Меню

Получение таблиц истинности i



Таблица истинности

Инструкция . При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения:

Клавиша Оператор
! ¬ Отрицание (НЕ)
| | Штрих Шеффера (И-НЕ)
# Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ)
* & Конъюнкция (И)
+ v Дизъюнкция (ИЛИ)
^ Исключающее ИЛИ, сумма по модулю 2 (XOR)
@ Импликация (ЕСЛИ-ТО)
% Обратная импликация
= ≡ (

bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис.

Правила ввода логической функции

  1. Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
  2. Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
  3. Максимальное количество переменных равно 10 .

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики — алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: «НЕ» (отрицание), «И» (конъюнкция), «ИЛИ» (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:

  • словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
  • описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
  • описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
    а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
    1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
    2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
    3) полученное произведение логически суммируется.
    Fднф= X 123 ∨ Х1 x 2Х3 ∨ Х1Х2 x 3 ∨ Х1Х2Х3
    ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
    б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
    КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
    1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
    2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
    3) логически перемножаются полученные суммы.
    Fскнф=(X1 V X2 V X3) ∧ (X1 V X2 V X 3) ∧ (X1 V X 2 V X3) ∧ ( X 1 V X2 V X3)
    КНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг.

По алгебраической форме можно построить схему логического устройства, используя логические элементы.

Рисунок1- Схема логического устройства

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Источник

Построение таблиц истинности

Вы будете перенаправлены на Автор24

Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.

Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.

Готовые работы на аналогичную тему

При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:

Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.

Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка), $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.

Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.

Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.

Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar \vee (B \vee C)$.

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:

Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.

Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.

По данному логическому выражению построить таблицу истинности:

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:

  1. отрицание ($\bar$);
  2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A \vee B$);
  3. конъюнкция ($(A\vee B)\bigwedge \overline$);
  4. отрицание, которое обозначим $F_1$ ($\overline<(A\vee B)\bigwedge \overline>$);
  5. дизъюнкция ($A \vee C$);
  6. конъюнкция ($(A\vee C)\bigwedge B$);
  7. отрицание, которое обозначим $F_2$ ($\overline<(A\vee C)\bigwedge B>$);

Кол-во столбцов = $3 + 8 = 11$.

Заполним таблицу, учитывая таблицу истинности логических операций.

Алгоритм построения логической функции по ее таблице истинности

  1. Выделяют в таблице истинности строки со значением функции, равным $1$.
  2. Выписывают искомую формулу как дизъюнкцию нескольких логических выражений. Количество этих выражений равно количеству выделенных строк.
  3. Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции записать как конъюнкцию аргументов функции.
  4. В случае, когда значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы принимает значение $0$, то этот аргумент записать в виде его отрицания.

По данной таблице истинности некоторой логической функции $Y(A,B)$ cоставить соответствующую логическую функцию.

Решение:

  1. Значение функции равно $1$ в $1$-й и $3$-й строках таблицы.
  2. Поскольку имеем $2$ строки, получим дизъюнкцию двух элементов:

  • Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции запишем как конъюнкцию аргументов функции $A$ и $B$: $\left(A\wedge B\right)\vee \left(A\wedge B\right)$
  • В случае, когда значение в соответствующей строке таблицы равно $0$, запишем этот аргумент с отрицанием, получим искомую функцию:\[Y\left(A,B\right)=\left(\overline\wedge \overline\right)\vee \left(A\wedge \overline\right).\]
  • Источник

    Получение таблиц истинности i

    Определения и понятия

    Под таблицей истинности понимают свод значений, которые может принять высказывание при сочетании различных входящих комбинаций. Другими словами, каждому набору функций или сигналам, присутствующим на входе чего-либо, соответствует строго определённые показатели на выходе. Все значения, являющиеся всевозможными высказываниями, называют логическими выражениями. Если в таблице последние столбцы логичных выражений идентичны, то рассматриваемый объект считается равносильным.

    Любое выражение можно описать формулой, в которую будут включаться переменные, характеризующие состояния, и обозначающие функции знаки логических операций. Поэтому используя язык математики, в частности, алгебры, любое сложное высказывание можно разделить на несколько простых, а затем объединить логической связью.

