Меню

Свойства определенного интеграла

Таблица интегралов

  • Основные формулы интегралов
  • Правила интегрирования функций
  • Интегралы элементарных функций
    • Первообразные рациональных функций
    • Логарифмы
    • Экспоненциальные функции
    • Иррациональные функции
    • Тригонометрические функции
    • Гиперболические функции
  • Специальные функции

Основные формулы интегралов

Интегрирование — это процесс нахождения интеграла, что является одной из основных операций математического анализа. При вычислении определенного интеграла определяется площадь криволинейной трапеции, которая ограничивается сверху кривой (графиком заданной функции), снизу осью х, справа и слева вертикальными прямыми, которые параллельны оси y в заданных точках.

Знания основных формул интегрирования помогут взять неопределенный и вычислить определенный интегралы. Решение задач, где используются интегралы всегда начинается с взятия неопределенного интеграла, поэтому в этом разделе представлены основные формулы неопределенных интегралов, где С — это произвольная константа интегрирования, то есть число, которое можно задать, если нам будет известны дополнительные условия, например, значения функции в конкретной точке.

Ниже представлена таблица основных интегралов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  1. \(\int0\times\operatorname dx=C\\ \)
  2. \(\int\operatorname dx=\int1\times\operatorname dx=x+C\;\\\)
  3. \(\int x^n\operatorname dx=\frac>+C\;,\;при\;n\neq-1,\;x>0\\\)
  4. \(dx=\ln\left|\left.x\right|\right.+C\\\)
  5. \(\int a^x\operatorname dx=\frac<\ln\left(a\right)>+C\\\)
  6. \(\int e^x\operatorname dx=e^x+C\\\)
  7. \(\int\sin\left(x\right)\operatorname dx=-\cos\left(x\right)+C\\\)
  8. \(\int\cos\left(x\right)\operatorname dx=\sin\left(x\right)+C\\\)
  9. \(\int\frac<\operatorname dx><\sin<>^2x>=-ctg\left(x\right)+C\\\) \(\int\frac<\operatorname dx><\cos<>^2x>=tg\left(x\right)+C\\\) \( \int\frac<\operatorname dx><\sqrt>=arc\sin\left(\frac xa\right)+C,\;\left|\left.x\right|\;
  10. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1aarctg\left(\frac xa\right)+C\\\) Также к основным формулам относятся два интеграла, которые имеют специальные названия №13 — «Высокий» логарифм, №14 — «Длинный» логарифм:
  11. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1<2a>\ln\left(\left|\left.\frac\right|\right.\right)+C,\;\left|\left.x\right|\neq a\right.\\\)
  12. \(\int\frac<\operatorname dx><\sqrt>=\ln\left(\left|\left.x+\sqrt\right|\right.\right)+C\\\)

Правила интегрирования функций

Для того чтобы взять интеграл, не всегда хватает знания таблицы основных формул, также необходимо знать свойства интегралов и правила интегрирования различных функций.

  1. \(\int c\;f(x)\operatorname dx=c\int\;f(x)\operatorname dx\;\) п о с т о я н н ы й м н о ж и т е л ь ( к о н с т а н т у ) м о ж н о в ы н е с т и з а з н а к и н т е г р а л а
  2. \(\int\lbrack\;f(x)+g(x)\rbrack\operatorname dx=\int\;f(x)\operatorname dx\;+\int\;g(x)\operatorname dx\) и н т е г р а л о т с у м м ы ф у н к ц и й р а в е н с у м м е и н т е г р а л о в э т и х ф у н к ц и й
  3. \(\int\lbrack\;f(x)-g(x)\rbrack\operatorname dx=\int\;f(x)\operatorname dx\;-\int\;g(x)\operatorname dx\) и н т е г р а л о т р а з н о с т и ф у н к ц и й р а в е н р а з н о с т и и н т е г р а л о в э т и х ф у н к ц и й
  4. \(\int\;u\operatorname dv\;=uv-\int v\operatorname du\) п р а в и л о и н т е г р и р о в а н и я п о ч а с т я м , г д е u = f ( x ) , v = g ( x )

Метод замены переменной помогает упростить сложные интегралы и свести их либо к более простым, либо к табличным значениям, которые можно сразу проинтегрировать и вычислить значения, если нам известны пределы интегрирования (для определенного интеграла). Он производится двумя способами: подведение функции под знак дифференциала и собственно замена переменной.

