Меню

Практическая работа Нахождение значений синуса и косинуса по таблице Брадиса



КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТАБЛИЦЕЙ БРАДИСА ПРИМЕРЫ

Как пользоваться таблицей Брадиса инструкция с примерами

Каждая таблица Брадиса дает значения какой-либо величины (функции) в зависимости от значения некоторой другой величины (аргумента). На­пример, таблица 3 дает значения квадрата в зависимости от значений возводимого в квадрат числа (функция у = х 2 аргумента х), таблица 7 — значения площади круга в зависимости от значений его диаметра (функция К = πd 2 /4 аргумента d) и т. д. Ради экономии места все таблицы сборника расположены «в два хода»: каждое табличное значение функции находится на пересечении строки, имеющей в заголовке (слева) некоторые первые цифры соответствующего назначения аргумента, и столбца, имею­щего в заголовке (сверху) остальные его цифры. Например, для квадрата числа 5,67 находим в таблице 3 на строке 5,6 в столбце 7 значение 32,15, представляющее со­бой результат округления до 4 значащих цифр точного квадрата 5,67 2 = 32,1489.

Все табличные значения функций, приведенные в сборнике, получены путем ок­ругления до 4 или 5 значащих цифр соответствующих точных значений, а потому от­личаются от точных не более как на половину единицы разряда последней цифры. Например, найдя из таблицы 7, что площадь круга диаметра 2,16 линейных единиц равна 3,664 соответствующих квадратных единиц (строка 2,1, столбец 6), мы можем быть уверены, что точное значение этой площади отличается от этой таб­личной не больше чем на половину тысячной, то есть что 3,6635 3 = 1, 2 3 = 8, 3 3 — 27, 4 3 = 64. мы имеем пример таблицы с резко неравномерным изменением функции, но если ту же таблицу кубов взять со ступенью не в 1, а в 0,001 и округлять кубы до 4 зна­чащих цифр, то получится таблица с почти равномерным изменением функции, ко­торую мы и имеем, где на протяжении всей строки 1,00 табличные раз­ности равны 3 (тысячным), а на нескольких следующих — то 3, то 4. Различие между таблицами с равномерным, почти равномерным и резко неравномерным изменением функции проявляется особенно наглядно при изображении этих функций посред­ством графиков в прямоугольных координатах: в первом случае получается график в виде прямой, во втором — в виде кривой, небольшие участки которой искривлены едва заметно, в третьем — в виде кривой с заметной кривизной уже на каждом малом участке. Одна и та же таблица может быть таблицей с почти равномерным изменени­ем функции на одном интервале и с резко неравномерным ее изменением на другом. Такова, например, таблица 10, где на передних строках изменение функ­ции резко неравномерно. Имея таблицу с резко неравномерным изменением функ­ции, можно превратить ее в таблицу с почти равномерным изменением двумя спосо­бами: уменьшением ступени таблицы, то есть заменой ее другой, более подробной, что делается не так просто (надо либо иметь такую более подробную таблицу, либо за­ново ее составить), или округлением табличных значений, что делается очень просто, но связано с потерей точности. Например, тангенсы углов, указанные в таблице 10 на строке 89°20′ с точностью до сотых и изменяющиеся резко неравномерно, после округления до десятых становятся изменяющимися почти равномерно.

Каждая таблица содержит значения функции не для всех, а лишь для некоторых значений аргумента. Возникает вопрос: как получить значения функции для проме­жуточных значений аргумента? Операция получения таких значений носит название «интерполяции». Ее иногда образно называют «чтением между строками таблицы».

