Меню

Построение электронных схем реализующих логические операции



Таблица истинности

  • Что такое таблицы истинности
  • Логические операции
  • Логические выражения
  • Инверсия
  • Конъюнкция
  • Дизъюнкция
  • Правила составления таблицы истинности
  • Примеры построения таблицы истинности

Что такое таблицы истинности

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов.

Таблица истинности необходима для совершения логических операций. Она включает в себя n+1 столбцы и 2 n строки, где n — число используемых переменных. В первых n столбцах представлены разные значения аргументов функции, а в n+1 столбце представлены значения функции, которые она принимает на данном наборе аргументов.

Набором называется совокупность значений переменных. А = 0, В = 1. В случае, когда количество переменных n, число различных наборов будет равно 2 N . Например, для трех переменных число разных наборов будет равно 2 3 = 8.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Для создания таблиц истинности используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).

Можно встретить вариацию таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В подобной таблице в первые n столбцы, так же как и в первом варианте, вписаны наборы аргументов, а остальные столбцы заполнены значениями подфункций, которые входят в запись функции. Благодаря этим промежуточным вычислениям, упрощается расчет конечного значения функции.

Применение таблиц истинности чаще всего встречается в булевой алгебре и в цифровой электронной технике для описания работы логических схем.

Логические операции

Логические операции — построение из одного или нескольких высказываний нового высказывания.

Результатом может являться не только образование нового высказывания, но и изменение содержания или объема уже данных высказываний. В случае логической операции истинность значения нового высказывания всецело определяется истинностью значения исходных высказываний.

К логическим операциям относятся конъюнкция, дизъюнкция, импликация, разделительная дизъюнкция, эквиваленция, антиконъюнкция, антидизъюнкция.

Логические выражения

Логическое выражение — это запись, принимающая логическое значение «истина» или «ложь».

Их можно разделить на два типа:

    выражения, использующие операции сравнения и принимающие логические значения. Например, выражение a Определение

Инверсия или логическое отрицание — это логическая операция, при выполнении которой из данного высказывания получается новое высказывание. Это высказывание является отрицанием исходного высказывания.

Унарной в данном случае называется операция, которая используется относительно одной величины.

Конъюнкция

Конъюнкция — это логическое умножение. Эта операция, для которой требуются два и более логических величины. Конъюнкция соединяет логические высказывания при помощи связки «и». Связка изображается символом ∧.

Конъюнкция может быть истинной только в том случае, если оба высказывания истинны. Например, A ∧ B, если A = ложь, а B = истина, является ложным.

Дизъюнкция

Дизъюнкция — логическое сложение. Эта логическая операция соединяет два и более высказываний с помощью связки «или». Эта связка обозначается как ∨.

Логическое высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из условий. Например, A ∨ B истинно, даже если А = истина, а В = ложь. Высказывание будет ложным только в том случае, если ложны и А, и В.

Правила составления таблицы истинности

Таблицу истинности можно построить для любого логического выражения. В этой таблице будут отражены все значения, которые принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных.

Строить таблицы истинности необходимо по следующему алгоритму:

  1. Вычислить число переменных в выражении (n).
  2. Вычислить общее количество логических операций в выражении.
  3. Определить последовательность, в которой будут выполняться логические операции.
  4. Установить количество столбцов в таблице — количество переменных и количество операций.
  5. Внести в шапку таблицы переменные и операции, соблюдая последовательность, определенную в пункте 3.
  6. Высчитать количество строк в таблице, используя формулу m = 2 n
  7. Занести в таблицу наборы входных переменных. Они представляют собой целый ряд n-разрядных двоичных чисел от 0 до 2 n −1.
  8. Заполнить таблицу, совершая логические операции.

Примеры построения таблицы истинности

Задача

Построим таблицу истинности и решим выражение \( F = (A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)\) . Будем пользоваться приведенным выше алгоритмом.

  1. Число переменных в выражении n = 2.
  2. Общее количество логических операций в выражении — 5.
  3. Последовательность выполнения логических операций — 1, 5, 2, 4, 3.
  4. Количество столбцов — 7. Логические переменные (А и В) + логические операции \(\vee\) , \(\wedge\) , \(¬\) , \(\vee\) , \(¬\) = 2 +5 = 7.
  5. Количество строк — 5, исходя из m =2 n , таким образом 2 2 = 4, 4+1 (строка заголовков столбцов) = 5.
  6. Заполним таблицу.

