Меню

Таблица интегралов для студентов пример



Таблица интегралов

Содержание:

Путь к развитию интеграла — разветвленный, где подобные открытия были сделаны одновременно разными людьми. История техники, которая в настоящее время известна как интеграция, началась с попыток найти область под кривыми.

Основания для открытия интеграла впервые были заложены Кавальери, итальянским математиком, примерно в 1635. Кавальери работы «s вокруг наблюдения, что кривая может рассматриваться как набросал движущейся точки и область, чтобы быть набросанный движущаяся линия.

Все школьники и студенты имеют проблемы с интеграцией. Мой сайт имеет собственные таблицы интегралов. В таблицах интегралов я стремилась собрать наиболее полную коллекцию выражений, чтобы помочь решить интегралы.

Интеграция является основной операцией в интегральном исчислении. В то время как у дифференцирования есть простые правила, по которым производная сложной функции может быть найдена путем дифференцирования ее более простых компонентных функций, интеграция — нет, поэтому таблицы известных интегралов часто полезны.
  1. Основные интегралы (14 шт)
  2. Интегралы от рациональных функций (23 шт)
  3. Интегралы от трансцендентных функций (15 шт)
  4. Интегралы от иррациональных функций (27 шт)
  5. Интегралы от тригонометрических функций (31 шт)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Таблица основных интегралов

Ниже приведены простейшие интегралы, знание которых необходимо для интегрирования более сложных выражений:

Таблица интегралов Таблица интегралов
Таблица интегралов Таблица интегралов
Таблица интегралов Таблица интегралов
Таблица интегралов Таблица интегралов
Таблица интегралов Таблица интегралов
Таблица интегралов Таблица интегралов
Таблица интегралов Таблица интегралов

Интегралы (первообразные) от рациональных функций

Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов

Интегралы (первообразные) от трансцендентных функций

Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов

Интегралы (первообразные) от иррациональных функций

Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов

Интегралы (первообразные) от тригонометрических функций

Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов
Таблица интегралов

Составление списка интегралов (Integraltafeln) и методов интегрального исчисления было опубликовано немецким математиком Мейером Хиршем [ de ] (он же Meyer Hirsch [ de ] )) в 1810 году. Эти таблицы были переизданы в Соединенном Королевстве в 1823 году. Более обширные Таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком Дэвидом Беренсом де Хааном для его таблиц определений , дополненных Дополнением к дополнительным таблицам определений в ок. 1864. Новое издание было опубликовано в 1867 году под названием Nouvelles tables d’intégrales définies.,

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Эти таблицы, которые содержат в основном интегралы элементарных функций, оставались в использовании до середины 20-го века. Затем их заменили гораздо более обширные таблицы Градштейна и Рыжика . В Градштейне и Рыжике интегралы, взятые из книги Биенса де Хаана.

Не все выражения в замкнутой форме имеют антипроизводные в замкнутой форме; это исследование формирует предмет дифференциальной теории Галуа, которая была первоначально разработана Джозефом Лиувиллем в 1830-х и 1840-х годах, что привело к теореме Лиувилля, которая классифицирует, какие выражения имеют замкнутые формы против производных.

С 1968 года существует алгоритм Риша для определения неопределенных интегралов, которые можно выразить через элементарные функции , обычно с использованием системы компьютерной алгебры . Интегралы, которые нельзя выразить с помощью элементарных функций, можно символически манипулировать с помощью общих функций, таких как G-функция Мейера.

Таблица интегралов

Таблица интегралов

Присылайте задания в любое время дня и ночи в whatsapp.

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназачен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник

Таблица производных и первообразных.

