Меню

Системы и совокупности неравенств



∑ Некоторые алгебраические понятия — определения и работа с ними

Числовые промежутки. Контекст. Определение

Равенство (уравнение) имеет одну точку на числовой прямой (хотя это точка зависит от проделанных преобразований и выбранного корня). Само решение уравнения будет числовым множеством (иногда состоящим из одного числа). Однако, всё это на числовой прямой (визуализации множества вещественных чисел) будет отображаться лишь точечно, но существуют также более обобщённые типы отношений между двумя числами — неравенства. В них числовая прямая разделяется некоторым числом и от неё отсекается определённая часть — значения выражения или числовой промежуток.

Тему числовых промежутков логично обсуждать вместе с неравенствами, но это отнюдь не означает, что она связана лишь с ними. Числовые промежутки (интервалы, отрезки, лучи) являются множеством значений переменной, удовлетворяющих некоему неравенству. То есть, по сути, это множество всех точек на числовой прямой, ограниченной какими-то рамками. Поэтому наиболее тесно связана тема числовых промежутков с понятием переменной. Там, где есть переменная, или произвольная точка x на числовой прямой, и её применяют, используют, есть и числовые промежутки, интервалы — значения x. Часто значение может быть любым, но это тоже числовой промежуток, охватывающий всю числовую прямую.

Введём понятие числового промежутка. Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства. Тогда как множеством решения уравнения будет не числовой промежуток, а просто несколько чисел на числовой прямой, с неравенствами, иначе говоря, любыми ограничениями значения переменной появляются числовые промежутки.

— это множество всех точек числовой прямой, ограниченное данным числом или числами (точками на числовой прямой).

Числовой промежуток любого вида (множество значений x, заключённых между некоторыми числами) всегда можно представить тремя видами математических обозначений: специальными обозначениями промежутков, цепочками неравенств (одним неравенством или двойным неравенством) или геометрически на числовой прямой. По сути, все эти обозначения имеют один смысл. Они дают ограничение(-я) для значений какого-то математического объекта, переменной величины (некоторой переменной, любого выражения с переменной, функции и т.д.).

Из вышесказанного можно понять, что так как можно по-разному ограничить область числовой прямой (есть разные типы неравенств), то и типы числовых промежутков бывают разные.

Виды числовых промежутков

Каждый тип числового промежутка имеет собственное название, особое обозначение. Для обозначения числовых промежутков используют круглую и квадратную скобку. Круглая скобка означает, что конечная, определяющая границу, точка на числовой прямой (конец) у этой скобки не входит во множество точек данного промежутка. Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток. С бесконечностью (с этой стороны промежуток не ограничен) используют круглую скобку. Иногда вместо круглых скобок можно писать квадратные, повёрнутые в обратную сторону: (a;b) ⇔]a;b[

Вид промежутка (название) Геометрическое изображение (на числовой прямой) Обозначение Запись с помощью неравенств (для краткости всегда цепочками)
Интервал (открытый) Отрезок на числовой прямой (a;b) a x x ≤ b
Полуинтервал (полусегмент) Полуинтервал на числовой прямой [a;b) a ≤ x x ≤ b
Луч Луч на числовой прямой [a;+∞) x ≥ a
Луч Луч на числовой прямой (-∞;b] x ≤ b
Открытый луч Открытый луч на числовой прямой (a;+∞) x > a
Открытый луч Открытый луч на числовой прямой (-∞;b) x x ∈ ℝ (обычно говорят о множестве вещественных чисел, для представления комплексных чисел используют уже комплексную плоскость, а не прямую)
Равенство Точка на числовой прямой [a;a] или x=a x = a (частный случай нестрогого неравенства: a ≤ x ≤ a — интервал длины 1, где оба конца совпадают — отрезок, состоящий из одной точки)
Пустое множество Числовая прямая - нет значений Пустое множество тоже является промежутком — у переменной x нет значений (пустое множество). Обозначение: x∈∅⇔x∈ .