Решение

А В \(А \vee В\) ¬А ¬В \(¬А \vee ¬В\) \((A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)\)
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0 при A = B = 0 и A = B = 1

Задача

Построим еще одну таблицу истинности и решим выражение \(F = X \vee Y \wedge ¬Z\)

  1. Число переменных в выражении n = 3.
  2. Общее количество логических операций в выражении — 3.
  3. Последовательность выполнения логических операций — 3, 2, 1.
  4. Количество столбцов — 6. Логические переменные (X, Y, Z) + логические операции \( \vee\) , \(\wedge\) , ¬ = 3 + 3 = 6.
  5. Количество строк — 9, исходя из m =2 n , таким образом 2 3 = 8, 8+1 (строка заголовков столбцов) = 9.
  6. Заполним таблицу.

Решение

X Y Z ¬ Z \(Y \wedge ¬Z\) \(X \vee Y \wedge ¬Z\)
q
1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1

После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:

F = 0, при X = Y = Z = 0; при X = Y = 0 и Z = 1.

Источник

Информатика: таблица истинности. Построение таблиц истинности

Сегодня мы поговорим о предмете под названием информатика. Таблица истинности, разновидности функций, порядок их выполнения – это наши основные вопросы, на которые мы постараемся найти ответы в статье.

Читайте также:  Оценка конкурентоспособности компании ООО Кока Кола

Обычно данный курс преподается еще в средней школе, но большое количество учеников является причиной недопонимания некоторых особенностей. А если вы собрались посвятить этому свою жизнь, то просто не обойтись без сдачи единого государственного экзамена по информатике. Таблица истинности, преобразование сложных выражений, решение логических задач – это все может встретиться в билете. Сейчас мы рассмотрим более подробно данную тему и поможем вам набрать больше балов на ЕГЭ.

Предмет логики

Что же это за предмет — информатика? Таблица истинности – как ее строить? Зачем нужна наука логика? На все эти вопросы мы сейчас с вами ответим.

Информатика – это довольно увлекательный предмет. Он не может вызывать затруднения у современного общества, ведь все, что нас окружает, так или иначе, относится к компьютеру.

Основы науки логики даются преподавателями средней школы на уроках информатики. Таблицы истинности, функции, упрощение выражений – все это должны объяснять учителя информатики. Эта наука просто необходима в нашей жизни. Приглядитесь, все подчиняется каким-либо законам. Вы подбросили мяч, он подлетел вверх, но после этого упал опять на землю, это произошло из-за наличия законов физики и силы земного притяжения. Мама варит суп и добавляет соль. Почему когда мы его едим, нам не попадаются крупинки? Все просто, соль растворилась в воде, подчиняясь законам химии.

Теперь обратите внимание на то, как вы разговариваете.

  • «Если я отвезу своего кота в ветеринарную клинику, то ему сделают прививку».
  • «Сегодня был очень тяжелый день, потому что приходила проверка».
  • «Я не хочу идти в университет, потому что сегодня будет коллоквиум» и так далее.

Все, что вы говорите, обязательно подчиняется законам логики. Это относится как к деловой, так и к дружеской беседе. Именно по этой причине необходимо понимать законы логики, чтобы не действовать наугад, а быть уверенным в исходе событий.

Функции

Для того чтобы составить таблицу истинности к предложенной вам задаче, необходимо знать логические функции. Что это такое? Логическая функция имеет некоторые переменные, которые являются утверждениями (истинными или ложными), и само значение функции должно дать нам ответ на вопрос: «Выражение истинно или ложно?».

Все выражения принимают следующие значения:

  • Истина или ложь.
  • И или Л.
  • 1 или 0.
  • Плюс или минус.

Здесь отдавайте предпочтение тому способу, который для вас является более удобным. Для того чтобы составить таблицу истинности, нам нужно перечислить все комбинации переменных. Их количество вычисляется по формуле: 2 в степени n. Результат вычисления – это количество возможных комбинаций, переменной n в данной формуле обозначается количество переменных в условии. Если выражение имеет много переменных, то можно воспользоваться калькулятором или сделать для себя небольшую таблицу с возведением двойки в степень.

Всего в логике выделяют семь функций или связей, соединяющих выражения:

  • Умножение (конъюнкция).
  • Сложение (дизъюнкция).
  • Следствие (импликация).
  • Эквиваленция.
  • Инверсия.
  • Штрих Шеффера.
  • Стрелка Пирса.