    Обычно значениями истинности описывают логическую функцию, у которой показатели параметров определяют верность. Раздел математики рассматривающий их на правдивость или ложность называется булевым. В 1854 году английский учёный Джордж Буль предложил метод, позволяющий проводить анализ классов и высказываний. Согласно ему, любое значение может принимать одно из двух состояний — истина или ложь.

    Эти состояния принято обозначать арабскими цифрами один либо ноль или словами true и false. Это возможно из-за того, что для математики важна только истинность высказываний, а конкретное содержание второстепенно. Простые высказывания принято считать логическими переменными, а сложные — функциями логики. Выражения для упрощения записи обозначают латинскими буквами A, B, C.

    Применение двух цифр подчёркивает соответствие между двоичной системой счисления и математической логикой. В итоге с помощью последней стало удобным описывать работу цифровых схем радиоэлектронной аппаратуры, алгоритмы в программировании, проводить синтез и анализ результата выполнения операций.

    Суждение о правильности построения таблиц истинности для логических выражений основано на учёте всех переменных и операций, последовательно выполняющихся в рассматриваемой функции. Обычно для начертания используют 2 n +1 строк, где n обозначает количество входных переменных, и n+m столбцов, m — число значений на выходе.

    Виды логических операций

    В качестве наименьшей единицы измерения объёма данных принято считать бит. В него заносится одно из двух значений — ложь (0) или правда (1). Каждая ячейка, соответствующая биту, находится лишь в одном из этих состояний. Существуют определённые операции, используемые для действий с ячейками:

    1. AND (И) — применяется для сравнения двух бит. Результатом действия будет единица, но лишь в том случае, если значения двух ячеек одинаковое. При остальных вариантах итог будет иметь устойчивое нулевое состояние.
    2. OR (ИЛИ) — по сути, операция обратная AND. Результат становится нулевым, если содержимое двух сравниваемых бит одинаковое. В остальных случаях он равный единице.
    3. XOR (ИЛИ) — если значения, содержащиеся в двух сравниваемых битах противоположны, при выполнении логического действия результат будет равный единице. Во всех остальных случаях он будет равняться нулю.
    4. NOT (НЕ) — действие, используемое для одного бита. Если первоначально ячейка находилась в нулевом состоянии, то после выполнения над ней операции она станет равной единице и наоборот. Фактические это логическая инверсия.

    Эти операции являются основными элементами при составлении таблиц истинности и получения возможного результата. На основании их построена алгебра Буля. Некоторые элементы получаются путём объединения нескольких операций. Так, существует состояние: NAND (И-НЕ) и NOR (ИЛИ-НЕ). Первый элемент является инверсией операции «И», а второй — «ИЛИ». На основании рассмотренных операторов строится работа всех цифровых интегральных схем.

    В информатике существует своя терминология, обозначающая то или иное логическое действие. Так, AND называют операцией конъюнкции, OR — дизъюнкции, XOR — сложение по модулю 2, NOT — отрицание. Задача инженера при анализе схем или алгоритма сводится к выполнению булевой арифметики и упрощению выражений. Для этого используют различные правила и положения не требующих доказательства.

    Аксиомы и законы

    Построение таблиц в удобной форме позволяет определить, когда определённое действие или высказывание принимает верное значение, а в каком случае нет. В верхней строчке записывают логическую форму высказывания, а в столбцах — истинные значения. Некоторые комбинации высказываний всегда будут истинными или ложными, независимо от содержания. Поэтому и были сформулированы следующие законы:

    1. Торжества. Записывается в виде утверждения: А = А. В этом случае таблица будет состоять из двух комбинаций: ложной и правдивой. Бинарная логическая связка «Если А, то А» является материальной импликацией. Для такого варианта всегда можно сказать, что А есть А. Этот закон обозначает то, что нельзя подменять одно понятие другим, иначе возникнут логические ошибки.
    2. Противоречия. Согласно ему, утверждение, что А и НЕ-А, неверно: A & A = 0. Другими словами, если А истинное значение, то его отрицание не может быть ложным. То есть их перемножение будет всегда фальшивой операцией. Этот закон довольно часто применяется для упрощения сложных логических суждений.
    3. Третьего исключённого. Закон записывается в виде A v A = 1 и обозначает, что в один и тот же момент высказывание может быть только правдивым или ложным. То есть третьего не дано.