В случае таблицы с равномерным или почти равномерным изменением функции применяется так называемая «линейная интерполяция», состоящая в следующем. Ес­ли при увеличении значения аргумента на И единиц какого-либо разряда функция увеличивается на d единиц некоторого разряда, то в силу равномерности изменения функции увеличение аргумента на 1 вызывает увеличение функции на d/h единиц, а увеличение аргумента на u — увеличение функции на v = du/h единиц. Очевидно, что для получения искомого значения функции надо взять ближайшее меньшее таблич­ное ее значение и прибавить эту «поправку» v. Например, чтобы узнать, чему равен квадрат числа 8,053, берем в таблице 3 8,05 2 = 64,80, 8,06 2 = 64,96, 8,07 2 = 65,12 и убеждаемся, что изменение функции здесь почти равномерно: при ступени h = 0,01 или 10 тысячным табличная разность составляет здесь 16 сотых. Данное значение ар­гумента 8,053 превосходит ближайшее меньшее табличное его значение 8,05 на u = 3 (тысячным), а потому поправка v равна 16·3/10 = 4,8 = 5 (сотым). Прибавив ее к бли­жайшему меньшему табличному значению функции 8,05 2 = 64,80, получим 8,053 2 = = 64,80 + 0,05 = 64,85 (непосредственное умножение дает точно 8,053 2 = 64,850809).

Вместо того чтобы брать поправку на «избыток» данного значения аргумента над ближайшим меньшим табличным его значением, как мы это только что делали, мож­но дать поправку на его «недостаток» по сравнению с ближайшим большим таблич­ным его значением и вычитать поправку из ближайшего большего значения функ­ции. Например, для получения квадрата числа 8,057 берем 8,06 2 = 8,060 2 = 64,96 и вы­читаем поправку на 3 тысячных, равную 5 сотым, получая 8,057 2 = 64,91 (при точном значении, равном 64,915249). Поправка на избыток выгоднее, если избыток не пре­восходит половины ступени; в противном случае выгоднее брать поправку на недо­статок.

Операцию линейной интерполяции можно объяснять, исходя не из равномер­ности изменения функции, как мы это сейчас делали, а из пропорциональности при­ращений аргумента и функции, т. е. из пропорциональности избытка аргумента и по­правки для функции, прекрасно иллюстрируемой на графике, где получаются два по­добных прямоугольных треугольника, один с катетами h и d, другой с катетами u и v. По существу, оба способа, конечно, тождественны, так как оба основаны на одной и той же пропорции u:v=h:d.

Какова точность результатов, получаемых посредством линейной интерполяции? Здесь имеются три источника погрешностей: неточность взятого ближайшего таблич­ного значения функции, не превосходящая половины единицы разряда последней его цифры; неточность поправки, обусловленная неточностями табличных значений и округлением поправки, и, наконец, неточность поправки, вызванная неполной равномерностью изменения функции. Более глубокое рассмотрение вопроса показы­вает, что при разнице двух соседних значений табличной разности, не превосходящей 4 единиц, третий источник погрешности сколько-нибудь заметного влияния не име­ет, и общая погрешность результата линейной интерполяции лишь в исключительно редких случаях может немного превзойти единицу разряда последней цифры. Это за­ключение легко проверяется на опыте. Например, пользуясь таблицей квадратов, нахо­дим, применяя линейную интерполяцию, квадраты чисел, приведенных ниже в пер­вой строке, и пишем их во второй строке, а в третьей строке помещаем соответствую­щие точные квадраты, округленные до четвертого десятичного знака, в четвертой же — разности чисел второй и третьей строк, выраженные в сотых долях.

Читайте также:  Методы измерения и расчета угла смачивания лежачей капли

Как видим, погрешности интерполированных значений нигде не превосходят единицы разряда последней цифры.

Чтобы облегчить выполнение линейной интерполяции, в большинстве таблиц настоящего сборника даны «готовые поправки» в столбцах справа, набранные курси­вом. Если табличные разности мало меняются на протяжении целой строки, то по­правки по формуле v = du/h можно вычислить для всех чисел строки. Например, для строки 8,0 таблицы квадратов поправка на 0,001 в начале строки равна (8,01 2 — 8,00 2 ):10 = 0,01601, или 1,601 (сотых), а на конце ее (8,102 — 8,092): 10 = 0,01619, или 1,619, а в среднем 1,610 (сотых). Умножая эту среднюю поправку на числа от 1 до 9, получаем 1,61; 3,22; 4,83; 6,44; 8,05; 9,66; 11,27; 12,88; 14,49 или после округления до целых 2; 3; 5; 6; 8; 10; 11; 13; 14.

