Меню

Примеры Математическое программирование



Решение задач линейного программирования
симплексным методом

Если вы уже разобрались с графическим методом решения задач линейного программирования, самое время переходить к симплекс-методу. В отличие от первого, он практически не имеет ограничений на задачу (любое количество переменных, разные знаки и т.п.) и модифицируется в зависимости от типа задачи (например, М-метод или метод искусственного базиса).

При решении задачи симплекс методом вычисления обычно ведутся (для компактности и наглядности) в таблицах (табличный симплекс-метод), причем последняя таблица с оптимальным решением содержит важную дополнительную информацию: решение двойственной задачи, остатки ресурсов, сведения о дефицитных ресурсах и т.п., которая позволяет провести экономический анализ задачи линейного программирования (см. ниже пример 3).

Примеры решений задач симплекс-методом выложены бесплатно для вашего удобства — изучайте, ищите похожие, решайте. Если вам нужна помощь в выполнении подобных заданий, перейдите в раздел: решение линейного программирования на заказ.

Решение задач симплекс-методом: примеры онлайн

Задача 1. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров — А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для полки типа В — 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В — 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В — 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?

Задача 2. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.

Задача 3. Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.

Сырьё Затраты сырья на единицу продукции Запас сырья
А1 А2 А3
I 3,5 7 4,2 1400
II 4 5 8 2000
Прибыль от ед. прод. 1 3 3
  1. Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли?
  2. Определить статус каждого вида сырья и его удельную ценность.
  3. Определить максимальный интервал изменения запасов каждого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т.е. номенклатура выпуска, не изменится.
  4. Определить количество выпускаемой продукции и прибыль от выпуска при увеличении запаса одного из дефицитных видов сырья до максимально возможной (в пределах данной номенклатуры выпуска) величины.
  5. Определить интервалы изменения прибыли от единицы продукции каждого вида, при которых полученный оптимальный план не изменится.

Задача 4. Решить задачу линейного программирования симплексным методом:

Задача 5. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом:

Задача 6. Решить задачу симплекс-методом, рассматривая в качестве начального опорного плана, план, приведенный в условии:

Задача 7. Решить задачу модифицированным симплекс-методом.
Для производства двух видов изделий А и Б используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А оборудование первого типа используется а1=4 часов, оборудование второго типа а2=8 часов, а оборудование третьего типа а3=9 часов. На производство единицы изделия Б оборудование первого типа используется б1=7 часов, оборудование второго типа б2=3 часов, а оборудование третьего типа б3=5 часов.
На изготовление этих изделий оборудование первого типа может работать не более чем t1=49 часов, оборудование второго типа не более чем t2=51 часов, оборудование третьего типа не более чем t3=45 часов.
Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет АЛЬФА=6 рублей, а изделия Б – БЕТТА=5 рублей.
Составить план производства изделий А и Б, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Задача 8. Найти оптимальное решение двойственным симплекс-методом

Источник

Симплексный метод решения ЗЛП

Назначение сервиса . Сервис предназначен для онлайн решения задач линейного программирования (ЗЛП) симплекс-методом в следующих формах записи:

  • в виде симплексной таблицы (метод жордановых преобразований); базовой форме записи;
  • модифицированным симплекс-методом; в столбцовой форме; в строчечной форме.
  • Шаг №1
  • Шаг №2
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word
  • Также решают

Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.

Объем товара Х (в партиях) Доход G(X)
1 2 3
1 28 30 32
2 41 42 45
3 50 55 48
4 62 64 60
5 76 76 72

Алгоритм симплекс-метода включает следующие этапы:

  1. Составление первого опорного плана. Переход к канонической форме задачи линейного программирования путем введения неотрицательных дополнительных балансовых переменных.
  2. Проверка плана на оптимальность. Если найдется хотя бы один коэффициент индексной строки меньше нуля, то план не оптимальный, и его необходимо улучшить.
  3. Определение ведущих столбца и строки. Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбирается наибольший по абсолютной величине. Затем элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делит на элементы того же знака ведущего столбца.
  4. Построение нового опорного плана. Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана—Гаусса.
Базис B x1 x2 x3 x4 min
x3 20 5 2 1 20:5=4
x4 6 1 1 1 6:1=6
F(X1) -8 -5

Если необходимо найти экстремум целевой функции, то речь идет о поиске минимального значения ( F(x) → min , см. пример решения минимизации функции) и максимального значения ( F(x) → max , см. пример решения максимизации функции)

Экстремальное решение достигается на границе области допустимых решений в одной из вершин угловых точек многоугольника, либо на отрезке между двумя соседними угловыми точками.

