Меню

Случайные величины Дискретная случайная величина Математическое ожидание



Дискретные распределения вероятностей и их параметры

п.1. Общие свойства дискретного распределения

Согласно данному определению дискретная величина может быть определена либо на бесконечном счетном множестве, либо на конечном множестве (которое всегда счетное).
Напомним, что счетным называется множество, которое эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е. элементы которого можно пронумеровать (см. §11 справочника для 8 класса).

Например:
1) При подбрасывании игрального кубика мы получаем всего 6 исходов. Случайная величина X – выпавшее число очков – принимает конечное число значений \(\Omega=\left\<1;2;3;4;5;6\right\>\), т.е. является дискретной конечной случайной величиной.
2) Случайная величина X – количество поступивших вызовов на сервер за сутки – не ограничена сверху и может принимать значения \(\Omega=\left\<1;2;3;. \right\>\)

Случайная величина полностью описывается своим законом распределения.
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой), таблично или графически.

Например:
В результате измерения температуры учеников школы получен следующий ряд распределения:

t, °C 36,3 36,4 36,5 36,6 36,7 36,8 36,9 37,0 37,1
p(t) 0,05 0,07 0,15 0,33 0,31 0,11 0,04 0,01 0,01

Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.

Например:
Пусть в урне находится 2 белых и 3 черных шара. Мы достаем шар, смотрим на его цвет, возвращаем его обратно и все шары перемешиваем. Таким образом, событие A=«достали белый шар» каждый раз является независимым от предыдущих и имеет вероятность \(p=\frac25\).
Пусть мы провели n=3 испытания. В 3 испытаниях можно получить от 0 до 3 белых шаров. Вероятность событий \(k\in\left\<0;1;2;3\right\>\) описывается биномиальным законом распределения (см. §40 справочника для 9 класса): $$ P_3(k)=C_3^k p^k q^<3-q>,\ \ k=\overline <0;3>$$ Получаем закон распределения: \begin P_3(0)=C_3^0 p^0 q^<3-0>=q^3=\left(\frac35\right)^3=\frac<27><125>\\ P_3(1)=C_3^1 p^1 q^<3-1>=3pq^2=3\cdot \frac25\cdot \left(\frac35\right)^2=\frac<54><125>\\ P_3(2)=C_3^2 p^2 q^<3-2>=3p^2q=3\cdot \left(\frac25\right)^2\cdot \frac35=\frac<36><125>\\ P_3(3)=C_3^3 p^3 q^<3-3>=p^3=\left(\frac25\right)^3=\frac<8> <125>\end

k 1 2 3
\(P_3(k)\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<36><125>\) \(\frac<8><125>\)

п.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Для дискретной случайной величины функция распределения будет ступенчатой кусочно-непрерывной функцией, область значений которой: \(F(x)\in[0;1]\).
Слева на графике функции распределения будет нулевая «ступенька», а справа – единичная «ступенька».

Например:
Найдем из закона распределения случайной величины k, полученного в предыдущем примере для урны с шарами, функцию распределения.

k 1 2 3
\(P_3(k)\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<36><125>\) \(\frac<8><125>\)
\(F(k)\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<27+54><125>=\frac<81><125>\) \(\frac<81+36><125>=\frac<117><125>\) \(\frac<117+8><125>=1\)

Изобразим графически закон распределения в виде гистограммы:
Функция распределения дискретной случайной величины
Построим график для функции распределения: \begin F(k)= \begin 0,\ k\leq 0\\ \frac<27><125>,\ 0\lt k\leq 1\\ \frac<81><125>,\ 1\lt k\lt 2\\ \frac<117><125>,\ 2\lt k\leq 3\\ 1,\ k\gt 3 \end \end Функция распределения дискретной случайной величины

п.3. Числовые характеристики дискретного распределения

Числовыми характеристиками дискретного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Подробно о свойствах этих характеристик – см. §41 справочника для 9 класса.

Здесь мы приведем только основные определения.