Именно эти числа и приведены на строке 8,0 таблицы квадратов справа (набраны курсивом). Как показывает опыт, применение этих готовых поправок сберегает до 50% времени, затрачиваемого на работу с таблицами.

Если табличные разности на протяжении строки меняются более заметно, гото­вые поправки приходится вычислять для частей строки, как это сделано, например, в таблице 9 для строк 73°, 74°, 75° или для нескольких первых строк таблицы мантисс логарифмов. Если изменение табличных разностей на протя­жении строки выражено еще резче, от готовых поправок приходится отказаться. В та­ких случаях операцию линейной интерполяции приходится проводить полностью, находя h, d, u, v = du/h, как, например, в таблице 15 и нескольких других.

При большой табличной разности поправку следует вводить не только на первую цифру избытка, но и на вторую, если она имеется, уменьшая приведенные в таблице го­товые поправки в 10 раз. Так, чтобы найти 2,9345 2 , в таблице 3 берется 2,93 2 = 8,585 и прибавляется поправка на 4 тысячных, равная 24 (тысячным), а затем поправка на 5 де­сятитысячных, равная 29:10 = 3 (тысячным), и получается окончательно 8,612 (непо­средственное умножение дает 8,61129. ).

Как мы уже видели, если избыток данного значения аргумента больше половины ступени, выгоднее пользоваться ближайшим большим значением функции, отнимая от него поправку на недостаток данного значения аргумента по сравнению с ближай­шим большим его значением. Поэтому во всех таблицах, где аргументом служит угол и где ступень равна 6′, готовые поправки даны только на 1′, 2′, 3′. Если избыток со­ставляет 4′ или 5′, надо брать поправку на 2′ или 1′, вычитая ее из ближайшего боль­шего значения функции. Кроме экономии места, занимаемого таблицей, это дает не­который выигрыш в точности получаемых результатов, так как малые поправки точнее больших.

Необходимо решительно предостеречь от применения линейной интерполяции в случае резко неравномерного изменения функции. Всякий раз, когда готовые по­правки не даны, а нужно интерполировать, следует выяснить, насколько равномерен ход функции, и применять линейную интерполяцию лишь в том случае, когда со­седние табличные разности мало отличаются друг от друга (не больше чем на 4 единицы), а в противном случае искать других путей. Так, например, желая найти lg sin 1°04’36», берем в таблице 15, где готовых поправок нет, lg sin 1°04′ — 2,2699, lg sin 1°05′ = 2,2766, lg sin 1°06′ = 2,2832 и убеждаемся, что линейная интерполяция здесь допустима, так как табличные разности равны 67 и 66. Вычисляя v = 67·36/60 = 40,2 = 40 и прибавляя эту поправку к табличному логарифму 2,2699, получаем lg sin 1°04’36» = 2,2739 (по семизначным таблицам получается 2,2739331). Но если на­до получить lg sin 0°05’30» и мы применим тот же способ линейной интерполяции, то получим lg sin 0°05′ = 3,1627, d = 792, h =60″, u = 30″, v = 792/60 · 30 = 396, lg sin 0°05’30» =60= 3,2023, в то время как более точное значение этого логарифма, найденное по семи­значным таблицам, есть 3,2040886. Недопустимо большая погрешность нашего ре­зультата обусловлена резко неравномерным изменением функции: рядом с использо­ванной нами табличной разностью 792 находится разность 669, линейная интерполя­ция здесь недопустима. Здесь можно воспользоваться тем обстоятельством, что при очень малых углах синус весьма мало отличается от радианной меры (меньше чем на шестую часть куба этой радианной меры). В таблице 11 берем радианную меру уг­ла в 5′, равную 0,0014544, а также угла в 30″, равную 0,00014544, и, складывая, получа­ем число 0,0015998, представляющее собой приближенное значение sin 0°05’30» с 7 точными десятичными знаками. Найдя по таблице 13 его логарифм, получаем 3,2041, т. е. как раз то, что надо.