Основная теорема линейного программирования . Если целевая функция ЗЛП достигает экстремального значения в некоторой точке области допустимых решений, то она принимает это значение в угловой точке. Если целевая функция ЗЛП достигает экстремального значения более чем в одной угловой точке, то она принимает это же значение в любой из выпуклой линейной комбинации этих точек.

Суть симплекс-метода. Движение к точке оптимума осуществляется путем перехода от одной угловой точки к соседней, которая ближе и быстрее приближает к Xопт. Такую схему перебора точек, называемую симплекс-метод, предложил Р. Данцигом.
Угловые точки характеризуются m базисными переменными, поэтому переход от одной угловой точки к соседней возможно осуществить сменой в базисе только одной базисной переменной на переменную из небазиса.
Реализация симплекс-метода в силу различных особенностей и постановок задач ЛП имеет различные модификации.

Построение симплекс-таблиц продолжается до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

Как с помощью симплекс-таблицы определить, что решение задачи линейного программирования является оптимальным?
Если последняя строка (значения целевой функции) не содержит отрицательных элементов, следовательно, найдет оптимальный план.

Замечание 1 . Если одна из базисных переменных равна нулю, то крайняя точка, соответствующая такому базисному решению — вырожденная. Вырожденность возникает, когда имеется неоднозначность в выборе направляющей строки. Можно вообще не заметить вырожденности задачи, если выбрать другую строку в качестве направляющей. В случае неоднозначности нужно выбирать строку с наименьшим индексом, чтобы избежать зацикливания.

Замечание 2 . Пусть в некоторой крайней точке все симплексные разности неотрицательные Dk³ 0 (k = 1..n+m),т.е. получено оптимальное решение и существует такой Аk – небазисный вектор, у которого Dk = 0. Тогда максимум достигается по крайней мере в двух точках, т.е. имеет место альтернативный оптимум. Если ввести в базис эту переменную xk, значение целевой функции не изменится.

Замечание 3 . Решение двойственной задачи находится в последней симплексной таблице. Последние m компонент вектора симплексных разностей( в столбцах балансовых переменных) – оптимальное решение двойственной задачи. Значение целевых функций прямой и двойственной задачи в оптимальных точках совпадают.

Замечание 4 . При решении задачи минимизации в базис вводится вектор с наибольшей положительной симплексной разностью. Далее применяется тот же алгоритм, что и для задачи максимизации.

Читайте также:  Мейоз редукционное деление клетки таблица

Если задано условие «Необходимо, чтобы сырье III вида было израсходовано полностью», то соответствующее условие представляет собой равенство.

Аналитическое введение в симплекс-метод

Итак, если мы решаем ЗЛП в канонической форме, то система ограничений — это обычная система линейных уравнений. При решении задач ЛП получаются системы линейных уравнений, имеющие, как правило, бесконечно много решений.

Например, пусть дана система

Здесь число уравнений равно 2, а неизвестных — 3, уравнений меньше. Выразим x1 и x2 через x3 :

Это общее решение системы. если переменной x3 придавать произвольные числовые значения, то будем находить частные решения системы. Например, x3=1 → x1=1 → x2=6. Имеем (1, 6, 1) — частное решение. Пусть x3=2 → x1=-3, x2= 1, (-3, 1, 2) — другое частное решение. Таких частных решений бесконечно много.

Переменные x1 и x2 называются базисными, а переменная x3не базисная, свободная.

Совокупность переменных x1 и x2 образует базис: Б (x1, x2). Если x3 = 0, то полученное частное решение (5, 11, 0) называется базисным решением, соответствующим базису Б (x1, x2).