    Эти три закона фундаментальны. Без их соблюдения сделать любое правильное утверждение невозможно.

    Для решения логических задач с помощью таблиц истинности используют различные формулы, соответствующие разного вида операциям. Одно из них логическое умножение (конъюнкция). В этом случае считается, что функция истинная лишь тогда, когда оба выражения являются верными: F = A & B. Другое логическое сложение (дизъюнкция). Оно гласит, что если оба выражения ложны, то и логическая функция будет неверной.

    Кроме того, используется закон:

    • инверсии (отрицания) — если логическое высказывание истинно, то отрицание его будет ложным выражением;
    • импликации (следования) — для всегда истинного сложного логического выражения ложь будет тогда, когда из верности следует отрицание;
    • эквивалентности (равнозначности) — выражение будет истинным лишь тогда, когда оба высказывания имеют одинаковое значение.

    При построении таблиц нужно придерживаться установленного порядка выполнения упрощения операций. Вначале считают инверсию и конъюнкцию, а затем дизъюнкцию, импликацию и эквиваленцию. При изменении же порядка выполнения действий в описании логических операций используют скобки.

    Алгоритм построения

    Таблицы истинности показывают, какой вид может принять выражение при различных входящих в него значениях переменных. Для того чтобы их правильно построить и выполнить вычисление логического выражения нужно придерживаться установленного алгоритма. Построение таблиц выполняют в следующей последовательности:

    • подсчитывают количество переменных n;
    • вычисляют число строк для будущей таблицы используя формулу m = 2n+1;
    • определяют число логических операций;
    • устанавливают порядок выполнения операций в соответствии со скобками и приоритетами;
    • строят таблицу с указанием столбцов и наборов значений, заданных логических операций;
    • заполняют оставшиеся ячейки в таблице.

    Для заполнения таблиц нужно упрощать выражения с учётом последовательности выполнения операций. При этом учитывать, что если значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы будет равное нулю, то записывать его нужно в виде отрицания.

    Пример задания

    Пусть необходимо построить таблицу для логического выражения F = (A → B) * (A + B). Эта формула состоит из двух логических переменных A и B и нескольких операций. Начинают построение с определения строк. Используя формулу 2n+1 для рассматриваемого примера можно установить, что их число будет: x = 22 + 1 = 5.

    Теперь следует определить число столбцов. Для этого используется формула, в которой учитывается количество переменных и операций. Последние можно просто посчитать, сложив количество разных знаков, используемых в записи формулы. Но правильней сначала расставить порядок операций, а затем посчитать. Согласно порядку действия над операциями их нумерацию можно представить в следующей очерёдности:

    1. Импликация в первой скобке.
    2. Инверсия во второй скобке переменной A.
    3. Отрицание во второй скобке неизвестной B.
    4. Сложение во втором члене.
    5. Конъюнкция.

    В итоге получится, что столбцов будет: Y = 2 + 5 = 7. Теперь нужно построить таблицу 7Х5. В шапку первого и второго столбца вписывают переменные, а затем операции над ними. Затем в строках, соответствующих A и B нужно записать всё, что с ними может произойти. В итоге останется только правильно посчитать последний столбец.

    Для этого нужно использовать законы. Необходимо выполнить логическое умножение значений в скобках. Первой и второй строчке будет соответствовать операция произведения один на один, что в ответе даст единицу. Третьей и четвёртой — ноль на один, что в итоге даст ноль. Последний столбец является главным для рассматриваемой логической функции. По нему можно узнать значение логической функции для любых форм переменных A и B.

    Это довольно простая задача, содержащая всего две переменных. Но в реальности, например, в программировании, их может быть намного больше. Решать такие задания методом перебора проблематично. Поэтому при решении сложных примеров функцию вначале пытаются упростить.

    Например, заданно выражение (x + y + z) * (x + y). По сути, оно записано в совершенно нормальной конъюнктивной форме. Но для приведения его к этому виду нужно, чтобы во втором выражении стояла z. Для того чтобы её добавить необходимо обратить внимание на то, что внутри скобок стоит логическое сложение. Поэтому дописав к нему ноль, результат не изменится. Добавить ноль через z можно, как ноль умножить на НЕ z. В итоге получится выражение (x + y + z) * (x + y + z + z), для которого, используя алгоритм составить таблицу уже не так и сложно.

