Меню

Таблиц интеграла вероятностей лапласа



Таблица значений функции Лапласа

Таблица значений функции Лапласа — это вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. При решении задач по теории вероятности, как правило, требуется найти значение функции Лапласа по известному значению аргумента или, наоборот, по известному значению функции Лапласа требуется найти значение аргумента. Для этого пользуются таблицей значений функции Лапласа. Таблица значений функции Лапласа незаменима при изучении теории вероятности, так как решать интеграл (функцию Лапласа) сложно, а запомнить таблицу значений функции Лапласа просто невозможно.

Функцию Лапласа и данную таблицу чаще всего изучают на втором курсе университета, при изучении математики и теории вероятности, если Вам в данной теме, что-то не понятно, то Вы всегда можете задать вопрос на нашем форуме, мы будем рады вам помочь. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей на здоровье.

Функция Лапласа

При разных значениях t; F(–t) = –F(t) (функция нормального распределения).

Таблица значений функции Лапласа

Таблица значений функции Лапласа не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Поможем выполнить
любую работу

Все еще сложно?

Наши эксперты помогут разобраться

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Bar

Bar

Bar

Bar

Bar

Bar

Bar

Bar

Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?

Источник

Таблица значений функции Лапласа

Функция Лапласа входит в интегральную формулу Муавра-Лапласа Pn(m1 5 Ф(X)=0,5

  • 80
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Опубликовано: 6-08-2012, 12:51, количество просмотров: 37 039

В какое время можно узнать стоимость и сроки выполнения студенческой работы?

Вы можете оформить заявку в любое время, круглосуточно. Мы работаем ежедневно, без перерывов и выходных.

После заполнения формы Вам на почту придет сообщение и в ближайшее время с Вами свяжется менеджер.

Если Вы не получите сообщение, проверьте папку «Спам», а также правильность указания своего email.

Гарантируете ли вы безопасность заказа студенческой работы?

На все виды работ мы даем гарантии. Мы серьезно относимся к своим обязательствам.

В случае ненадлежащего выполнения Ваших требований, эксперт внесет бесплатные исправления.

При существенных нарушениях, что маловероятно, мы вернем Вам оплату.

Можно ли к вам обратиться за срочной консультацией?

Да, мы выполняем срочные задания, за редким исключением.

Если реально выполнить срочный заказ, мы это сделаем.

Но Вы должны понимать, что чудес не бывает, старайтесь не затягивать время.

Могу ли я контролировать ход выполнения заказа студенческой работы?

Вы можете запрашивать у своего менеджера любую необходимую Вам информацию.

В процессе работы Вы можете вносить небольшие уточнения.

До внесения предоплаты можно вносить существенные уточнения.

Осуществляете ли Вы контроль качества выполненных студенческих работ?

Все выполненные экспертами работы проверяются на соответствие требованиям заказчика.

При выявлении недостатков, заказ отправляется на доработку.

Только после тщательной проверки Вы получите сообщение о готовности работы.

Читайте также:  4 Использование формул массива вместе с ВПР

Источник

Таблиц интеграла вероятностей лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0

Значения функции находятся в таблице для функции ф (х).

Важно помнить, что функция ф (х) четная

=> ф (-х) = ф (х).

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0

Для нахождения значений используют таблицу функции Лапласа для х:

0 , если же х>5, то автоматически Ф(х) = 0,5.

Функции Лапласа нечетная, т.е. Ф (-х) = — Ф(х).

Задача 1. Найдите вероятность того, что число зачисленных абитуриентов в институт психологии равно 86 из 250, подавших заявления. если вероятность зачисления для каждого абитуриента равна 0,35.

Решение

По условию задачи: р = 0.35; q = 0,65; n = 250;k = 86. В связи с тем, что n = 250 достаточно большое число, то целесообразней воспользоваться локальной теоремой Лапласа:

По таблице № 1 значений функции Лапласа найдем значение при х = 0,2, т.е. ф (х) = 0,391.

Тогда вероятность зачисления 86 абитуриентов в институт психологии равна

Ответ: 0,052.

Задача 2. Известно, что вероятность появления в семье мальчика равна 40 %. Сколько семей необходимо опросить, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в этих семьях родились мальчики, если всего в опросе участвовало 150 детей?

Решение

По условию задачи: n = 150; р = 0,4; q = 0,6.