Во многих случаях таблицы дают непосредственно значения функции лишь в од­ном ограниченном интервале значений аргумента, но путем несложных дополни­тельных расчетов, производимых обычно в уме, можно существенно расширить этот интервал. Так обстоит дело с таблицами квадратов, кубов, обратных значений и ряда других. Возьмем, например, таблицу 7, дающую непосредственно значения площа­ди круга с диаметром от d = 1 до d = 10, замечая, что при увеличении диаметра круга в 10 раз его площадь увеличивается в 10 2 = 100 раз, мы можем по этой же таблице нахо­дить площадь круга любого диаметра. Например, желая найти площадь круга диа­метра d = 49,52, находим по таблице сперва площадь круга диаметра 4,952 (стро­ка 49, столбец 5, поправка на 2), равную 19,26, а затем увеличиваем этот результат в 100 раз и получаем окончательно 1926. Чтобы найти площадь круга с диаметром d = 0,04567, получаем сперва площадь круга диаметра 4,567 (строка 45, столбец 7, вычитается поправка на 3), равную 16,38, потом уменьшаем ее в 100 2 = 10000 раз и получаем 0,001638.

Разобрав во всех деталях вопрос о разыскании посредством таблиц значения функции по данному значению ее аргумента, то есть так называемый «прямой воп­рос», переходим к «обратному вопросу», когда по данному значению той функции, для которой таблица составлена, надо найти соответствующее значение аргумента.

Если данное значение функции имеется в таблице, все дело сводится к выписы­ванию соответствующего значения аргумента. Если же данного значения функции в таблице нет, то пользуются той же операцией линейной интерполяции, внеся в нее надлежащие изменения и предварительно убедившись в ее допустимости. Берут бли­жайшее меньшее табличное значение функции и находят, сколько надо добавить к со­ответствующему значению аргумента, чтобы довести это ближайшее меньшее значе­ние функции до данного. Здесь используется та же пропорция u:v = h:d, что и рань­ше, с той лишь разницей, что теперь у дано, и ищем а по формуле u = hv/d. Так, чтобы найти с помощью таблицы квадратов число, квадрат которого равен 4,235, т. е. квад­ратный корень из числа 4,235, берут ближайший меньший и ближай­ший больший табличные квадраты 4,203 = 2,05 2 и 4,244 = 2,06 2 . Здесь ступень h = 10 (тысячным), табличная разность d = 41 (тысячной), следующая табличная разность то­же 41, линейная интерполяция допустима. Чтобы довести ближайшее меньшее таблич­ное значение до данного, надо увеличить это ближайшее на 4,235 — 4,203 = 0,032, отку­да v = 32 (тысячным). Поэтому u = 10·32/41 =8 и искомый корень равен 2,050 + 0,008 = 2,058. Можно взять не ближайшее меньшее, а ближайшее большее значение функ­ции и уменьшать его до данного, выясняя, каково соответствующее уменьшение бли­жайшего большего значения аргумента. В данном примере соответственно этому бе­рем 4,244 — 4,235 = 0,009, т. е. и = 9 (тысячным), и находим u = 10·9/41 ≈ 2, а затем ис­комый корень 2,060 — 0,002 = 2,058. Вообще, лучше пользоваться тем из ближайших табличных значений функции, какое ближе к искомому.

Читайте также:  Рентабельность активов формула

Применение готовых поправок и здесь существенно облегчает работу: найдя раз­ность между данным значением функции и ближайшим табличным ее значением (меньшим или большим), смотрим, какая поправка из напечатанных курсивом на той же строке ближе всего к этой разности, и берем цифру, находящуюся в заголовке со­ответствующего столбца. Для получения квадратного корня из числа 4,235 достаточ­но заметить, что это число отличается от ближайшего меньшего табличного квадрата на 32 (тысячных) и что среди поправок, напечатанных на этой же строке, ближайшей к этому числу 32 является 33. Прибавив к соответствующему табличному значению аргумента 2,05 число 8 (тысячных), взятое из заголовка этого столбца поправок, по­лучаем окончательно 2,05 + 0,008 = 2,058. Если взять ближайшее большее значение функции (4,244), то получается разность 4,244 — 4,235 = 0,009. В столбцах поправок находим ближайшую цифру 8 в столбце 2 и выполняем вычитание 2,06 — 0,002, при­водящее к тому же результату 2,058.