Производная Функция Первообразная
f ‘(x) f(x) F(x)
1. C Cx
2. 1 x x 2 _ 2
3. n x n−1 x n x n+1 ____ n+1 , n ≠ −1
4. 1 ___ 2 √x _ x __ *
5. − 1 __ x 2 1 _ x ln x
6. e x e x e x
7. a x ln a a x a x __ ln a
8. 1 _ x ln x *
9. 1 ____ x ln a logax *
10. cos x sin x − cos x
11. − sin x cos x sin x
12. 1 _____ cos 2 x tg x *
13. * 1 _____ cos 2 x tg x
14. − 1 _____ sin 2 x ctg x *
15. * 1 _____ sin 2 x − ctg x
16. 1 _____ √1−x 2 ____ arcsin x *
17. * 1 _____ √1−x 2 ____ arcsin x
18. − 1 _____ √1−x 2 ____ arccos x *
19. 1 _____ 1 + x 2 arctg x *
20. * 1 _____ 1 + x 2 arctg x
21. − 1 _____ 1 + x 2 arcctg x *
Производная Функция Первообразная
\[f'(x)\] \[f(x)\] \[F(x)\]
1. C \[Cx\]
2. 1 \[x\] \[\frac<2>\]
3. \[nx^\] \[x^n\] \[\frac>,\] \(\small\)
4. \[\frac<1><2\sqrt>\] \[\sqrt\] *
5. \[-\frac<1>\] \[\frac<1>\] \[\ln\]
6. \[e^x\] \[e^x\] \[e^x\]
7. \[a^x\ln\] \[a^x\] \[\frac<\ln>\]
8. \[\frac<1>\] \[\ln\] *
9. \[\frac<1>\] \[\log_a\] *
10. \[\cos\] \[\sin\] \[-\cos\]
11. \[-\sin\] \[\cos\] \[\sin\]
12. \[\frac<1><\cos^2>\] \[\mathrmx\] *
13. * \[\frac<1><\cos^2>\] \[\mathrmx\]
14. \[-\frac<1><\sin^2>\] \[\mathrmx\] *
15. * \[\frac<1><\sin^2>\] \[-\mathrmx\]
16. \[\frac<1><\sqrt<1-x^2>>\] \[\arcsin\] *
17. * \[\frac<1><\sqrt<1-x^2>>\] \[\arcsin\]
18. \[-\frac<1><\sqrt<1-x^2>>\] \[\arccos\] *
19. \[\frac<1><1 + x^2>\] \[\mathrmx\] *
20. * \[\frac<1><1 + x^2>\] \[\mathrmx\]
21. \[-\frac<1><1 + x^2>\] \[\mathrmx\] *

таблица производных-первообразных рисунком

Полагаю, что посетитель этой страницы уже не единожды обращался и, скорее всего, пытался выучить наизусть таблицы производных и первообразных основных элементарных функций. Вместо таблицы первообразных Вы могли учить простейшие табличные интегралы, что, фактически, одно и то же. На мой взгляд, для вычисления неопределенных интегралов эффективнее пользоваться совмещенной таблицей, заодно это позволит быстрее её запомнить.

В таблице нет столбика для табличных интегралов по понятным причинам: неопределенный интеграл — совокупность первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину. Этот столбик отличался бы от предыдущего только добавлением к первообразной одного слагаемого — произвольной постоянной «+ С«. При этом функцию следовало бы поместить под знак интеграла. Всё это несущественно для запоминания формул.

Звёздочки в некоторых ячейках таблицы не означают, что у этой функции нет производной или первообразной. (Хотя такое случается, но не с приведенными элементарными функциями.) Здесь звёздочки заменяют производные и первообразные, которые выражаются композицией функций, а потому не подлежат запоминанию. Напротив, на экзамене вас могут попросить вычислить их, пользуясь, соответственно, правилами дифференцирования или методами интегрирования функций. Примеры вычисления некоторых из них представлены ниже таблицы. Остальные используются для упражнений в разделе о вычислении интегралов.

таблица производных-первообразныхЕсли потребуется распечатать таблицу для использования, то лучше скачать её в формате рисунка. Тогда Вы сможете разместить его на листе формата А4 желаемым способом.

Пример вычисления отсутствующей производной в строке 13.

а) По правилу дифференцирования дроби

б) С использованием свойств степеней

Как показывает практика, большинство студентов предпочитает первый способ, но при этом чаще ошибается в вычислениях. Я рекомендую освоить второй подход, однако производная это тема другой статьи.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 4.

При вычислении использовались непосредственное интегрирование, свойства степенной функции и формулы для её первообразной (строка 3 таблицы).

Итак, одной из первообразных квадратного корня является функция 2xx _ ____ 3 , её можно поместить в таблицу вместо звёздочки в этой строке.