С названиями промежутков может возникнуть путаница: есть огромное количество вариантов. Поэтому лучше всегда точно их указывать. В англоязычной литературе используется только термин интервал («interval») — открытый, замкнутый, полуоткрытый (полузамкнутый). Вариаций много.

С помощью промежутков в математике обозначается очень большое количество вещей: есть промежутки изоляции при решении уравнений, промежутки интегрирования, промежутки сходимости рядов. Промежутками принято всегда обозначать при при исследовании функции её область значений и область определения. Промежутки очень важны, например, есть теорема Больцано — Коши (можно узнать больше в «Википедии»).

Системы и совокупности неравенств

Система неравенств

Итак, переменную x или значение некоторого выражения можно сравнить с какой-то постоянной величиной — это неравенство, но можно сравнивать это выражение с несколькими величинами — двойное неравенство, цепочка неравенств и т. д. Именно это было показано выше — как интервал и отрезок. И то, и то является системой неравенств.

Итак, если ставится задача найти множество общих решений двух или больше неравенств, то можно говорить о (также как с уравнениями — хотя можно сказать, что уравнения — это частный случай).

Тогда очевидно, что значение переменной, использованной в неравенствах, при котором каждое из них обращается в верное, называется .

Решение систем линейных неравенств с одной переменной в общем случае сводится к вот этим 4 видам: x > a x > b (1) x > a x b (2) x a x > b (3) x a x b (4) . Здесь предполагается, что b > a.

Любую систему можно решать графически с использованием числовой прямой. Там, где решения составляющих систему неравенств пересекаются и будет решение самой системы.

Представим для каждого случая графическое решение.

x is greater than b(1) x>b x is between a and b(2) a x is less than a(3) x x does not exist(4) x∈∅

Итак, что же получается? В случае (1) решением является промежуток (a;+∞). В случае (2) решение — промежуток (a;b). Случай (3) — это пример открытого луча (-∞;a). В случае (4) же решения отдельных неравенств не пересекаются — система не имеет решений.

Далее, системы неравенств можно классифицировать как равносильные, если они имеют общее множество решений. Отсюда (как можно видеть выше) следует, что более сложные системы можно упрощать (например, используя геометрическое решение).

Фигурную скобку можно условно, грубо говоря, назвать эквивалентом союза «И» для неравенств

Совокупность неравенств

Однако, бывают и другие случаи. Так кроме пересечения множеств решений бывает их объединение: если ставится задача найти множество всех таких значений переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо .

Итак, все неравенства в совокупности объединяют скобкой совокупности «[«. Если значение переменной удовлетворяет хотя бы одному неравенству из совокупности, то оно принадлежит множеству решений всей совокупности. Также и с уравнениями (опять же их можно назвать частным случаем).

Если фигурная скобка — и, то скобка совокупности — это, условно, говоря простым языком, эквивалент союза «ИЛИ» для неравенств (хотя это, конечно, будет логическое или, включающее случай, удовлетворяющий обоим условиям).

Итак, — это значение переменной, при котором хотя бы одно неравенство, обращается в верное.

Множество решений, как совокупности, так и системы неравенств, можно определить через две основные бинарные операции для работы с множествами — пересечение и объединение. Множество решений системы неравенств — это пересечение множеств решений неравенств, её составляющих. Множество решений совокупности неравенств — это объединение множеств решений неравенств, её составляющих. Это тоже можно проиллюстрировать. Допустим у нас есть система и совокупность из двух неравенств. Множество решений первого обозначим A, а множество решений второго обозначим B. Прекрасной иллюстрацией будет диаграмма Эйлера-Венна.

объединение множествA ∪ B — решение системы неравенств пересечение множествA ∩ B — решение совокупности неравенств fedor1113
К остальным темам Fork me on GitHub

Источник

Таблица с интервалами отрезками

Числовые отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовыми промежутками.

Неравенство, задающее числовой промежуток

Обозначение числового промежутка

Название
числового промежутка

Читается так:

Отрезок от a до b

Открытый числовой луч

Открытый числовой луч от a до плюс бесконечности

Числовой луч от минус бесконечности до a

x луч с точкой a, справа и слева от которой — множество чисел.