Базисным называется решение, соответствующее нулевым значениям свободных переменных.
В качестве базисных можно было взять и другие переменные: (x1, x3) или (x2, x3).
Как переходить от одного базиса Б(x1, x2) к другому базису Б(x1, x3)?
Для этого надо переменную x3 перевести в базисные, а x2 — в небазисные т. е. в уравнениях надо x3 выразить через x2 и подставить в 1-е:

Базисное решение, соответствующее базису Б (x1, x3), таково: (-19/5; 0; 11/5).

Если теперь от базиса Б (x1, x3) нам захочется перейти к базису Б (x2, x3), то

Базисное решение, соответствующее базису Б (x2, x3): (0;19/4; 7/8).
Из трех найденных базисных решений решение, соответствующее базису Б (x1, x3) — отрицательное x1 Пример . Решить задачу ЛП.

Функцию F= x2x1 → min необходимо минимизировать при заданной системе ограничений:
-2x1 + x2 + x3 = 2
x1 + x2 + x5 = 5
x1 — 2x2 + x4 = 12
xi ≥ 0, i = 1, 5

Эти ограничения могут рассматриваться как произошедшие из неравенств, а переменные x3, x5, x4 — как дополнительные.
Запишем ограничения, выбрав базис из переменных Б< x3, , x4, x5>:

Этому базису соответствует базисное неотрицательное решение
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 2, x4 = 2, x5 = 5 или (0, 0, 2, 2, 5).
Теперь нужно выразить F через небазисные переменные, в нашем случае это уже сделано: F= x2x1.
Проверим, достигла ли функция F своего минимального значения. Для этого базисного решения F= 0 — 0 = 0 — значение функции равно 0. Но его можно уменьшить, если x1 будет возрастать, т. к. коэффициент в функции при x1 отрицателен. Однако при увеличении x1 значения переменных x4, x5 уменьшаются (смотрите второе и третье равенство системы ограничений). Переменная x1 не может быть увеличена больше чем до 2, иначе x4 станет отрицательной (ввиду равенства 2), и не больше, чем до 5, иначе x5 — отрицателен. Итак, из анализа равенств следует, что переменную x1 можно увеличить до 2, при этом значение функции уменьшится.
Перейдем к новому базису Б2, введя переменную x1 в базис вместо x4.
Б2<x1, x3, x5>.
Выразим эти базисные переменные через небазисные. Для этого сначала выразим x1 из второго уравнения и подставим в остальные, в том числе и в функцию.

Имеем:

F = -2 — x2 + x4.
Базисное решение, соответствующее базису Б2<x1, x3, x5>, имеет вид (2, 0, 6, 0, 3), и функция принимает значение F= -2 в этом базисе.
Значение функции можно и дальше уменьшать, увеличивая x2. Однако, глядя на систему, x2 можно увеличивать лишь до 1, т. к. иначе из последнего равенства x5 = 3 — 3x2 + x4 следует, что при x2 > 1 x5 станет отрицательной. А у нас все переменные в ЗЛП предполагаются неотрицательными. Остальные уравнения системы не дают ограничений на x2. Поэтому увеличим x2 до 1, введя его в базис вместо x5: Б3<x1, x2, x3>.
Выразим x2 через x5 и подставим во все уравнения:

Базисное решение, соответствующее базису Б3<х1, х2, х3>, выписывается (4, 1, 9, 0, 0), и функция принимает значение F= -3. Заметим, что значение F уменьшилось, т. е. улучшилось по сравнению с предыдущим базисом.
Посмотрев на вид целевой функции , заметим, что улучшить, т. е. уменьшить значение F нельзя и только при x4 = 0, x5 = 0 значение F= -3. как только x4, x5 станут положительными, значение F только увеличится, т. к. коэффициенты при x4, x5 положительны. Значит, функция F достигла своего оптимального значения F* = -3. Итак, наименьшее значение F, равное -3, достигается при x1* = 4, x2* = 1, x3* = 9, x4* = 0, x5* = 0.

На этом примере очень наглядно продемонстрирована идея метода: постепенно переходя от базиса к базису, при этом всегда обращая внимание на значения целевой функции, которые должны улучшиться, мы приходим к такому базису, в котором значение целевой функции улучшить нельзя, оно оптимально. Заметим, что базисов конечное число, поэтому количество шагов, совершаемых нами до того нужного базиса, конечно.