Вообще говоря, все пять верхних строк таблицы относятся к степенным функциям, поэтому их можно было бы заменить одним правилом:

— при дифференцировании степенной функции показатель степени сначала выносится коэффициентом перед ней, затем уменьшается на единицу;
— при интегрировании степенной функции показатель степени сначала увеличивается на единицу, затем сносится в знаменатель дроби.

Последнее верно для любых целых, дробных и отрицательных степеней, кроме n = −1, иначе в знаменатель пришлось бы помещать 0.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 8.

int(ln x) = x(ln x - 1) + C

При вычислении использовался метод интегрирования по частям.

В качестве первообразной натурального логарифма в таблицу можно поместить функцию x(ln x − 1).

Почему arccos x отсутствует в столбце первообразных?

Если производная функции arccosx это функция , то по определению первообразная функции это функция arccosx , которая по праву может занять своё место в таблице.
Но с таким же успехом мы можем считать, что это производная функции arcsinx , умноженная на −1, и тогда её первообразной следует считать функцию −arcsinx ?

Действительно, так как arcсosx и −arcsinx отличаются только на константу, то они относятся к одному и тому же неопределенному интегралу, а значит как первообразные взаимозаменяемы. Не имеет смысла учить две формулы, когда достаточно запомнить одну, если вы понимаете смысл происходящего.

arcsinx + arcсosx = π _ 2 ,

так как по сути это два острых угла одного и того же прямоугольного треугольника.
То же самое относится к функции arcctgx.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Источник

Таблица интегралов для студентов пример

Производная Функция Первообразная
f ‘(x) f(x) F(x)
1. C Cx
2. 1 x x 2 _ 2
3. n x n−1 x n x n+1 ____ n+1 , n ≠ −1
4. 1 ___ 2 √x _ x __ *
5. − 1 __ x 2 1 _ x ln x
6. e x e x e x
7. a x ln a a x a x __ ln a
8. 1 _ x ln x *
9. 1 ____ x ln a logax *
10. cos x sin x − cos x
11. − sin x cos x sin x
12. 1 _____ cos 2 x tg x *
13. * 1 _____ cos 2 x tg x
14. − 1 _____ sin 2 x ctg x *
15. * 1 _____ sin 2 x − ctg x
16. 1 _____ √1−x 2 ____ arcsin x *
17. * 1 _____ √1−x 2 ____ arcsin x
18. − 1 _____ √1−x 2 ____ arccos x *
19. 1 _____ 1 + x 2 arctg x *
20. * 1 _____ 1 + x 2 arctg x
21. − 1 _____ 1 + x 2 arcctg x *
Производная Функция Первообразная
\[f'(x)\] \[f(x)\] \[F(x)\]
1. C \[Cx\]
2. 1 \[x\] \[\frac<2>\]
3. \[nx^\] \[x^n\] \[\frac>,\] \(\small\)
4. \[\frac<1><2\sqrt>\] \[\sqrt\] *
5. \[-\frac<1>\] \[\frac<1>\] \[\ln\]
6. \[e^x\] \[e^x\] \[e^x\]
7. \[a^x\ln\] \[a^x\] \[\frac<\ln>\]
8. \[\frac<1>\] \[\ln\] *
9. \[\frac<1>\] \[\log_a\] *
10. \[\cos\] \[\sin\] \[-\cos\]
11. \[-\sin\] \[\cos\] \[\sin\]
12. \[\frac<1><\cos^2>\] \[\mathrmx\] *
13. * \[\frac<1><\cos^2>\] \[\mathrmx\]
14. \[-\frac<1><\sin^2>\] \[\mathrmx\] *
15. * \[\frac<1><\sin^2>\] \[-\mathrmx\]
16. \[\frac<1><\sqrt<1-x^2>>\] \[\arcsin\] *
17. * \[\frac<1><\sqrt<1-x^2>>\] \[\arcsin\]
18. \[-\frac<1><\sqrt<1-x^2>>\] \[\arccos\] *
19. \[\frac<1><1 + x^2>\] \[\mathrmx\] *
20. * \[\frac<1><1 + x^2>\] \[\mathrmx\]
21. \[-\frac<1><1 + x^2>\] \[\mathrmx\] *

таблица производных-первообразных рисунком

Полагаю, что посетитель этой страницы уже не единожды обращался и, скорее всего, пытался выучить наизусть таблицы производных и первообразных основных элементарных функций. Вместо таблицы первообразных Вы могли учить простейшие табличные интегралы, что, фактически, одно и то же. На мой взгляд, для вычисления неопределенных интегралов эффективнее пользоваться совмещенной таблицей, заодно это позволит быстрее её запомнить.