Множество чисел справа от точки a, отвечающих условию x ≥ a, называется числовым лучом.

Читается так: числовой луч от a до плюс бесконечности.

Множество чисел справа от точки a, отвечающих неравенству x > a, называется открытым числовым лучом.

Читается так: открытый числовой луч от a до плюс бесконечности.

Множество чисел слева от точки a, отвечающих условию x ≤ a, называется числовым лучом от минус бесконечности до a.

Читается так: числовой луч от минус бесконечности до a.

Множество чисел слева от точки a, отвечающих неравенству x < a, называется открытым числовым лучом от минус бесконечности до a.

Читается так: открытый числовой луч от минус бесконечности до a.

Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой. Обозначается она так:

Источник

Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения.

Среди числовых множеств, то есть множеств, объектами которых являются числа, выделяют так называемые числовые промежутки. Их ценность в том, что очень легко вообразить множество, соответствующее указанному числовому промежутку, и наоборот. Поэтому с их помощью удобно записывать множество решений неравенства.

В этой статье мы разберем все виды числовых промежутков. Здесь мы дадим их названия, введем обозначения, изобразим числовые промежутки на координатной прямой, а также покажем, какие простейшие неравенства им соответствуют. В заключение наглядно представим всю информацию в виде таблицы числовых промежутков.

Навигация по странице.

Виды числовых промежутков

Каждому числовому промежутку присущи четыре неразрывно связанные между собой вещи:

  • название числового промежутка,
  • отвечающее ему неравенство или двойное неравенство,
  • обозначение,
  • и его геометрический образ в виде изображения на координатной прямой.

Любой числовой промежуток может быть задан любым из трех последних по списку способов: либо неравенством, либо обозначением, либо его изображением на координатной прямой. Причем по данному способу задания, например, по неравенству, с легкостью восстанавливаются и другие (в нашем случае обозначение и геометрический образ).

Переходим к конкретике. Опишем все числовые промежутки с указанных выше четырех сторон.

Начнем с описания числового промежутка, получившего название открытый числовой луч. Заметим, что часто прилагательное «числовой» опускают, оставляя название открытый луч.

Осталось показать геометрическое изображение открытого луча, из него станет видно, что такое название рассматриваемый числовой промежуток получил не случайно. Обратимся к координатной прямой. Известно, что между ее точками и действительными числами имеет место взаимно однозначное соответствие, что позволяет координатную прямую называть числовой прямой. А при разговоре о сравнении чисел мы отметили, что большее число располагается на координатной прямой правее меньшего, а меньшее – левее большего. Исходя из этих соображений, неравенству x отвечают все точки координатной прямой, лежащие левее точки с координатой a , а неравенству x>a – точки, лежащие правее точки a . Само число a не удовлетворяет этим неравенствам, чтобы подчеркнуть это на чертеже ее изображают точкой с пустым центром. Над точками, которым соответствуют числа, удовлетворяющие неравенству, изображают наклонную штриховку:

a»/>

Из приведенных чертежей видно, что данным числовым промежуткам соответствуют части числовой прямой, представляющие собой лучи с началом в точке a , но исключая саму точку a . Другими словами, это лучи без начала. Отсюда и название – открытый числовой луч.

Приведем несколько конкретных примеров открытых числовых лучей. Так строгое неравенство x>−3 задает открытый числовой луч. Его же задает запись (−3, ∞) . А на координатной прямой этот числовой промежуток представляет собой множество точек, лежащих правее точки с координатой −3 , не включая саму эту точку. Еще пример: неравенство x , как и запись (−∞, 2,3) , задает открытый числовой луч, который следующим образом изображается на координатной прямой

Переходим к числовым промежуткам следующего вида – числовым лучам. В геометрическом плане их отличие от открытых лучей заключается в том, что начало луча не отбрасывается. Другими словами, геометрический образ числовых промежутков этого вида есть полноценный луч.

