое число, а самого большого числа не существует.
  • Ноль (0) означает, что предмета нет. Ноль не является натуральным числом.

От количества цифр в числе зависит его название.

Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.

Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.

Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трёхзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трёхзначное — 100, наибольшее — 999.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.

Таблица классов

Названия классов многозначных чисел справа налево:

  • первый — класс единиц,
  • второй — класс тысяч,
  • третий — класс миллионов,
  • четвёртый — класс миллиардов,
  • пятый — класс триллионов,
  • шестой — класс квадриллионов,
  • седьмой — класс квинтиллионов,
  • восьмой — класс секстиллионов.

Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:

А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

  • 148 миллиардов 911 миллион 723 тысячи 296.

Разряды чисел

От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:

  • 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу.

При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Разряды чисел

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще, чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Разрядные единицы принято обозначать так:

  • Единицы — единицами первого разряда (или простыми единицами) и пишутся на первом месте справа.
  • Десятки — единицами второго разряда и записывают в числе на втором месте справа.
  • Сотни — единицами третьего разряда и записывают на третьем месте справа.
  • Единицы тысяч — единицами четвертого разряда и записывают на четвертом месте справа.
  • Десятки тысяч — единицами пятого разряда и записывают на пятом месте справа.
  • Сотни тысяч — единицами шестого разряда и записывают в числе на шестом месте справа и так далее.

Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.

Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши онлайн-курсы по математике!

Потренируемся

Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:

  1. 55 единиц второго класса и 100 единиц первого класса;
  2. 110 единиц второго класса и 5 единиц первого класса;
  3. 7 единиц второго класса и 13 единиц первого класса.
  1. 55 100;
  2. 110 005;
  3. 7 013.

Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:

  • 10 единиц = 1 десяток;
  • 10 десятков = 1 сотня;
  • 10 сотен = 1 тысяча;
  • 10 тысяч = 1 десяток тысяч;
  • 10 десятков тысяч = 1 сотня тысяч;
  • 10 сотен тысяч = 1 миллион.

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.

Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит в числе есть две простые сотни.

Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.

Значит, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.

Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т.д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

  • 11 627 — одиннадцать тысяч шестьсот двадцать семь.
  • 31 502 — тридцать одна тысяча пятьсот два.

Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.

Источник