    Вычисления онлайн

    В интернете есть сервисы, автоматически строящие таблицы истинности. Такие сайты предлагают свои услуги бесплатно и доступны даже тем, кто слабо ориентируется в теме. С их помощью можно находить таблицы для довольно сложных выражений, решение которых требует скрупулёзности в расчёте. В основе онлайн-вычислений заложены принципы логических законов, поэтому за достоверность результата можно не переживать. Тем более расчёт занимает совсем небольшое количество времени.

    Для того чтобы воспользоваться сайтами-калькуляторами пользователю необходимо знать обозначение операций, иметь подключение к интернету и установленный веб-обозреватель, поддерживающий Flash-технологию. Регистрацию, указание личных данных сервисы, предлагающие такого рода услуги, не требуют.

    Из различных порталов можно отметить три наиболее популярных калькулятора:

    1. Allcalc.
    2. Programforyou.
    3. Uchim.

    Эти сайты имеют интуитивно понятный интерфейс и что довольно полезно, на своих страницах содержат краткую теорию, используемую для составления таблиц истинности и даже примеры решений.

    Источник

    Таблица истинности

    • Что такое таблицы истинности
    • Логические операции
    • Логические выражения
    • Инверсия
    • Конъюнкция
    • Дизъюнкция
    • Правила составления таблицы истинности
    • Примеры построения таблицы истинности

    Что такое таблицы истинности

    Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов.

    Таблица истинности необходима для совершения логических операций. Она включает в себя n+1 столбцы и 2 n строки, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах представлены разные значения аргументов функции, а в n+1 столбце представлены значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

    Набором называется совокупность значений переменных. А = 0, В = 1. В случае, когда количество переменных n, число различных наборов будет равно 2 N . Например, для трех переменных число разных наборов будет равно 2 3 = 8.

    Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

    Для создания таблиц истинности используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

    Можно встретить вариацию таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В подобной таблице в первые n столбцы, так же как и в первом варианте, вписаны наборы аргументов, а остальные столбцы заполнены значениями подфункций, которые входят в запись функции. Благодаря этим промежуточным вычислениям, упрощается расчет конечного значения функции.

    Применение таблиц истинности чаще всего встречается в булевой алгебре и в цифровой электронной технике для описания работы логических схем.

    Логические операции

    Логические операции — построение из одного или нескольких высказываний нового высказывания.

    Результатом может являться не только образование нового высказывания, но и изменение содержания или объема уже данных высказываний. В случае логической операции истинность значения нового высказывания всецело определяется истинностью значения исходных высказываний.

    К логическим операциям относятся конъюнкция, дизъюнкция, импликация, разделительная дизъюнкция, эквиваленция, антиконъюнкция, антидизъюнкция.

    Логические выражения

    Логическое выражение — это запись, принимающая логическое значение «истина» или «ложь».

    Их можно разделить на два типа:

      выражения, использующие операции сравнения и принимающие логические значения. Например, выражение a Определение

    Инверсия или логическое отрицание — это логическая операция, при выполнении которой из данного высказывания получается новое высказывание. Это высказывание является отрицанием исходного высказывания.

    Унарной в данном случае называется операция, которая используется относительно одной величины.

    Конъюнкция

    Конъюнкция — это логическое умножение. Эта операция, для которой требуются два и более логических величины. Конъюнкция соединяет логические высказывания при помощи связки «и». Связка изображается символом ∧.

    Конъюнкция может быть истинной только в том случае, если оба высказывания истинны. Например, A ∧ B, если A = ложь, а B = истина, является ложным.

    Дизъюнкция

    Дизъюнкция — логическое сложение. Эта логическая операция соединяет два и более высказываний с помощью связки «или». Эта связка обозначается как ∨.

    Логическое высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из условий. Например, A ∨ B истинно, даже если А = истина, а В = ложь. Высказывание будет ложным только в том случае, если ложны и А, и В.

    Правила составления таблицы истинности

    Таблицу истинности можно построить для любого логического выражения. В этой таблице будут отражены все значения, которые принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных.