Что касается задания числовых лучей с помощью неравенств, то им отвечают нестрогие неравенства x≤a или x≥a . Для них приняты обозначения (−∞, a] и [a, +∞) соответственно, квадратная скобка означают включение записанного рядом с ней числа в множество.

=a»/>

Для наглядности зададим конкретный числовой луч. Неравенству x≥5 , как и записи [5, +∞) , отвечает множество точек на числовой прямой, представляющее собой луч следующего вида

Переходим к следующему числовому промежутку – интервалу. Интервалы задаются двойными неравенствами вида a , где a и b – некоторые действительные числа, причем a меньше b , а x – переменная. То есть, такой числовой промежуток как интервал представляет собой множество всех таких чисел, которые больше, чем a , но меньше, чем b . Для таких интервалов принято обозначение (a, b) , круглые скобки указывают на то, что ни число a , ни число b не включаются в множество. На координатной прямой интервал представляет собой отрезок прямой, заключенный между точками с координатами a и b , причем эти точки – концы отрезка – не включаются.

Приведем пример интервала: −1 , что то же самое (−1, 3,5) , и изобразим его на координатной прямой

Числовой отрезок – следующий вид числового промежутка – отличается от только что рассмотренного интервала тем, что включает в себя граничные точки. Числовым отрезкам отвечают нестрогие двойные неравенства вида a≤x≤b . В обозначении используются квадратные скобки, в которых через запятую заключены числа a и b : [a, b] . А геометрический образ числового отрезка представляет собой отрезок вместе с его концами:

Например, числовой отрезок, который задается двойным неравенством можно обозначить как , на координатной прямой ему отвечает отрезок с концами в точках, имеющих координаты корень из двух и корень из трех.

Осталось лишь сказать про числовые промежутки, называемые полуинтервалами. Они представляют собой, если так можно выразиться, промежуточный вариант между интервалом и отрезком, так как включают в себя одну из граничных точек. Полуинтервалы задаются двойными неравенствами a или a≤b , которым соответствуют обозначения (a, b] и [a, b) . Несложно представить и их геометрическую интерпретацию:

Например, полуинтервал (1, 3] можно обозначить как 1 , а на числовой прямой он представлен отрезком с концами в точках с координатами 1 и 3 , причем первую из них следует исключить.

Таблица числовых промежутков

Итак, в предыдущем пункте мы определили и описали следующие числовые промежутки:

  • открытый числовой луч;
  • числовой луч;
  • интервал;
  • числовой отрезок;
  • полуинтервал.

Для удобства сведем все данные о числовых промежутках в таблицу. Занесем в нее название числового промежутка, соответствующее ему неравенство, обозначение и изображение на координатной прямой. Получаем следующую таблицу числовых промежутков:

Источник

Таблица числовых промежутков: виды, обозначения, изображения

Среди множеств чисел имеются множества, где объектами выступают числовые промежутки. При указывании множества проще определить по промежутку. Поэтому записываем множества решений, используя числовые промежутки.

Данная статья дает ответы на вопросы о числовых промежутках, названиях, обозначениях, изображениях промежутков на координатной прямой, соответствии неравенств. В заключение будет рассмотрена таблица промежутков.

Виды числовых промежутков

Каждый числовой промежуток характеризуется:

  • названием;
  • наличием обычного или двойного неравенства;
  • обозначением;
  • геометрическим изображением на координатой прямой.

Числовой промежуток задается при помощи любых 3 способов из выше приведенного списка. То есть при использовании неравенства, обозначения, изображения на координатной прямой. Данный способ наиболее применимый.

Произведем описание числовых промежутков с выше указанными сторонами:

  • Открытый числовой луч. Название связано с тем, что его опускают, оставляя открытым.

Этот промежуток имеет соответствующие неравенства x a или x > a , где a является некоторым действительным числом. То есть на такое луче имеются все действительные числа, которые меньше a — ( x a ) или больше a — ( x > a ) .