Первая операция, представленная в списке, имеет название «логическое умножение». Ее графически можно отметить в виде перевернутой галочки, знаками & или *. Вторая в нашем списке операция – логическое сложение, графически обозначается в виде галочки, +. Импликацию называют логическим следствием, обозначается в виде стрелки, указывающей от условия на следствие. Эквиваленция обозначается двухсторонней стрелкой, функция имеет истинное значение только в тех случаях, кода оба значения принимают либо значение «1», либо «0». Инверсию называют логическим отрицанием. Штрих Шеффера называют функцией, которая отрицает конъюнкцию, а стрелку Пирса – функцией, отрицающей дизъюнкцию.

Источник

Информатика

План урока:

Способы решения задач по логике

Многие задачи можно решить, используя инструменты алгебры логики. Чтобы получить результат, можно пойти 3 путями:

  • рассуждая над условием;
  • решая логические операции;
  • используя таблицы истинности.

Логический подход подразумевает перевод условия из естественного языка на язык символов, схем и формул. Для такой формализации высказываний нужно выполнить ряд шагов.

Этапы решения логических задач:

  • Разобраться с условием на естественном языке, выделив простые высказывания, и дать им символьные обозначения (латиница).
  • Записать условие в виде формулы. Решить ее поэтапно, упрощая, учитывая приоритеты (( ), ¬, &, V).
  • Просчитать формулы строчно или при помощи таблиц истинности, учитывая законы алгебры логики.
  • Проверить, соответствует ли полученный результат условию задачи.

Табличный способ – этапы, особенности

Таблица истинности – табличное выражение результата логических операций для каждого отдельного набора значений переменных.

Такие таблицы позволяют абстрагироваться от маловажной информации, сосредоточиться только на связях между исходными данными, над происходящими процессами. Таким образом, человек может абстрагироваться от непонятной для него информации, решать неспецифические задачи.

Метод таблиц

Чтобы использовать таблицы истинности, необходимо формализовать условие, то есть отойти от деталей задачи, обозначая первоначальную информацию при помощи букв и цифр 0 и 1.

Существует общий алгоритм построения таблиц:

  • Определить число логических значений/переменных (n) в примере.
  • Установить вид, число и тип операций. Важно заранее определить очередность действий, выразить это при помощи скобок.
  • Полученные данные позволяют рассчитать сколько нужно столбцов – это сумма числа переменных и операций.
  • Нарисовать таблицу, заполнить шапку, записав обозначение переменных и выбранные действия.
  • Определить, сколько существует наборов логических переменных (т.е. число строчек) по формуле m = 2 n + 1 (шапка).
  • Заполнить столбцы, вписав наборы значений логических переменных (0 или 1).
  • Записать результаты логических операций, указанных в шапке для каждой совокупности значений.
  • Сделать выводы на основании полученных результатов.
Читайте также:  Современное состояние Латиноамериканских новых индустриальных стран Бразилия Мексика Аргентина

Если необходимо перебрать все значения простых выражений, то для задач:

  • с 2-мя переменными может быть только 4 набора логических переменных;

1 tablicy istinnosti

Если словесно описывать все эти комбинаций, на каждый из примеров понадобится десятки строк текста.

Обязательно учитывают приоритет операций:

  • Указанные в скобках.
  • Отрицание.
  • Логическая конъюнкция чисел.
  • Дизъюнкция.
  • Строгая дизъюнкция.
  • Импликация.
  • Эквивалентность.

Обозначение логических операций:

2 tablicy istinnosti

Сравнение методов решения

Метод рассуждений

Он заключается в пошаговом анализе условий с промежуточными выводами на каждом этапе. Выполняется анализ таблицы истинности каждого логического выражения.

Пример №1.

Андрей, Владимир, Георгий и Дмитрий живут на одной улице, они соседи. Они работают по таким специальностям: гитарист, плотник, егерь и стоматолог.

  • дом плотника правее егеря;
  • стоматолог проживает левее егеря;
  • дом гитариста с самого краю;
  • стоматолог живет рядом с гитаристом;
  • Владимир не гитарист, и его дом не соседствует с гитаристом;
  • дома Дмитрия и егеря соседние;
  • здание, в котором прописан Андрей, правее стоматолога;
  • между домами Андрея и Дмитрия один дом.

Чтобы рассуждать было проще, добавим изображение зданий, присвоим им номера:

3 tablicy istinnosti

Но стоматолог живет левее егеря, а правее егеря – плотник. Получается, что дом гитариста не может быть последним, а дом стоматолога не может быть предпоследними. То есть, егерь живет в предпоследнем доме:

4 tablicy istinnosti

Между домами Андрея и Дмитрия стоит один дом, значит, дом Андрея не может быть предпоследним, получается номер – 4, что автоматом исключает проживание там Дмитрия и Владимира.

5 tablicy istinnosti

Условие задачи заняло 2 предложения, а рассуждений получилось на 2 страницы.