bradis 01

Вопрос о точности, с какой обратная линейная интерполяция дает искомое зна­чение функции, довольно сложен. Оказывается, что здесь возможны самые различ­ные случаи и что результат здесь тем более точен, чем больше табличная разность (предполагается, что линейная интерполяция допустима). Например, если дано при­ближенное значение sin А = 0,9997 с 4 точными десятичными знаками, то в таблице 8 мы находим целых три угла с таким синусом (88°30′, 88°36′, 88°42′). Полагая А = 88°36′, надо иметь в виду, что это значение искомого угла весьма неточно: оно мо­жет отличаться от точного до 9′. Если же sin A = 0,1070, то находимое по таблице 8 с помощью готовых поправок значение 6°08′ отличается от точного, как можно пока­зать, не больше чем на 1′: применение способа границ приводит к заключению, что 6°08′ Поделитесь ссылкой с друзьями:

Источник

Таблица Брадиса — тангенсы и котангенсы.

Таблица Брадиса — это таблица, помогающая при вычислениях в решении задач как в школе (на математике, алгебре, геометрии и физике в старших классах), так и в вузах.

Здесь четырехзначные математические онлайн таблицы для таких тригонометрических функций как: синусы, косинусы, кроме того вы на нашем сайте вы сможете найти подобные таблицы для тангенсов и котангенсов.

Как пользоваться таблицей Брадиса.

На некоторых примерах рассмотрим, как пользоваться таблицей Брадиса.

sin 7° = 0.1219 (косинусы находятся внизу) cos 82° = 0.1392.

sin 3°42′ = 0.0645 (ниже на изображении отмечено красным) cos 80°24′ = 0.1668.

Обратите внимание, все тоже самое верно и при определении значений тангенса и котангенса.

Далее рассмотрим вариант посложнее, когда угол, который представлен в таблице не указан, значит, нужно выбирать более близкое к нему значение (из значений, которые указаны в таблице синусов и косинусов), а на разницу, которая может составлять 1′,2′,3′, берем поправку из минут (желтая графа), как видно на примере:

sin 3°45′=sin 3°42′+3′=0.0645+0.0009=0.0654 либо

sin 3°45′=sin 3°48′−3′=0.0663−0.0009=0.0654

Кроме того, нужно помнить правило: для синуса у поправки неотрицательный знак, а у косинуса неположительный.

cos 80°27′=80°24′+3′=0.1668+(-0.0009)=0.1659 либо

Таблица Брадиса.

Описание: Таблица Брадиса тангенсы котангенсы. Как пользоваться таблицей Брадиса.

Таблица разбита на 2 части. В 1-ой части таблицы Брадиса тангенсы от 0° до 75° и котангенсы от 15° до 90° определяются с помощью дополнительных столбиков для 1’, 2’ и 3’ (минуты). Во 2-ой части тангенсы от 75° до 90° и котангенсы от 0° до 15° записаны в таблице с точностью до 1’ угла.

Источник

Практическая работа»Нахождение значений синуса и косинуса по таблице Брадиса»

Нажмите, чтобы узнать подробности

Практическая работа с таблицей Брадиса.