Множество чисел, которые будут удовлетворять неравенству вида x a обозначается виде промежутка ( − ∞ , a ) , а для x > a , как ( a , + ∞ ) .

Геометрический смыл отрытого луча рассматривает наличие числового промежутка. Между точками координатной прямой и ее числами имеется соответствие, благодаря которому прямую называем координатной. Если необходимо сравнить числа, то на координатной прямой большее число находится правее. Тогда неравенство вида x a включает в себя точки, которые расположены левее, а для x > a – точки, которые правее. Само число не подходит для решения, поэтому на чертеже обозначают выколотой точкой. Промежуток, который необходим, выделяют при помощи штриховки. Рассмотрим рисунк, приведенный ниже.

Из вышеприведенного рисунка видно, что числовые промежутки соответствуют части прямой, то есть лучам с началом в a . Иначе говоря, называется лучами без начала. Поэтому он и получил название открытый числовой луч.

Рассмотрим несколько примеров.

При заданном строгом неравенстве x > − 3 задается открытый луч. Эту запись можно представить в виде координат ( − 3 , ∞ ) . То есть это все точки, лежащие правее, чем — 3 .

Если имеем неравенство вида x 2 , 3 , то запись ( − ∞ , 2 , 3 ) является аналогичной при задании открытого числового луча.

  • Числовой луч. Геометрический смысл в том, что начало не отбрасывается, иначе говоря, луч оставляет за собой свою полноценность.

Его задание идет с помощью нестрогих неравенств вида x ≤ a или x ≥ a . Для такого вида приняты специальные обозначения вида ( − ∞ , a ] и [ a , + ∞ ) , причем наличие квадратной скобки имеет значение того, что точка включена в решение или в множество. Рассмотрим рисунок, приведеный ниже.

Для наглядного примера зададим числовой луч.

Неравенство вида x ≥ 5 соответствует записи [ 5 , + ∞ ) , тогда получаем луч такого вида:

  • Интервал. Задавание при помощи интервалов записывается при помощи двойных неравенств a x b , где а и b являются некоторыми действительными числами, где a меньше b , а x является переменной. На таком интервале имеется множество точек и чисел, которые больше a , но меньше b . Обозначение такого интервала принято записывать в виде ( a , b ) . Наличие круглых скобок говорит о том, что число a и b не включены в это множество. Координатная прямая при изображении получает 2 выколотые точки.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Пример интервала − 1 x 3 , 5 говорит о том, что его можно записать в виде интервала ( − 1 , 3 , 5 ) . Изобразим на координатной прямой и рассмотрим.

  • Числовой отрезок. Данный промежуток отличается тем, что он включает в себя граничные точки, тогда имеет запись вида a ≤ x ≤ b . Такое нестрогое неравенство говорит о том, что при записи в виде числового отрезка применяют квадратные скобки [ a , b ] , значит, что точки включаются во множество и изображаются закрашенными.

Рассмотрев отрезок, получим , что его задание возможно при помощи двойного неравенства 2 ≤ x ≤ 3 , которое изображаем в виде 2 , 3 . На координатной прямой данный точки будут включены в решение и закрашены.

  • Полуинтервалы. Это промежуточные интервалы с включением приграничных точек. Они записываются при помощи двойных неравенств вида a x ≤ b или a ≤ b c , где ( a , b ] и [ a , b ) . Изобразим на координатной прямой.

Если имеется полуинтервал ( 1 , 3 ] , тогда его обозначение можно в виде двойного неравенства 1 x ≤ 3 , при чем на координатной прямой изобразится с точками 1 и 3 , где 1 будет исключена, то есть выколота на прямой.

Таблица числовых промежутков

Промежутки могут быть изображены в виде:

  • открытого числового луча;
  • числового луча;
  • интервала;
  • числового отрезка;
  • полуинтервала.

Чтобы упростить процесс вычисления, необходимо пользоваться специальной таблицей, где имеются обозначения всех видов числовых промежутков прямой.

Источник

Читайте также:  Размеры для вязания для малышей таблица