Тогда, пусть было опрошено а– семей. Чтобы найти неизвестное а, при условии, что n p q > 10, воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

В результате, получаем неравенство:

Из таблицы № 2 для функции Лапласа получаем соответствующие значения, при Ф(х) > 0,25, то х > 0,67. Тогда неравенство принимает вид:

Следовательно, необходимо будет опросить 62 семьи, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в каждой из них ребенок – мальчик.

Ответ: 62.

Задача 3. Вероятность встретить на улице в солнечный день человека с зонтом равна 0,01. Чему равна вероятность того, что из 1 000 встречных мимо вас пройдет не более 4 человек с зонтами.

Решение

Так как события А; А1234 несовместны, то соответственно вероятность события. А есть:

Ответ: 0,777.

Пользоваться таблицей несложно: вначале смотрим на столбец, а потом на строку, например, Ф(0,22) = 0,3894; Ф(2,99) = 0,0046.

Таблица значений локальной функции Лапласа (таб. № 1)

Таблица значений интегральной функции Лапласа (таб. № 2)

Источник

ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА. ЕЕ СВОЙСТВА

2.1. Функция (интеграл вероятностей) Лапласаимеет вид:

График функции Лапласа приведен на рис.5.

Функция Ф(х) табулирована (см. табл. 1 приложений). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Лапласа:

1) Функция Ф(х) нечетная: Ф(-х)= —Ф(х).

2) Функция Ф(х) монотонно возрастающая.

4) Ф()=0,5; Ф()=-0,5. На практике можно считать, что при х³5 функция Ф(х)=0,5; при х£-5 функция Ф(х)=-0,5.

Читайте также:  Гетьманщина и гетьманы в Украине

2.2.Существует другие формы функции Лапласа:

В отличие от этих форм функция Ф(х) называется стандартной или нормированной функцией Лапласа. Она связана с другими формами соотношениями:

ПРИМЕР 2.Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами: m=3, s=4. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х: а) примет значение, заключенное в интервале (2; 6); б) примет значение, меньше 2; в) примет значение, больше 10; г) отклонится от математического ожидания на величину, не превышающую 2. Проиллюстрировать решение задачи графически.

Решение.а) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х попадет в заданный интервал (a,b), где a=2 и b=6, равна:

Значения функции Лапласа Ф(х) определяют по таблице, приведенной в приложении, учитывая, что Ф(–х)= –Ф(х).

б) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение меньше 2, равна:

в) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение больше 10, равна:

г) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=2, равна:

С геометрической точки зрения, вычисленные вероятности численно равны заштрихованным площадям под нормальной кривой (см. рис.6).

Рис. 6. Нормальная кривая для случайной величины Х

N(3;4)
ПРИМЕР 3.
Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм.

Решение.Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю m=0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=15, равна:

ПРИМЕР 4. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди 100 изготовленных.

Решение.Случайная величина Х — отклонение диаметра шарика от проектного размера. Математическое ожидание отклонения равно нулю, т.е. М(Х)=m=0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=0,7, равна:

Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

ПРИМЕР 5.Доказать правило «3s».

Решение.Вероятность того, что нормальная случайная величина Х отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=3s, равна:

ПРИМЕР 6.Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием m=10. Вероятность попадания Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0, 10)?

Читайте также:  Естественный отбор и его формы таблица движущий стабилизирующий

Решение.Нормальная кривая симметрична относительно прямой х=m=10, поэтому площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу интервалами (0, 10) и (10, 20), равны между собой. Так как площади численно равны вероятностям попадания Х в соответствующий интервал, то:

Источник

23. Функция Лапласа

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Тогда

Т. к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

,

Которая называется Функцией Лапласа Или Интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях Х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Ниже показан график функции Лапласа.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

2) Ф(-Х) = — Ф(Х);

Функцию Лапласа также называют Функцией ошибок и обозначают erf X.

Еще используется Нормированная Функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как Правило трех сигм.

Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины D:

Если принять D = 3s, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

Т. е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.

Это правило называется Правилом трех сигм.

Не практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание А = 65 т и средним квадратичным отклонением s = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100×65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т.

Т. к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально.

Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – А =2 – Математическое ожидание и s = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

Плотность распределения имеет вид:

Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3).

Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2.

Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

Источник