Например:
Рассчитаем числовые характеристики для урны с шарами из предыдущего примера.
Составим расчетную таблицу:

\(x_i\) 1 2 3
\(p_i\) \(\frac<27><125>\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<36><125>\) \(\frac<8><125>\) \(1\)
\(x_i p_i\) \(0\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<72><125>\) \(\frac<24><125>\) \(1,2\)
\(x_i^2\) 1 4 9
\(x_i^2 p_i\) \(0\) \(\frac<54><125>\) \(\frac<144><125>\) \(\frac<72><125>\) \(2,16\)

Получаем \begin M(X)=\sum_^3 x_i p_i=1,2=\frac65\\ D(X)=\sum_^3 x_i^2 p_i-M^2(X)=2,16-1,2^2=0,72=\frac<18><25>\\ \sigma(X)=\sqrt=\sqrt<\frac<18><25>>=\frac<3\sqrt<2>> <5>\end В научных статьях и технической документации принято записывать случайные величины в виде \(x=M(X)\pm\sigma (X)\).
В данном случае для числа вынутых белых шаров в 3 испытаниях можем записать: $$ k=\frac<6\pm 3\sqrt<2>> <5>$$

п.4. Таблица дискретных распределений и их параметров

Название Принятое
обозначение
Плотность
распределения
Мат.
ожидание
Дисперсия
Дискретное равномерное \(U(N)\) \begin P(\left\)=\frac1N\\ N\in\mathbb,\ k\in\left\ <1. N\right\>\end

\(\frac<2>\) \(\frac<12>\)
Бернулли \(B(1,p)\) \begin P(0)=1-p=q\\ P(1)=p\\ k\in\left\ <0;1\right\>\end

\(p\) \(pq\)
Биномиальное \(B(n,p)\) \begin P(\left\)=C_n^k p^k q^\\ n\in\mathbb,\ k=\in\left\ <0,1. n\right\>\end

\(np\) \(npq\)
Пуассона \(Pois(\lambda)\) \begin P(\left\)=\frac<\lambda^k>e^<-\lambda>\\ \lambda\gt 0,\ k=\in\left\ <0,1. n\right\>\end

\(\lambda\) \(\lambda\)
Геометрическое \(Geopm(p)\) \begin P(\left\)=pq^\\ k=\in\left\ <0,1,2. \right\>\end

\(\frac1p\) \(\frac\)
Гипер-геометрическое \(HG(D,N,n)\) \begin P(\left\)=\frac^> \end

\(\frac\) $$\frac<\frac\left(1-\frac DN\right)(N-n)>$$

п.5. Примеры

Пример 1. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии дискретного равномерного распределения

Предварительно заметим, что по формуле суммы арифметической прогрессии: $$ \sum_^N k_i=1+2+. +N=\frac <2>$$ А сумму квадратов можно найти по формуле Архимеда (доказательство – см. пример 2 в §25 справочника для 9 класса): $$ \sum_^N k_i^2=1^2+2^2+. +N^2=\frac <6>$$ Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=\sum_^N k_ip_i=\sum_^N k_i\cdot \frac1N=\frac1N(1+2+. +N)=\frac1N\cdot\frac<2>=\frac <2>$$ Найдем дисперсию: \begin D(X)=\sum_^N k_i^2 p_i-M^2(X)=\sum_^N k_i^2\cdot\frac1N-M^2(X)=\\ =\frac1N\cdot\frac<6>-\left(\frac<2>\right)^2=\frac<(N+1)(2N+1)><6>-\frac<(N+1)^2><4>=\\ =\frac<2>\left(\frac<2N+1><3>-\frac<2>\right)=\frac<2>\cdot\frac<4N+2-3N-3><6>=\frac<2>\cdot\frac<6>=\frac <12>\end В частности, для игрального кубика: $$ N=6;\ p_i=\frac16;\ M(X)=\frac<6+1><2>=3,5;\ D(X)=\frac<6^2-1><12>=2\frac<11> <12>$$
Ответ: \(M(X)=\frac<2>;\ D(X)=\frac<12>\)

Пример 2. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Бернулли.

Найдем математическое ожидание: $$ M(X)=0\cdot (1-p)+1\cdot p=p $$ Найдем дисперсию: \begin D(X)=(0^2\cdot(1-p)+1^2\cdot p)-M^2(X)=p-p^2=p(1-p)=pq \end
Типичным примером является бросание монеты, где \(M(X)=p=0,5\) и \(D(X)=0,5\cdot 0,5=0,25\). Дисперсия максимальна для нефальшивой монеты.

Рассмотрим другой пример – бросание фальшивой монеты, для которой вероятность выпадения орла (k=1) равна p=0,7. Тогда \(M(k)=p=0,7\), дисперсия \(D(k)=0,7\cdot 0,3=0,21\). Как и ожидалось, для фальшивой монеты средняя величина возрастает (70% бросков заканчивается выпадением орла). При этом дисперсия уменьшается.