Просмотр содержимого документа
«Практическая работа»Нахождение значений синуса и косинуса по таблице Брадиса»»

1.sin 12˚ 1.sin 9˚10′ 1.sinA=0,5401 ;A= 1.cos 8˚ 1. cos7˚15′ 1.cosA=0,1303;A=

2.sin 34˚ 2.sin 15˚38′ 2. sinA=0,0905 ;A= 2. cos 25˚ 2. cos24˚21′ 2. cosA=0,5002; A=

3.sin 45˚ 3.sin 38˚16′ 3. sinA=0,8008;A= 3. cos 57˚ 3. cos47˚58′ 3. cosA=0,3915; A=

4.sin 71˚ 4.sin 64˚12′ 4. sinA=0,9421;A= 4. cos 69˚ 4. cos71˚2′ 4. cosA=0,8516; A=

5.sin 85˚ 5.sin 83˚19′ 5. sinA=0,2151;A= 5. cos81˚ 5. cos85˚39′ 5. cosA=0,0908; A=

1.sin 29˚ 1. sin 10˚10′ 1. sinA=0,1001;A= 1.cos 18˚ 1.cos 9˚ 9′ 1. cosA=0,5009 ;A=

2. sin 48˚ 2. sin 53˚28′ 2. sinA=0,0806; A= 2. cos 39˚ 2. cos 41˚41′ 2. cosA=0,2429 ; A=

3. sin 64˚ 3. sin 32˚41′ 3. sinA=0,5429; A= 3. cos 62˚ 3. cos57˚16′ 3. cosA=0,3108 ; A=

4. sin 78˚ 4. sin 68˚15′ 4. sinA=0,7507; A= 4. cos 78˚ 4. cos72˚35′ 4. cosA=0,6887 ; A=

5. sin 81˚ 5. sin 83˚29′ 5. sinA=0,3094; A= 5. cos 81˚ 5. cos80˚49′ 5. cosA=0,4815 ; A=

1.sin 12˚ 1.sin 9˚10′ 1.sinA=0,5401 ;A= 1.cos 8˚ 1. cos7˚15′ 1.cosA=0,1303;A=

2.sin 34˚ 2.sin 15˚38′ 2. sinA=0,0905 ;A= 2. cos 25˚ 2. cos24˚21′ 2. cosA=0,5002; A=

3.sin 45˚ 3.sin 38˚16′ 3. sinA=0,8008;A= 3. cos 57˚ 3. cos47˚58′ 3. cosA=0,3915; A=

4.sin 71˚ 4.sin 64˚12′ 4. sinA=0,9421;A= 4. cos 69˚ 4. cos71˚2′ 4. cosA=0,8516; A=

5.sin 85˚ 5.sin 83˚19′ 5. sinA=0,2151;A= 5. cos81˚ 5. cos85˚39′ 5. cosA=0,0908; A=

1.sin 29˚ 1. sin 10˚10′ 1. sinA=0,1001;A= 1.cos 18˚ 1.cos 9˚ 9′ 1. cosA=0,5009 ;A=

2. sin 48˚ 2. sin 53˚28′ 2. sinA=0,0806; A= 2. cos 39˚ 2. cos 41˚41′ 2. cosA=0,2429 ; A=

3. sin 64˚ 3. sin 32˚41′ 3. sinA=0,5429; A= 3. cos 62˚ 3. cos57˚16′ 3. cosA=0,3108 ; A=

Читайте также:  Лесной царь читательский дневник

4. sin 78˚ 4. sin 68˚15′ 4. sinA=0,7507; A= 4. cos 78˚ 4. cos72˚35′ 4. cosA=0,6887 ; A=

5. sin 81˚ 5. sin 83˚29′ 5. sinA=0,3094; A= 5. cos 81˚ 5. cos80˚49′ 5. cosA=0,4815 ; A=