    Строить таблицы истинности необходимо по следующему алгоритму:

    1. Вычислить число переменных в выражении (n).
    2. Вычислить общее количество логических операций в выражении.
    3. Определить последовательность, в которой будут выполняться логические операции.
    4. Установить количество столбцов в таблице — количество переменных и количество операций.
    5. Внести в шапку таблицы переменные и операции, соблюдая последовательность, определенную в пункте 3.
    6. Высчитать количество строк в таблице, используя формулу m = 2 n
    7. Занести в таблицу наборы входных переменных. Они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n −1.
    8. Заполнить таблицу, совершая логические операции.

    Примеры построения таблицы истинности

    Задача

    Построим таблицу истинности и решим выражение \( F = (A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)\) . Будем пользоваться приведенным выше алгоритмом.

    1. Число переменных в выражении n = 2.
    2. Общее количество логических операций в выражении — 5.
    3. Последовательность выполнения логических операций — 1, 5, 2, 4, 3.
    4. Количество столбцов — 7. Логические переменные (А и В) + логические операции \(\vee\) , \(\wedge\) , \(¬\) , \(\vee\) , \(¬\) = 2 +5 = 7.
    5. Количество строк — 5, исходя из m =2 n , таким образом 2 2 = 4, 4+1 (строка заголовков столбцов) = 5.
    6. Заполним таблицу.

    Решение

    А В \(А \vee В\) ¬А ¬В \(¬А \vee ¬В\) \((A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)\)
    1 1 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1

    После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

    F = 0 при A = B = 0 и A = B = 1

    Задача

    Построим еще одну таблицу истинности и решим выражение \(F = X \vee Y \wedge ¬Z\)

    1. Число переменных в выражении n = 3.
    2. Общее количество логических операций в выражении — 3.
    3. Последовательность выполнения логических операций — 3, 2, 1.
    4. Количество столбцов — 6. Логические переменные (X, Y, Z) + логические операции \( \vee\) , \(\wedge\) , ¬ = 3 + 3 = 6.
    5. Количество строк — 9, исходя из m =2 n , таким образом 2 3 = 8, 8+1 (строка заголовков столбцов) = 9.
    6. Заполним таблицу.

    Решение

    X Y Z ¬ Z \(Y \wedge ¬Z\) \(X \vee Y \wedge ¬Z\)
    q
    1
    1 1 1 1
    1 1 1
    1 1 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1

    После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

    F = 0, при X = Y = Z = 0; при X = Y = 0 и Z = 1.

    Источник

    Логические выражения и таблица истинности

    Таблица истинности — таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

    Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

    Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак « =».

    Алгоритм построения таблицы истинности:

    1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

    2. определить число строк в таблице по формуле m=2 n , где n — количество переменных;

    3. подсчитать количество логических операций в формуле;

    4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

    5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

    6. выписать наборы входных переменных;

    7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

    1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

    2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

    3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

    Пример 1. Для формулы A/\ (B \/ ¬B /\ ¬C) постройте таблицу истинности.

    Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 2 3 = 8.

    Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

    Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А\/ В)/\(¬А\/¬В) .

    1. В выражении две переменные А и В (n=2).

    2. m строк=2 n , m=2 2 =4 строки.

    3. В формуле 5 логических операций.

    4. Расставляем порядок действий

    1) А\/ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А\/¬В; 5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).

    5. К столбцов=n+5=2+5=7 столбцов.

    Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

    Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

    1. В данной функции три логические переменные – А, В, С
    2. количество строк таблицы = 2 3=8
    3. В формуле 3 логические операции.
    4. Расставляем порядок действий
    1. количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

    Пример 4. Определите истинность формулы: F = ((С \/В) => В) /\ (А /\ В) => В.

    Построим таблицу истинности этой формулы.

    Ответ: формула является тождественно истинной.

    Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

    Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

    Какое выражение соответствует F?

    Решение (вариант 1, через таблицы истинности ):

    Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

    Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/ Y\/¬ Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

    Решение (Вариант 2):

    Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

    Рассмотрим данный конкретный пример:

    1) первое заданное выражение ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

    2) второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;

    3) третье выражение X\/Y\/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

    4) четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

    Источник

    Читайте также:  Таблица монет россии 1997 2015