Пример 3. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии биномиального распределения.

Математическое ожидание и дисперсию для одного опыта Бернулли мы получили в примере 2: \(M(X)=p,\ D(X)=pq\).

Общее число успехов при n опытах складывается из числа успехов при каждом опыте, т.е. \(X=X_1+X_2+. +X_n\). Все опыты между собой независимы.
По свойству мат.ожидания суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): \begin M(X)=M(X_1+X_2+. +X_n)=M(X_1)+M(X_2)+. +M(X_n)=\\ =\underbrace_=np \end По свойству дисперсии суммы независимых событий (см. §41 справочника для 9 класса): \begin D(X)=D(X_1+X_2+. +X_n)=D(X_1)+D(X_2)+. +D(X_n)=\\ =\underbrace_=npq \end Например, пусть событие A=«уронить молоток на ногу» имеет вероятность p=0,1.
Тогда для n=100 забиваний гвоздей вы в среднем уроните молоток на ногу
\(M(X)=np=100\cdot 0,1=10\) раз
Дисперсия этого события \(D(X)=npq=100\cdot 0,1\cdot 0,9=9\)
СКО \(\sigma(X)=\sqrt=3\)
По правилу «трех сигм» интервал оценки: \begin 10-3\cdot 3\lt X\lt 10+3\cdot 3\\ -17\lt X\lt 37\\ 0\leq X\leq 36 \end Скорее всего (вероятность 99,72%), вы уроните молоток от 0 до 36 раз.

Ответ: \(M(X)=np,\ D(X)=npq\)

Пример 4. Выведите формулы для мат.ожидания и дисперсии распределения Пуассона.

Распределение Пуассона получается из биномиального распределения предельным переходом \(n\rightarrow\infty,\ p\rightarrow 0,\ np\rightarrow\lambda\).
Найдем математическое ожидание как предел мат. ожидания биномиального распределения: $$ M(X)=\lim_M_B(X)=\lim_(np)=\lambda $$ Т.е. параметр \(\lambda\) является средним числом удачных исходов.
Дисперсия, если учесть что \(p\rightarrow 0\), а значит \(q=1-p\rightarrow 1\) $$ D(X)=\underset<\lim_> D_B(X)=\underset<\lim_>(npq)=\lambda\cdot 1=\lambda $$
Например, в городе размерами 10х10 км болеет гриппом 1000 человек.
С какой вероятностью в комнате размерами 10х10 м:
а) не окажется больных;
б) окажется 1 больной?
Площадь города в метрах \(S=(10^4)^2=10^8\) м 2
Площадь комнаты в метрах \(s_0=10^2\) м 2
Среднее количество больных в комнате: \(\lambda=N\frac=10^3\cdot\frac<10^2><10^3>=10^<-3>=0,001\)
а) вероятность того, что в комнате не окажется больных: $$ p_0=\frac<0,001^0><0!>e^<-0,001>=e^<-0,001>\approx 1-0,001=0,999 $$ Здесь мы использовали формулу приближенных вычислений \(e^x\approx 1+x,\ x\rightarrow 0\) (см. §52 данного справочника).
б) вероятность того, что в комнате окажется один больной: $$ p_1=\frac<0,001^1><1!>e^<-0,001>=0,000999\approx 0,001 $$ Вероятность всех остальных случаев пренебрежимо мала.
Таким образом, при малых \(\lambda\) вероятности \(p_0\approx 1-\lambda,\ p_1\approx\lambda\), т.е. фактически мы получаем распределение Бернулли.
Ответ: \(M(X)=\lambda ,\ D(X)=\lambda\)

Источник

03.1. Случайная величина и ее распределение

Случайной величиной наЗЫвается переменная, которая может принимать в зависимости от исходов испытания те или иные случайные значения.

Если при этом переменная принимает последовательные различные значения и известны вероятности каждого из них; то она называется Дискретной случайной величиной. Дискретная случайная величина Х определена, если даны все ее возможные значения , число которых может быть как конечным, так и бесконечным, и соответствующие вероятности

Это задание представляется таблицей Распределения,

В котороЙ значения Х располагаются в строго возрастающем порядке. При этом сумма соответствующих этИМ значениям вероятностей равна 1, так как все возможные значения случайной величины представляют полную систему событий.

В случае конечного числа K возможных значений эта сумма запишется в виде

Для дискретной случайной величины с бесконечным множеством возможных значений эта сумма будет представлять собой ряд.