Такой подход лучше не использовать, если условие сложное или много данных.

Табличный метод

Более удачным подходом к решению задач с большим количеством данных (несколько множеств), считается табличный, или графический (диаграммы).

Чтобы построить таблицу истинности логических выражений, следует:

  • Разбить задачу на простейшие утверждения, которые обозначить символами (большие буквы латинского алфавита).
  • Записать условие задачи, как составное выражение из символов логических операций.
  • Нарисовать таблицу истинности для полученных данных.
  • Выбрать такой вариант, при котором полученные значения подходят под условие.
  • Проверить соответствие выбранного варианта и условия задачи.

Чтобы преобразовывать условие задачи в логические выражения и операции, удобно пользоваться такой сводной таблицей истинности логических операций:

6 tablicy istinnosti

Рассмотрим тот же пример.

7 tablicy istinnosti

Определяем, что только гитарист может жить в первом доме, далее смотрим на заметки и условия и получаем таких жителей:

8 tablicy istinnosti

9 tablicy istinnosti

Метод компактнее, для некоторых задач нагляднее.

Построение таблиц истинности для различных типов задач

Несмотря на многообразие задач, многие условия повторяются, если оставить сухие формулы, не вникая в имена, места, профессии. Разобравшись с примером один раз, можно решать аналогичные задачи без труда. Рассмотрим несколько любопытных заданий, решив при помощи логически.

Пример 2.

Известно, что если первый студент летал в Англию на стажировку, то и второй тоже летал, но неправда, что если летал третий, то и второй.

Разобьём условие на 3 простые высказывания, присвоим им буквенные обозначения:

А — «Первый студент летал в Англию»;

В — «Второй студент летал в Англию»;

С — «Третий студент летал в Англию».

Запишем выясненные данные при помощи логических операций:

10 tablicy istinnosti

Пример 3.

Есть три 8-ых класса (А, В, С), которые соревнуются между собой за средний бал. Учителя в начале года сделали такие предположения:

  • Если А получит максимальный бал, то максимальный бал получат Ви С.
  • А и С получат или не получат максимальный бал одновременно.
  • Необходимым условием получения высшего бала С класса является получение высшего бала В классом.

По завершении года оказалось, что 2 предсказания оказались верными, а одно – ошибочным.

Выясним, какие же классы добились высшего бала.

Разбиваем условие задачи на элементарные высказывания:

А – «А добьется высшего бала»;

В – «В добьется высшего бала»;

С – «С добьется высшего бала».

Запишем логические операции, описанные в примере:

11 tablicy istinnosti

Мы заполнили таблицу истинности для всех возможных значений исходных данных. В примере говорилось, что только 2 утверждения в конце года казались истинными, а 1- ложным. Такому условию отвечает 3-я строка в таблице.

Пример 4.

Во время знакомства девушка, любительница загадок, сказала, что ее имя узнать легко:

  • последняя – гласная (Х1);
  • или первая буква согласная (Х2)
  • вторая – согласная (Х3).

Предложенные имена: Арина, Артур, Кэтрин, София.

Решим задачу, используя таблицу.

Сначала решим пошагово, выполняя операции по приоритету:

12 tablicy istinnosti

Указанному условию соответствует первое имя.

Пример 5.

Попробуем решать задачи, в которые нет четких высказываний, истинных или ложных. В них половина информации, правда, половина – ложь, при этом неизвестно, какая именно. Под такой тип задач можно подставить любое условие, но научившись решать его, можно разобраться со всеми аналогичными.

Известно, что в олимпиаде по химии участвовали 4 ученицы 8 класса: Марина, Света, Саша и Галя. Они заняли первые 4 места. Какое место заняла каждая из девочек, если есть их высказывания о победителях, но в них лишь половина информации правдива – первая или вторая половина предложения.

Маша Марина: «Саша заняла второе место, а Света – первое».

Полина Света: «Нет, это не так, Саша – победительница, а Галя, – на втором месте».

Ольга Саша: «Зачем вы всех путаете? Третье место за Мариной, а Света – на четвертом месте».

Составляем таблица для перебора вариантов. Правду обозначаем «1», ложь – «0».

Читайте также:  Кассовый аппарат Меркурий 115Ф инструкция и особенности эксплуатации

Берем любое (Марины) утверждение и принимаем его первую часть за правду. Значит, Саша – 2 место, тогда Света не 1-ое (вторая половина фразы – ложь), остальных девочек на 2 место ставим «0».