Источник

Решить симплекс таблицу графически

Симплекс-метод — это итеративный процесс направленного решения системы уравнений по шагам, который начинается с опорного решения и в поисках лучшего варианта движется по угловым точкам области допустимого решения, улучшающих значение целевой функции до тех пор, пока целевая функция не достигнет оптимального значения.

. Алгоритм симплекс-метода

Пример 5.1. Решить следующую задачу линейного программирования симплекс-методом:

Решение:

I итерация:

1 этап: формирование исходной симплекс-таблицы.

Исходная задача линейного программирования задана в стандартной форме. Приведем ее к каноническому виду путем введения в каждое из ограничений-неравенств дополнительной неотрицательной переменной, т.е.

В полученной системе уравнений примем в качестве разрешенных (базисных) переменные х3, х4, х5, х6, тогда свободными переменными будут х1,х2. Выразим базисные переменные через свободные:

Приведем целевую функцию к следующему виду:

На основе полученной задачи сформируем исходную симплекс-таблицу:

Таблица 5.3

Исходная симплекс-таблица

2 этап: определение базисного решения.

Согласно определению базисного решения свободные переменные равны нулю, а значения базисных переменных – соответствующим значениям свободных чисел, т.е.:

3 этап: проверка совместности системы ограничений ЗЛП.

На данной итерации (в таблице 5.3) признак несовместности системы ограничений (признак 1) не выявлен (т.е. нет строки с отрицательным свободным числом (кроме строки целевой функции), в которой не было бы хотя бы одного отрицательного элемента (т.е. отрицательного коэффициента при свободной переменной)).

4 этап: проверка ограниченности целевой функции.

На данной итерации (в таблице 5.3) признак неограниченности целевой функции (признак 2) не выявлен (т.е. нет колонки с отрицательным элементом в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел), в которой не было бы хотя бы одного положительного элемента).

5 этап: проверка допустимости найденного базисного решения.

Так как найденное базисное решение не содержит отрицательных компонент, то оно является допустимым.

6 этап: проверка оптимальности.

Найденное базисное решение не является оптимальным, так как согласно признаку оптимальности (признак 4) в строке целевой функции не должно быть отрицательных элементов (свободное число данной строки при рассмотрении данного признака не учитывается). Следовательно, согласно алгоритму симплекс-метода переходим к 8 этапу.

8 этап: определение разрешающего элемента.

8.1. Определение разрешающей колонки.

Так как найденное базисное решение допустимое, то поиск разрешающей колонки будем производить по следующей схеме: определяем колонки с отрицательными элементами в строке целевой функции (кроме колонки свободных чисел). Согласно таблице 5.3, таких колонок две: колонка «х1» и колонка «х2». Из таких колонок выбирается та, которая содержит наименьший элемент в строке целевой функции. Она и будет разрешающей. Колонка «х2» содержит наименьший элемент (–3) в сравнении с колонкой «х1». Следовательно, ее принимаем в качестве разрешенной.

8.2. Определение разрешающей строки.

Для определения разрешающей строки находим положительные оценочные отношения свободных чисел к элементам разрешающей колонки, строка, которой соответствует наименьшее положительное оценочное отношение, принимается в качестве разрешенной.

Таблица 5.4

Исходная симплекс-таблица

В таблице 5.4 наименьшее положительное оценочное отношение соответствует строке «х5», следовательно, она будет разрешающей.

Читайте также:  Презентация Положение основных слоев общества 8 класс история

Элемент, расположенный на пересечение разрешающей колонки и разрешающей строки, принимается в качестве разрешающего. В нашем примере – это элемент , который расположен на пересечении строки «х5» и колонки «х2».

9 этап: преобразование симплекс-таблицы.

Разрешающий элемент показывает одну базисную и одну свободную переменные, которые необходимо поменять местами в симплекс-таблице, для перехода к новому «улучшенному» базисному решению. В данном случае это переменные х5 и х2, в новой симплекс-таблице (таблице 5.5) их меняем местами.

9.1. Преобразование разрешающего элемента.