Представленная в виде таблицы совокупность всех значений случайной величины и соответственных вероятностей каждой из них или, что то же, функция Р(х), связывающая значения с соответствующими вероятностями, является Законом распределения случайной величины.

Примерами дискретных случайных величин являются:

1) число грузовых машин, проезжающих за один час через контрольный пункт автоинспекции;

2) сумма выигрыша, приходящегося на один билет денежно-вещевой лотереи;

3) число ничейных результатов в шахматном турнире;

4) число отличных оценок у студентов одной группы на экзамене.

Пример 1. Составить закон распределения случайной величины — числа появлений события А при П повторных независимых испытаниях, если вероятность появления этого события в отдельном испытании очень мала.

Решение. Вероятность появления события А M раз в испытаниях определяется формулой Пуассона

Соответствующая таблица распределения имеет такой вид:

Источник

Случайные величины. Дискретная случайная величина.
Математическое ожидание

Второй раздел по теории вероятностей посвящён случайным величинам, которые незримо сопровождали нас буквально в каждой статье по теме. И настал момент чётко сформулировать, что же это такое:

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины, как правило, обозначают через *, а их значения – соответствующими маленькими буквами с подстрочными индексами, например, .

* Иногда используют , а также греческие буквы

Пример встретился нам на первом же уроке по теории вероятностей, где мы фактически рассмотрели следующую случайную величину:

– количество очков, которое выпадет после броска игрального кубика.

В результате данного испытания выпадет одна и только грань, какая именно – не предсказать (фокусы не рассматриваем); при этом случайная величина может принять одно из следующий значений:

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

, либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах).

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта 🙂

Тем не менее, ваши гипотезы?

Коль скоро речь идёт о множестве действительных чисел, то случайная величина может принять несчётно много значений из некоторого числового промежутка. И в этом состоит её принципиальное отличие от предыдущих примеров.

Таким образом, случайные величины целесообразно разделить на 2 большие группы:

1) Дискретная (прерывная) случайная величина – принимает отдельно взятые, изолированные значения. Количество этих значений конечно либо бесконечно, но счётно.

…нарисовались непонятные термины? Срочно повторяем основы алгебры!

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание: в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную.

Закон распределения дискретной случайной величины

– это соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения, но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент: поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах 🙂 Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля.

Решение: так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ:

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности, теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера:

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение: как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания. Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению:
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ: искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились 🙂 Вспоминаем теоремы умножения и сложения. Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

В чём состоит вероятностный смысл полученного результата? Если подбросить кубик достаточно много раз, то среднее значение выпавших очков будет близкО к 3,5 – и чем больше провести испытаний, тем ближе. Собственно, об этом эффекте я уже подробно рассказывал на уроке о статистической вероятности.

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

, таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно.

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры 🙂 Ну, может, только ради развлечения.

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка: европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь дисперсия, о которой мы узнаем во 2-й части урока.

Но прежде будет полезно размять пальцы на клавишах калькулятора:

Случайная величина задана своим законом распределения вероятностей:

Найти , если известно, что . Выполнить проверку.

Тогда переходим к изучению дисперсии дискретной случайной величины, и по возможности, ПРЯМО СЕЙЧАС!! – чтобы не потерять нить темы.

Решения и ответы:

Пример 3. Решение: по условию – вероятность попадания в мишень. Тогда:
– вероятность промаха.

Составим – закон распределения попаданий при двух выстрелах:

– два попадания. По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Проверка: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Ответ:

Примечание: можно было использовать обозначения – это не принципиально.

Пример 4. Решение: игрок выигрывает 100 рублей в 18 случаях из 37, и поэтому закон распределения его выигрыша имеет следующий вид:

Вычислим математическое ожидание:

Таким образом, с каждой поставленной сотни игрок в среднем проигрывает 2,7 рубля.

Пример 5. Решение: по определению математического ожидания:

поменяем части местами и проведём упрощения:

таким образом:

Выполним проверку:

, что и требовалось проверить.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник

Основные законы распределения

line

Главная > Учебные материалы > Математика: Основные законы распределения
line
1.Биномиальный закон распределения.
2.Геометрическое распределение.
3.Гипергеометрическое распределение.
4.Закон распределения Пуассона.
5.Равномерный закон распределения.
6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).
7.Показательный закон распределения.
8.Логарифмически-нормальное распределение.
9. χ ² распределение.
10.Распределение Стьюдента (t — распределение).
11.Распределение Фишера-Снедекора.