1.0,2079 1.0,1593 1.А=32˚42′ ❶0,9903 ❶0,9920 ❶А=82˚31′

2.0,5592 2.0,2695 2.А=5˚12′ ❷0,9063 ❷0,9111 ❷А=59˚59′

3.0,7071 3.0,6193 3.А=53˚12′ ❸0,5446 ❸0,6695 ❸А=66˚57′

4.0,9455 4.0,9003 4.А=70˚24′ ❹0,3584 ❹0,3250 ❹А=31˚36′

5.0,9962 5.0,9932 5.А=12˚25′ ❺0,1564 ❺0,0758 ❺А=84˚47′

1.0,4848 1.0,1765 1.А=5˚44′ ❶0,9511 ❶0,9873 ❶А=59˚57′

2.0,7431 2.0,8036 2.А=4˚37′ ❷0,7771 ❷0,7468 ❷А=75˚57′

3.0,8988 3.0,54 3.А=32˚53′ ❸0,4695 ❸0,5407 ❸А=71˚54′

4.0,9781 4.0,9288 4.А=48˚39′ ❹0,2079 ❹0,2993 ❹А=46˚29′

5.0,9877 5.0,9936 5.А=18˚1′ ❺0,0872 ❺0,1596 ❺А=61˚13′

Источник

Все о таблице Брадиса: синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы

  • Что такое таблица Брадиса
  • Функциональные возможности таблицы
  • Таблица синусов и косинусов
  • Таблица для тангенсов и котангенсов
  • Значения от 181 до 360 градусов
  • Практические примеры использования таблицы

Что такое таблица Брадиса

Использование калькуляторов при сложных расчетах (например, формулах с применением логарифмов) сегодня считается стандартом по умолчанию. Но еще 20-30 лет назад, когда вычислительная техника была распространена не так сильно, на помощь приходили другие способы вычислений — с помощью специальных таблиц, логарифмической линейки или арифмометра.

Таблица Брадиса — математическое пособие, в котором собраны таблицы, необходимые для работы по курсу математики и для практических вычислений, созданное Владимиром Модестовичом Брадисом.

Свое название они получили от брошюры «Четырехзначные математические таблицы», составленной Владимиром Брадисом. Книга неоднократно переиздавалась в советское время большими тиражами (до 500 000 экземпляров) и широко использовалась в учебном процессе — на уроках алгебры, геометрии и физики.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Функциональные возможности таблицы

Самыми распространенными являются таблицы, содержащие тригонометрические функции (например, синус, косинус, тангенс, котангенс и арктангенс).

В целом, в сборнике Брадиса содержалось более 20 таблиц, в том числе, помогавшие найти значения:

  • значение дробей вида 1/n;
  • квадратов;
  • квадратных корней;
  • площади круга определенного диаметра;
  • радианной меры;
  • мантиссы десятичных логарифмов;
  • номограммы для решения отдельных уравнений.

Таблица синусов и косинусов

Таблица синусов

В силу широкого использования синусов и косинусов в учебных задачах, это самая распространенная из таблиц Брадиса. Она дает значение этих тригонометрических функций для любого острого угла от 0° до 90°. С помощью дополнительных колонок можно находить и более точные спецификации. Это 6′, 12′,18, 24′, 30′, 36′, 42′, 48′ и 54′ для углов указанного диапазона, например:

  • \(\sin\;10^\circ\;=\;0,1736\) . С помощью дополнительных колонок находим — \(\sin\;10^\circ\;12’\;=\;0,1771,\;\sin\;10^\circ\;24’\;=\;0,1805\) ;
  • \(\sin\;50^\circ\;=\;0,7660\) . Обращаясь к дополнительной колонке выясняем, что \(\sin\;50^\circ\;12’\;=\;0,7683,\;\sin\;50^\circ\;24’\;=\;0,7705\) .

Если нужны еще более точные показатели, то нужно использовать поправочные коэффициенты, отнимая и прибавляя их к ближайшему табличному значению минут. Используя их, находим:

Для нахождения косинусов можно использовать значения в правой колонке, но куда удобнее вычислять через синус угла, дополняющего до 90°. В этом случае:

Аналогично проводят и более точные вычисления, в том числе — с использованием поправочных коэффициентов:

Таблица для тангенсов и котангенсов

Таблица Брадиса

Аналогичным образом с помощью соответствующей таблицы Брадиса можно найти значения тангенса:

  • \(tg\;10^\circ\;=\;0,1763\) . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(tg\;10^\circ\;12’\;=\;0,1799,\;tg\;10^\circ\;24’\;=\;0,1835\) ;
  • \(tg\;50^\circ\;=\;1,1918\) . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(tg\;50^\circ\;12’\;=\;1,2002,\;tg\;50^\circ\;24’\;=\;1,2088\) .