Разрешающий элемент таблицы 5.4 преобразовывается следующим образом:

Полученный результат вписываем в аналогичную клетку таблицы 5.5.

9.2. Преобразование разрешающей строки.

Элементы разрешающей строки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей строки приведены в таблице 5.5.

9.3. Преобразование разрешающей колонки.

Элементы разрешающей колонки таблицы 5.4 делим на разрешающий элемент данной симплекс-таблицы, а результат берется с обратным знаком. Полученные результаты вписываются в аналогичные ячейки новой симплекс-таблицы (таблицы 5.5). Преобразования элементов разрешающей колонки приведены в таблице 5.5.

9.4. Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы.

Преобразование остальных элементов симплекс-таблицы (т.е. элементов не расположенных в разрешающей строке и разрешающей колонке) осуществляется по правилу «прямоугольника».

К примеру, рассмотрим преобразование элемента, расположенного на пересечении строки «х3» и колонки « », условно обозначим его «х3 ». В таблице 5.4 мысленно вычерчиваем прямоугольник, одна вершина которого располагается в клетке, значение которой преобразуем (т.е. в клетке «х3 »), а другая (диагональная вершина) – в клетке с разрешающим элементом. Две другие вершины (второй диагонали) определяются однозначно. Тогда преобразованное значение клетки «х3 » будет равно прежнему значению данной клетки минус дробь, в знаменателе которой разрешающий элемент (из таблицы 5.4), а в числителе произведение двух других неиспользованных вершин, т.е.:

Аналогично преобразуются значения других клеток:

В результате данных преобразований получили новую симплекс- таблицу (таблица 5.5).

II итерация:

1 этап: составление симплекс-таблицы.

По результатам симплекс-преобразований предыдущей итерации составляем новую симплекс-таблицу:

Таблица 5.5

Симплекс-таблица II итерации

Источник

Высшая математика и экономика

Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

  • Главная
  • Примеры
    • Математический анализ
    • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
    • Линейная алгебра
    • Теория вероятностей и математическая статистика
    • Математическое программирование
      Методы оптимизации
    • Математика в экономике
      Экономическая статистика
  • Видео-уроки
    • Математический анализ
    • Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
    • Линейная алгебра
    • Теория вероятностей и математическая статистика
    • Математическое программирование. Методы оптимизации
  • Готовые работы
    • Математический анализ
    • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
    • Линейная алгебра
    • Теория вероятностей и математическая статистика
    • Математическое программирование
      Методы оптимизации
    • Математика в экономике
      Экономическая статистика
    • Другое
  • Контакты

Примеры — Математическое программирование

Графический и симплекс метод

Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. Для производства единицы изделия А оборудование первого типа используется в течении 1 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 3 часа.

Для производства единицы изделия В оборудование первого типа используется в течении 2 часа, оборудование второго типа – 3 часа, оборудование третьего типа – 1 час.
На изготовление всех изделий предприятие может использовать оборудование первого типа не более чем 32 часа, оборудование второго типа – 60 часов, оборудование третьего типа – 50 часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет 4 денежные единицы, а изделия В – 2 денежные единицы.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
1) Составить математическую модель задачи

2) Решить графическим методом

3)Решить симплекс-методом путем преобразования симплекс-таблиц

Перед нами – классическая задача линейного программирования. Под планом производства понимается ответ на простой вопрос: сколько изделий А и сколько изделий В надо выпустить, чтобы прибыль была максимальна.
Прибыль рассчитывается по формуле: .

Запишем математическую модель задачи:

Чтобы проиллюстрировать применение симплекс-метода решения этой задачи, решим ее графически.
Для этого построим на плоскости области, описываемые ограничениями-неравенствами, и прямую , которая называется целевой функцией.

Три записанных выше неравенства ограничивают на плоскости многоугольник (построен красным цветом), ограниченный слева и снизу координатными осями (т.к. искомое количество изделий положительно).

График целевой функции (построен синим цветом) передвигается в направлении, обозначенном стрелкой (по-научному – в направлении своего градиента), до тех пор, пока не достигнет граничной точки многоугольника – в нашем случае это точка – (15 ; 5). В этой точке целевая функция будет достигать максимума.

А теперь решим эту задачу симплекс-методом. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, введя дополнительные переменные .