1.Биномиальный закон распределения.

Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.

Биномиальный закон распределения

Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.

В таблице m — число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. Сn m — число сочетаний m телевизоров по n, p — вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q — вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n — вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.

2.Геометрическое распределение.

Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

Геометрическое распределения

P m — вероятность наступления события А в испытание под номером m.
р — вероятность наступления события А в одном испытании.
q = 1 — p

Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей.

Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 — что десятый блок оказался неисправным — 0,038742049 , 2 — что все проверяемые блоки оказались исправными — 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события P m (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.

3.Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

Гипергеометрическое распределение

Гипергеометрическое распределение

Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M — всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m — число правильно угаданных чисел среди изъятых.

Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.

4.Закон распределения Пуассона.

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:

Закон распределения Пуассона

λ = np = const
n — число испытаний, стремящиеся к бесконечности
p — вероятность наступления события, стремящаяся к нулю
m — число появлений события А

Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B — 0,06 и C — 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.

Из условия имеем: m=100, λ 1 =8, λ 2 =6, λ 3 =4 ( ≤10 )

Пример распределения Пуассона

(таблица дана не полностью)

Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)

Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.

5.Равномерный закон распределения.

Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения.

Равномерный закон распределения

6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

Плотность вероятности нормального закона распределения

где
а — математическое ожидание случайной величины
σ — среднее квадратическое отклонение

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный:

Плотность вероятности нормального закона распределения

При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины.

Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-∞,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле:

Функция нормального закона распределения

Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть — от а до х. (Рис.7)

7.Показательный закон распределения.

Закон распределения случайной величины Х называется показательным (или экспоненциальным), если плотность вероятности имеет вид:

Плотность вероятности показательного закона распределения

где λ — параметр обратно-пропорциональный математическому ожиданию.

График плотности вероятности с параметрами
λ = 2, λ = 4, λ =6 изображен на рис.8

Функция распределения случайной величины Х, которая имеет показательное распределение, имеет вид:

Функция показательного закона распределения

График функции изображен на рис.9

Если функцию распределения случайной величины выразить через плотность вероятности при х ≥ а, то она примет вид:

Функция показательного закона распределения, выраженная через плотность вероятности

8.Логарифмически-нормальное распределение.

Если логарифм непрерывной случайной величины изменяется по нормальному закону, то случайная величина имеет логарифмически-нормальное распределение. Функция логаривмически-нормального распределения имеет вид.

Из графика видно, что чем меньше σ и больше математическое ожидание а, тем кривая становится более пологая и больше стремится к симметрии. Данный закон, чаще всего, используется для описания распределения поступления денежных средств (доходов), банковских вкладов, износа основных средств и т.д. (Рис.10)

9. χ ² распределение

Сумма квадратов k независимых случайных величин, которые распределены по нормальному закону, называется χ ² распределением.

χ ² распределение имеет вид:

Распределение хи квадрат

А i — i-ая случайная величина, распределенная по нормальному закону (i = 1,2,3. k).

Плотность вероятности случайной величины, распределенной по распределению χ ² имеет вид:

Плотность вероятности распределения хи квадрат

Из графика видно, что чем больше n=k, тем кривая стремиться к нормальному распределению. Рис.11.

10.Распределение Стьюдента (t — распределение)

Распределение непрерывной случайной величины называется распределением Стьюдента, если оно имеет вид:

Функция распределения Стьюдента (t-распределение)

Z — случайная величина, распределенная по нормальному закону.
χ ² — случайная величина, имеющая χ ² — распределение с k степенями свободы.

Плотность вероятности распределения Стьюдента имеет вид:

Плотность вероятности распределения Стьюдента

На рис.12 изображена плотность вероятности распределения Стьюдента. Из графика можно увидеть, что чем больше k, тем больше кривая приближается к нормальному распределению.

11. Распределение Фишера-Снедекора.

Распределение случайной величины Фишера-Снедекора имеет вид:

Функция распределения Фишера-Снедекора

Плотность вероятности случайной величины имеет вид:

Плотность вероятности распределения Фишера-Снедекора

При стремлении n к бесконечности распределение Фишера-Снедекора стремится к нормальному закону распределения.(Рис.13)

Источник

Читайте также:  Миф ГЭРБ это грыжа пищеводного отверстия диафрагмы