Для более точных показателей применяем поправочные коэффициенты (аналогично, как для таблиц синуса и косинуса):

С помощью правой колонки таблицы Брадиса со значением тангенсов можно найти котангенс. Альтернативный вариант — вычисление через тангенс угла, дополняющего искомый до 90°:

  • \(ctg\;10^\circ\;=\;tg\;80^\circ\;=\;5,671\) . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(сtg\;10^\circ\;12’\;=\;5,558,\;сtg\;10^\circ\;24’\;=\;5,449\) (аналогичные результаты могут быть получены, если посмотреть в значение тангенса дополняющих углов — 79° 48′ и 79° 36′ соответственно);
  • \(ctg\;50^\circ\;=\;0,8391\) . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(ctg\;50^\circ\;12’\;=\;0,8332,\;ctg\;50^\circ\;24’\;=\;0,8273\) (как вариант, можно уточнить значение тангенса дополняющих углов — 39° 48′ и 39° 36′).

Важно отметить, что значения тангенсов (и соответствующих им котангенсов) распределены по двум таблицам:

  • тангенсы углов от 0° до 76° (и котангенсы от 90° до 24°);
  • tg от 76° до 90° (и ctg от 24° до 0°).

Такое разделение связано с особенностями предоставления информации. Для котангенсов углов, близких к 90° (и котангенсам острых углов) проблематично использовать общие поправки, поэтому значения там даются индивидуально для каждого значения.

Например, в отдельных строках таблицы, без применения поправочных величин, приводятся:

  • \(tg\;80^\circ\;(и\;ctg\;10^\circ)\;=\;5,671\) ;
  • \(tg\;80^\circ\;1’\;(и\;ctg\;10^\circ\;59′)\;=\;5,681\) ;
  • \(tg\;80^\circ\;2’\;(и\;ctg\;10^\circ\;58′)\;=\;5,\;691\) ;
  • и так далее.

Величину тангенса и котангенса можно узнать и имея в наличии только таблицу Брадиса по синусам и косинусам. Для этого надо воспользоваться формулами:

Подставляя необходимые значения получим:

Значения от 181 до 360 градусов

Таблицы Брадиса дают значения для углов от 0° до 90°. Остальные величины можно легко найти с помощью формул приведения. В этом случае угол, величину которого необходимо узнать, представляется как сумма (или разность) угла, кратного 90° и острого угла, например, для 140° это будет:

  • 90° + 50°;
  • 180° — 40°.

Формулы приведения, которые используются в этом случае, имеют вид:

Для примера можно провести расчет для ситуации, когда угол в 140° представлен как 90° + 50°:

  • \(\sin\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;\cos\;50^\circ\;=\;0,6428\) ;
  • \(\cos\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;-\sin\;50^\circ\;=\;-0,7660\) ;
  • \(tg(90^\circ+50^\circ)=-ctg50^\circ=-0,8391\) ;
  • \(ctg\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;tg\;50^\circ\;=\;1,1918\) .

Практические примеры использования таблицы

Таблицам Брадиса легко можно найти применение в современном учебном процессе, например, выполняя школьные уроки.

Задача №1

10-метровая лестница опирается на здание таким образом, что имеет угол наклона 35°. Необходимо узнать расстояние от земли до ее вершины.

Решение

Имеем треугольник, где угол BСA = 90°, BАC = 30°. По определению^

где ВС — высота лестницы, которую нужно найти, а АВ — известная из условия длина.

Узнав из таблицы Брадиса нужный синус и подставив все известные значения в формулу, можно найти ответ:

ВС (высота лестницы) = 10 м х 0,5736 = 5,736 метров.

Задача №2

Найдете длину тени от маяка высокой 30 м, если солнце находится в 60° над горизонтом.

Решение

Схематически условия задачи можно представить в виде треугольника, с прямым углом ВСА, и ВАС = 55°. По определению:

где АВ — высота маяка, а СВ — длина тени.

Определив по таблице Брадиса нужную величину и подставив в формулу все известные значения, получим:

СВ (длина тени) = 30 м / 1,732 = 17,32 метра.

Источник