Симплекс-таблица составляется так:
В графе Базис записываются вектора переменных, принимаемые за базисные. На первом этапе это – A3, A4, A5. Базисными будут переменные, каждая из которых входит только в одно уравнение системы, и нет такого уравнения, в которое не входила бы хотя бы одна из базисных переменных.
В следующий столбец записываются коэффициенты целевой функции, соответствующие каждой переменной. Столбец В – столбец свободных членов. Далее идут столбцы коэффициентов Аi при i –й переменной.
Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка

Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов .

Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.

Преобразование симплекс-таблицы ведется следующим образом:

Шаг 1: Проверяется критерий оптимальности, суть которого состоит в том, что все оценки должны быть неотрицательны. В нашем случае этот критерий не выполнен, поэтому переходим ко второму шагу.

Шаг 2: Для отрицательных оценок вычисляются величины:

Из этих элементов выбирается тот, для которого вычисленное произведение минимально, в нашем случае минимально, поэтому в качестве так называемого разрешающего элемента выбирается третий элемент первого столбца – 3 (выделен в таблице).

Шаг 3: Третья строка таблицы делится на 3 и вычитается из первой и второй строк. В сущности, применяется метод исключения неизвестных, известный как метод Жордана – Гаусса.
Таким образом, новыми базисными переменными становятся A3, A4, A1.

Возвращаемся к шагу 1 и повторяем весь процесс.
Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка

Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов .

Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.

Опять проверяется критерий оптимальности. Отрицательная оценка только одна – в столбце А2.

Разрешающим элементом будет второй элемент второго столбца – 2/3.

Новыми базисными переменными становятся A3, A2, A1
Делим вторую строку на 2 и вычитаем из третьей.
Умножаем вторую строку на 5/2 и вычитаем из первой.

На этот раз отрицательных оценок нет, т.е. критерий оптимальности выполнен.

Таким образом, получается искомое значение целевой функции F(15; 5; 7; 0; 0) = 70, т.е. возвращаясь к системе неравенств, получаем:

Ответы, полученные различными методами, совпадают.

Источник

Симплекс метод онлайн

Данный онлайн калькулятор решает задачу линейного программирования симплекс методом. Дается подробное решение с пояснениями. Для решения задачи линейного программирования задайте количество ограничений и количество переменных. Затем введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Симплекс метод − это метод решения задачи линейного программирования (ЗЛП). Суть метода заключается в нахождении начального допустимого плана, и в последующем улучшении плана до достижения максимального (или минимального) значения целевой функции в данном выпуклом многогранном множестве или выяснения неразрешимости задачи. Подробнее в статье: Решение задачи линейного программирования. Симплекс метод.

Читайте также:  Аллотропия углерода таблица свойства

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последняя строка — это целевая функция, умноженная на −1. Последние три векторы столбцы обазуют базис в трехмерном пространствое. Следовательно базисные переменные , а свободные переменные :

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x2. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x3. Сделаем исключение Гаусса для столбца x2, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x1. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x4. Сделаем исключение Гаусса для столбца x1, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F(X)=.

Пример 2. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последняя строка — это целевая функция, умноженная на −1:

Базисные векторы x4, x3, следовательно, все элементы в столбцах x4, x3, ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x4, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x3, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x2. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последние две строки − это целевая функция, умноженная на −1 и разделенная на две части. Последняя строка − строка с исскуственными переменными:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x2. Сделаем исключение Гаусса для столбца x1, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x3. Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x5. Сделаем исключение Гаусса для столбца x3, учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Запишем текущий опорный план:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

.

Значение целевой функции в данной точке:

.

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственные переменные, а в целевую функцию добавляем эти переменные, умноженные на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Составляем симплексную таблицу. В столбец x записывается правая часть ограничений. С правой стороны записывается матрица коэффициентов A. Последние две строки − это целевая функция, умноженная на −1 и разделенная на две части. Последняя строка − строка с исскуственными переменными:

Базисные векторы x4, x5, x6, следовательно, все элементы в столбцах x4, x5, x6, ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x4, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x5, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x6, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Запишем текущий опорный план:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x1, x2, x3, x4, x5, x6 неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.

Источник