13 tablicy istinnosti

Берем утверждение второй девочки. Так как Саша не может быть победительницей, то в этой фразе первая часть – ложь, а вторая должна быть истинной. Но в нем и вторая часть – неверна (второе место за Сашей, мы так приняли в начале).Уже на второй фразе получается противоречие всему.

14 tablicy istinnosti

Итог: Победительницей олимпиады стала Светлана, на втором месте – Галина, на третьем – Марина, на последнем из четырех – Александра.

Построение электронных схем, реализующих логические операции

Если рассмотреть электросхемы с точки зрения логики, особенно компьютерные, то их также можно описать при помощи «1» и «0» – электричество идет или не идет по проводам.

Попробуем нарисовать логические элементы схемы питания лампочки для нескольких простых операций.

Электросхема с конъюнктором

15 tablicy istinnosti

Рассмотрим все варианты:

  • Все контакты включены, тогда источник света горит.
  • Первый контакт в положении «выключено» – свет не горит.
  • Второй контакт выключен – лампа не светит.
  • Все контакты отключены – свет не горит.

Заключение – эта электрическая цепь реализует операцию «И».

Дизъюнктор, схема электропитания

16 tablicy istinnosti

Рассмотрим этот вид электрической цепочки:

  • Все контакты включены – лампа горит.
  • Первый контакт включен, второй выключен – свет горит.
  • Обратная ситуация – выключен первый, включен второй – лампа светится.
  • Все контакты выключены – света нет.

Заключение – такой вид электросхем соответствует логической операции «ИЛИ».

Инвертор в электросхемах

17 tablicy istinnosti

В этой схеме переключатель не ручной, а автоматический. Здесь процесс обратный – когда ток не идет, контакты замыкаются, горит свет. Если же в сеть подается электричество, пластинка размыкается вследствие электромагнитной индукции, и сеть разъединяется – света нет.

Заключение: схема соответствует логической операции «НЕ».

Умение читать и решать логические операции, строить соответствующие электросхемы, позволяет создавать иерархически более сложные конструкции, которые используются для реализации процессов в современных ПК.

Обозначение логических элементов

18 tablicy istinnosti

Удобно создавать электросхемы в ПО SmartNotebook, которое используется с интерактивной доской.

Источник

Построение таблиц истинности

Вы будете перенаправлены на Автор24

Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.

Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.

Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.

Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.

Готовые работы на аналогичную тему

При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:

Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.

Алгоритм построения таблицы истинности логической функции

Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка), $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.

Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.

Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.

Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar \vee (B \vee C)$.

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:

Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.

Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.

По данному логическому выражению построить таблицу истинности:

Решение:

Определим количество строк:

Количество простых выражений – $n=3$, значит

кол-во строк = $2^3 + 1=9$.

Определим количество столбцов:

Количество переменных – $3$.

Количество логических операций и их последовательность:

  1. отрицание ($\bar$);
  2. дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A \vee B$);
  3. конъюнкция ($(A\vee B)\bigwedge \overline$);
  4. отрицание, которое обозначим $F_1$ ($\overline<(A\vee B)\bigwedge \overline>$);
  5. дизъюнкция ($A \vee C$);
  6. конъюнкция ($(A\vee C)\bigwedge B$);
  7. отрицание, которое обозначим $F_2$ ($\overline<(A\vee C)\bigwedge B>$);

Кол-во столбцов = $3 + 8 = 11$.

Заполним таблицу, учитывая таблицу истинности логических операций.

Алгоритм построения логической функции по ее таблице истинности

  1. Выделяют в таблице истинности строки со значением функции, равным $1$.
  2. Выписывают искомую формулу как дизъюнкцию нескольких логических выражений. Количество этих выражений равно количеству выделенных строк.
  3. Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции записать как конъюнкцию аргументов функции.
  4. В случае, когда значение какого-то из аргументов функции в соответствующей строке таблицы принимает значение $0$, то этот аргумент записать в виде его отрицания.

По данной таблице истинности некоторой логической функции $Y(A,B)$ cоставить соответствующую логическую функцию.

Решение:

  1. Значение функции равно $1$ в $1$-й и $3$-й строках таблицы.
  2. Поскольку имеем $2$ строки, получим дизъюнкцию двух элементов:

  • Каждое логическое выражение в этой дизъюнкции запишем как конъюнкцию аргументов функции $A$ и $B$: $\left(A\wedge B\right)\vee \left(A\wedge B\right)$
  • В случае, когда значение в соответствующей строке таблицы равно $0$, запишем этот аргумент с отрицанием, получим искомую функцию:\[Y\left(A,B\right)=\left(\overline\wedge \overline\right)\vee \left(A\wedge \overline\right).\]
  • Источник