В таблице нет столбика для табличных интегралов по понятным причинам: неопределенный интеграл — совокупность первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину. Этот столбик отличался бы от предыдущего только добавлением к первообразной одного слагаемого — произвольной постоянной «+ С«. При этом функцию следовало бы поместить под знак интеграла. Всё это несущественно для запоминания формул.

Звёздочки в некоторых ячейках таблицы не означают, что у этой функции нет производной или первообразной. (Хотя такое случается, но не с приведенными элементарными функциями.) Здесь звёздочки заменяют производные и первообразные, которые выражаются композицией функций, а потому не подлежат запоминанию. Напротив, на экзамене вас могут попросить вычислить их, пользуясь, соответственно, правилами дифференцирования или методами интегрирования функций. Примеры вычисления некоторых из них представлены ниже таблицы. Остальные используются для упражнений в разделе о вычислении интегралов.

таблица производных-первообразныхЕсли потребуется распечатать таблицу для использования, то лучше скачать её в формате рисунка. Тогда Вы сможете разместить его на листе формата А4 желаемым способом.

Пример вычисления отсутствующей производной в строке 13.

а) По правилу дифференцирования дроби

б) С использованием свойств степеней

Как показывает практика, большинство студентов предпочитает первый способ, но при этом чаще ошибается в вычислениях. Я рекомендую освоить второй подход, однако производная это тема другой статьи.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 4.

При вычислении использовались непосредственное интегрирование, свойства степенной функции и формулы для её первообразной (строка 3 таблицы).

Итак, одной из первообразных квадратного корня является функция 2xx _ ____ 3 , её можно поместить в таблицу вместо звёздочки в этой строке.

Вообще говоря, все пять верхних строк таблицы относятся к степенным функциям, поэтому их можно было бы заменить одним правилом:

— при дифференцировании степенной функции показатель степени сначала выносится коэффициентом перед ней, затем уменьшается на единицу;
— при интегрировании степенной функции показатель степени сначала увеличивается на единицу, затем сносится в знаменатель дроби.

Последнее верно для любых целых, дробных и отрицательных степеней, кроме n = −1, иначе в знаменатель пришлось бы помещать 0.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 8.

int(ln x) = x(ln x - 1) + C

При вычислении использовался метод интегрирования по частям.

В качестве первообразной натурального логарифма в таблицу можно поместить функцию x(ln x − 1).

Почему arccos x отсутствует в столбце первообразных?

Если производная функции arccosx это функция , то по определению первообразная функции это функция arccosx , которая по праву может занять своё место в таблице.
Но с таким же успехом мы можем считать, что это производная функции arcsinx , умноженная на −1, и тогда её первообразной следует считать функцию −arcsinx ?

Действительно, так как arcсosx и −arcsinx отличаются только на константу, то они относятся к одному и тому же неопределенному интегралу, а значит как первообразные взаимозаменяемы. Не имеет смысла учить две формулы, когда достаточно запомнить одну, если вы понимаете смысл происходящего.

arcsinx + arcсosx = π _ 2 ,

так как по сути это два острых угла одного и того же прямоугольного треугольника.
То же самое относится к функции arcctgx.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Источник

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

математика для чайников интегралы

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

найти интегралы для чайников

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Первообразные элементарных функций

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Определенный интеграл - площадь фигуры

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

как решать определенный интеграл для чайников

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

интегралы начало

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

как решать интегралы для чайников

Свойства определенного интеграла

интегралы для чайников подробно

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

интегралы для чайников подробно

  • При любых точках a, b и с:

высшая математика для чайников интегралы

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Формула Ньютона-Лейбница

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Примеры

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

  • Контрольная работа от 1 дня / от 100 р. Узнать стоимость
  • Дипломная работа от 7 дней / от 7950 р. Узнать стоимость
  • Курсовая работа 5 дней / от 1800 р. Узнать стоимость
  • Реферат от 1 дня / от 700 р. Узнать стоимость

Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Читайте также:  Урок на тему Описание характеристики Китай