Интегралы элементарных функций

Первообразные рациональных функций

  1. \(\int x^n\operatorname dx=\frac>+C\;(n\neq-1)\)
  2. \(\int\frac<\operatorname dx>x=\ln\left(\left|\left.x\right|\right.\right)+C\)
  3. \(\int\frac=\frac1a\ln\left(\left|\left.ax+b\right|\right.\right)+C\)
  4. \(\int\frac\operatorname dx=\frac acx+\frac\ln\left(\left|\left.cx+d\right|\right.\right)+C\)
  5. \(\int\left(ax+b\right)^n\operatorname dx=\frac<\left(ax+b\right)^>+C,\;n\neq-1\;\)
  6. \(\int\frac<\operatorname dx><\left(x+a\right)\left(x+b\right)>=\frac1\ln\left(\left|\left.\frac\right|\right.\right)+C\)
  7. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1<2a>\ln\left(\left|\left.\frac\right|\right.\right)+C\)
  8. \(\int\frac<\left(x+a\right)\left(x+b\right)>=\frac1\left(a\ln\left|x+a\right|-b\ln\left|x+b\right|\right)+C\)
  9. \(\int\frac=\frac12\ln\left|x^2-a^2\right|+C\)
  10. \(\int\frac=\frac12\ln\left|x^2+a^2\right|+C\)
  11. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1aarctg\left(\frac xa\right)+C\)
  12. \(\int\frac<\left(x^2+a^2\right)^2>=-\frac12\frac1+C\)
  13. \(\int\frac<\left(x^2+a^2\right)^3>=-\frac14\frac1<\left(x^2+a^2\right)^2>+C\)
  14. \(\int\frac<\left(x^2+a^2\right)^2>=-\frac1<2a^2>\frac x+\frac1<2a^3>arctg\left(\frac xa\right)+C\)
  15. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1<\sqrt>\ln\left(\left|\frac<2ax+b-\sqrt><2ax+b+\sqrt>\right|\right)+C,\;при\;(b^2-4ac>0)\)
  16. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1<\sqrt<4ac-b^2>>arctg\left(\frac<2ax+b><\sqrt<4ac-b^2>>\right)+C,\;при\;(b^2-4ac
  17. \(\int\frac=\frac1<2a>\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac b<2a>\int\frac<\operatorname dx>\)
  18. \(\int\frac=\frac1\left(ax+b-b\ln\left|ax+b\right|\right)+C\)
  19. \(\int\frac=\frac1\left(\frac12\left(ax+b\right)^2-2b\left(ax+b\right)+b^2\ln\left(\left|ax+b\right|\right)\right)+C\)
  20. \(\int\frac<\left(ax+b\right)^2>=\frac1\left(ax+b-2b\ln\left(\left|ax+b\right|\right)-\frac\right)+C\)
  21. \(\int\frac<\left(ax+b\right)^2>=\frac1\left(\ln\left(\left|ax+b\right|\right)-\frac b\right)+C\)
  22. \(\int\frac<\operatorname dx>=-\frac1+\frac a\ln\left(\left|\fracx\right|\right)+C\)
  23. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1b\ln\left(\left|\fracx\right|\right)+C\)

Логарифмы

Основные интегралы с логарифмическими функциями, которые нужно знать:

  1. \(\int\ln\left(x\right)\operatorname dx=x\ln\left(x\right)-x+C\)
  2. \(\int\frac<\operatorname dx>=\ln\left|\ln x\right|+C\)
  3. \(\int\log_b\left(x\right)\operatorname dx=x\log_b\left(x\right)-x\log_b\left(e\right)+C=x\frac<\ln\left(x\right)-1><\ln\left(b\right)>+C\)

Также рассмотрим частные случаи интегрирования логарифмических функций, примером могут служить такие интегралы:

  1. \(\int\left(\ln\;x\right)^2\operatorname dx=x\left(\ln\;x\right)^2-2x\;ln\;x+2x+C\)
  2. \(\int\left(\ln\;сx\right)^n\operatorname dx=x\left(\ln\;cx\right)^n-n\int\left(\ln\;cx\right)^\operatorname dx+C\)
  3. \(\int\frac<\left(\ln\;x\right)^n\operatorname dx>=\frac<\left(\ln\;x\right)^>+C,\;при\;n\neq-1\)
  4. \(\int\sin\left(\ln\;x\right)\operatorname dx=\frac x2\left(\sin\left(\ln\;x\right)-\cos\left(\ln\;x\right)\right)+C\)
  5. \(\int\cos\left(\ln\;x\right)\operatorname dx=\frac x2\left(\sin\left(\ln\;x\right)+\cos\left(\ln\;x\right)\right)+C\)

Источник

ЕГЭ формулы, шпаргалки — Свойства определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла.

3. Если функция f( x) интегрируема на [ a , b ], то

4. Если функция f( x) интегрируема на [ a , b ], то и функция | f (x)| интегрируема на [ a , b ] и

5. Если функция f( x) интегрируема на [ a, b], то и функция kf (x) (k = const) интегрируема на [ a , b ] и

6. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на [ a , b ], то и функции f (x) + g(x) и f (x) ⋅ g (x) интегрируемы на [ a , b ] и

Первая теорема о среднем.

Если функции f( x) и g( x) интегрируемы на [ a, b], m — f( x) — M и если g( x) не меняет знак на [ a, b], то существует такое число µ∈ [ m, M], что

Вторая теорема о среднем.

Если функция f (x) непрерывна, а g (x) монотонна и непрерывно дифференцируема на [ a , b ], то существует такое число ξ ∈ [ a , b ], что

Формула Ньютона — Лейбница.

Если функция f (x) определена и непрерывна на [ a , b ] и F ′ (x) = f (x), то

Источник



Определение определённого интеграла и его свойства

Пусть функция у = ƒ(x) определена и непрерывна на отрезке [а, b]. Разобьём отрезок [а, b] на n частей точками а = х 0, не зависящий от способа разбиения отрезка [а, b] на части, ни от выбора точек ξi в них.

определенный интеграл формула

где х — переменная интегрирования, а и b — нижний и верхний пределы интегрирования.

Теорема существования определённого интеграла: Если функция у = ƒ(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на нем.

Свойства определенного интеграла

Аддитивность по области интегрирования

Свойство аддитивность по области интегрирования

Аддитивность по функции

Аддитивность по функции определенного интеграла

Однородность определенного интеграла

интегрирование неравенств определенного интеграла

Теорема «о среднем»

Теорема «о среднем» определенного интеграла

Перестановка пределов интегрирования

Перестановка пределов интегрирования

Производная от интеграла с переменным верхним пределом интегрирования

Источник

Свойства определенного интеграла

Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.

Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b .

Основные свойства определенного интеграла

Функция y = f ( x ) , определенная при х = а , аналогично справедливому равенству ∫ a a f ( x ) d x = 0 .

Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [ a ; a ] и любого выбора точек ζ i равняется нулю, потому как x i — x i — 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.

Для функции, интегрируемой на отрезке [ a ; b ] , выполняется условие ∫ a b f ( x ) d x = — ∫ b a f ( x ) d x .

Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х = b .

∫ a b f x ± g ( x ) d x = ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x применяется для интегрируемых функций типа y = f ( x ) и y = g ( x ) , определенных на отрезке [ a ; b ] .

Записать интегральную сумму функции y = f ( x ) ± g ( x ) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζ i : σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i — x i — 1 = = ∑ i = 1 n f ( ζ i ) · x i — x i — 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i — x i — 1 = σ f ± σ g

где σ f и σ g являются интегральными суммами функций y = f ( x ) и y = g ( x ) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n ( x i — x i — 1 ) → 0 получаем, что lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Из определения Римана это выражение является равносильным.

Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [ a ; b ] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида ∫ a b k · f ( x ) d x = k · ∫ a b f ( x ) d x .

Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · ( x i — x i — 1 ) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · ( x i — x i — 1 ) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ( k · σ f ) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f ( x ) d x = k · ∫ a b f ( x ) d x

Если функция вида y = f ( x ) интегрируема на интервале x с a ∈ x , b ∈ x , получаем, что ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x .

Свойство считается справедливым для c ∈ a ; b , для c ≤ a и c ≥ b . Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.

Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [ a ; b ] , тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка c ; d ∈ a ; b .

Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться, а верхняя не будет увеличиваться.

Когда функция интегрируема на [ a ; b ] из f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≤ 0 при любом значении x ∈ a ; b , тогда получаем, что ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 ∫ a b f ( x ) ≤ 0 .

Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек ζ i с условием, что f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≤ 0 , получаем неотрицательной.

Если функции y = f ( x ) и y = g ( x ) интегрируемы на отрезке [ a ; b ] , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:

∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b g ( x ) d x , е с л и f ( x ) ≤ g ( x ) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f ( x ) d x ≥ ∫ a b g ( x ) d x , е с л и f ( x ) ≥ g ( x ) ∀ x ∈ a ; b

Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.

При интегрируемой функции y = f ( x ) из отрезка [ a ; b ] имеем справедливое неравенство вида ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x .

Имеем, что — f ( x ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x ) . Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно и ему соответствует неравенство вида — ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x . Данное двойное неравенство может быть записано в другой форме: ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) d x .

Когда функции y = f ( x ) и y = g ( x ) интегрируются из отрезка [ a ; b ] при g ( x ) ≥ 0 при любом x ∈ a ; b , получаем неравенство вида m · ∫ a b g ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) · g ( x ) d x ≤ M · ∫ a b g ( x ) d x , где m = m i n x ∈ a ; b f ( x ) и M = m a x x ∈ a ; b f ( x ) .

Аналогичным образом производится доказательство. M и m считаются наибольшим и наименьшим значением функции y = f ( x ) , определенной из отрезка [ a ; b ] , тогда m ≤ f ( x ) ≤ M . Необходимо умножить двойное неравенство на функцию y = g ( x ) , что даст значение двойного неравенства вида m · g ( x ) ≤ f ( x ) · g ( x ) ≤ M · g ( x ) . Необходимо проинтегрировать его на отрезке [ a ; b ] , тогда получим доказываемое утверждение.

Следствие: При g ( x ) = 1 неравенство принимает вид m · b — a ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M · ( b — a ) .

Первая формула среднего значения

При y = f ( x ) интегрируемая на отрезке [ a ; b ] с m = m i n x ∈ a ; b f ( x ) и M = m a x x ∈ a ; b f ( x ) имеется число μ ∈ m ; M , которое подходит ∫ a b f ( x ) d x = μ · b — a .

Следствие: Когда функция y = f ( x ) непрерывная из отрезка [ a ; b ] , то имеется такое число c ∈ a ; b , которое удовлетворяет равенству ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) · b — a .

Первая формула среднего значения в обобщенной форме

Когда функции y = f ( x ) и y = g ( x ) являются интегрируемыми из отрезка [ a ; b ] с m = m i n x ∈ a ; b f ( x ) и M = m a x x ∈ a ; b f ( x ) , а g ( x ) > 0 при любом значении x ∈ a ; b . Отсюда имеем, что есть число μ ∈ m ; M , которое удовлетворяет равенству ∫ a b f ( x ) · g ( x ) d x = μ · ∫ a b g ( x ) d x .

Вторая формула среднего значения

Когда функция y = f ( x ) является интегрируемой из отрезка [ a ; b ] , а y = g ( x ) является монотонной, тогда имеется число, которое c ∈ a ; b , где получаем справедливое равенство вида ∫ a b f ( x ) · g ( x ) d x = g ( a ) · ∫ a c f ( x ) d x + g ( b ) · ∫ c b f ( x ) d x

Источник

Читайте также:  Электронная конфигурация атома марганца Mn