Таблица интегралов высокий интеграл

Как использовать таблицу интегралов?

Не просите маня в х найти какой-нибудь интеграл. Я не умею находить интегралы, я могу только над ними по прикалываться. Прежде, чем здесь появится таблица неопределенных интегралов, нужно представить определение неопределенного интеграла.

Прямо каламбур получился. Неопределенным интеграл называется так не потому, что определение для него никто не придумал, а потому, что с ним нельзя точно определиться. Математики меня заклюют за такое разъяснение.

Таблица интегралов

Неопределенный интеграл и его свойства

Как видите, неопределенный интеграл представляет из себя совокупность первообразных для заданной функции. Дальше идет таблица основных неопределенных интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

Если вы любите по вечерам вместо семечек щелкать неопределенные интегралы, тогда большая таблица интегралов для вас. Если вы где-то учитесь, настоятельно рекомендую пользоваться большой таблицей интегралов в качестве ответов, которые обычно размещают в конце учебника. Помните, что вы не в детском садике и задачку без действий вам никто не задаст. Даже в задаче на одно действие между условием и ответом записывают это действие.

Вот большая таблица неопределенных интегралов. Эта таблица интегралов содержит 147 представителей этой математической фауны. Я подозреваю, что коллекция эта далеко не полная, но некоторые самые популярные виды интегралов в ней присутствуют.

Нажимаете на ссылку — откроется картинка, по виду очень похожая на размотанный рулон туалетной бумаги. Наводите курсор на эту ленту, курсор превращается в лупу со знаком «плюс», жмете. Теперь вы в царстве интегралов.

Сохранить память о столь увлекательном путешествии можно при помощи правой кнопки мыши и строчки меню «Сохранить изображение как…». Всё, Третьяковская галерея интегралов переселилась в ваш компьютер.

Это для тех, кто не любит читать всё то, что я пишу. Таблица интегралов разбита на 12 групп, все их мы рассмотрим более подробно на отдельных страницах.

Как найти неопределенный интеграл? Очень просто. Тупо берете формулу, тупо подставляете в пример. Лично я так делал. Иногда можно чего-то там перегруппировать, упростить, вынести за знак интеграла…

Название самого лучшего в мире искателя интегралов я не претендовал, о чем нисколько не жалею. Вообще, живых интегралов я за свою жизнь так и не встретил. Все они для меня вымерли, как динозавры, сразу же после окончания учебы. Да, я ещё кое-что о них помню. Только и всего.

Очень интересен каламбур, написанный буковками под таблицей основных неопределенных интегралов. На первый взгляд получается, что первообразная на первообразной сидит и первообразной погоняет. Ясно, что записанное выражение и дураку понятно.

Но бывают ещё и особо одаренные представители рода человеческого, типа меня. У меня просто мозги отключаются, когда я вижу или читаю подобные фразы. Наверное, инстинкт самосохранения срабатывает — мозг боится собственного вывиха.

Долго вспоминал, где у меня лево, где право. Через пару дней напряженной умственной работы, я пришел к выводу, что в левой части описывается ситуация, когда мы точно знаем, от какой первообразной функции мы получили производную.

В правой части мы пытаемся угадать, какой первообразной функции принадлежит производная. На динозаврах это гораздо понятнее. Если у нас есть живой динозавр, то мы точно знаем, как он выглядит, и точно можем сказать, как через десятки миллионов лет будут выглядеть его останки.

Но вот когда мы сегодня находим останки динозавров, мы не можем точно сказать, как они выглядели — окраску, голос, запах по останкам определить не возможно. Знак равенства стоит на том основании, что из всех возможных вариантов один точно правильный.

В отличии от динозавров, математические функции математики представляют в абстрактном виде, вне времени — одновременно и настоящее, и будущее, и прошлое. Теперь эта же мысль, но языком математических формул. Используем определение и свойства неопределенных интегралов. Возьмем первообразную функцию с константой и посмотрим, что происходит.

Первообразная функция

Здесь на первое место выступает порядок выполнения математических действий. Если мы сперва дифференцируем первообразную функцию, то константа теряется. После интегрирования её нужно восстанавливать для сохранения равенства.

Если применить свойства неопределенного интеграла и взаимно сократить интегрирование и дифференцирование, то первообразная останется в своем первоначальном виде, с константой. Здесь получается фокус с тузом в рукаве.

В определении неопределенного интеграла константа является частью первообразной функции F(x) и отдельно не выделяется — туз спрятан в рукаве. После интегрирования мы добавляем константу, потерявшуюся при дифференцировании — туз достаем из рукава на всеобщее обозрение.

В этом случае главным является не сам фокус, а факт присутствия туза у фокусника как до, так и после демонстрации трюка. Что такое константа? Это число. Геометрически при помощи изменения константы можно сместить график функции F(x) вдоль оси игреков вниз или вверх.

В определении неопределенного интеграла указано, что совокупность всех этих первообразных и представляет из себя этот злополучный интеграл. Но это только одна сторона медали. В определении не указывается, что вся совокупность первообразных рассматривается в одной, кем-то когда-то выбранной, системе координат.

А если мы выберем одну первообразную, тогда изменение константы будет смещать систему координат. С точки зрения выбранной первообразной, неопределенный интеграл — это совокупность всех систем координат, в которых может рассматриваться данная первообразная функция.

Чудеса относительности. Если мы сидим попой на поверхности Земли, то мы видим, как Солнце бегает по небу. Если мы сидим попой на Солнце (не бойтесь поджариться, ведь математика — абстрактная наука и позволяет сидеть на чем угодно), то мы видим, как Земля вращается вокруг собственной оси.

Всё зависит от выбранной нами точки зрения, что в математике соответствует выбору системы координат. С учетом относительности влияния константы на сладкую парочку «функция — система координат», первое предложение в определении неопределенного интеграла можно записать так:

Неопределенный интеграл для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции или совокупность всех систем координат данной первообразной функции.

Не знаю, как посмотрят на такое развитие сюжета математики, но получилось слишком заумно. Всё это дело можно упростить, если отказаться от пыток восстановить константу в первообразной функции. Ещё раз проконтролируем свои действия.

Если у нас есть первообразная функция с константой или без, мы можем точно сказать, как выглядит её производная. Если у нас есть производная, мы не можем точно сказать, от какой именно первообразной она получена.

Всё дело заключается в том, что при взятии производной происходит изменение системы координат. Если мы рассматриваем производную f(x) в измененной системе координат, то восстановить первоначальную систему координат первообразной функции F(x) невозможно.

Нельзя воскресить мертвое. Вместо математической точности у нас получается гадание на кофейной гуще. И это гадание выражается в прибавлении константы к скелету первообразной функции. Задачу эту можно решить на уровне задних парт третьего класса.

Почему задних парт? Они находятся дальше всех от испепеляющего светоча знаний, льющегося с классной доски. Почему третьего класса? У них ещё не выработан благоговейный трепет перед учебниками. Просто начинаем фантазировать. Придумываем какое-нибудь новое определение и при помощи него разруливаем ситуацию.

Функция в собственной системе координат Fo(x) — это функция, у которой константа приравнивается к нулю. Так сказать, функция в собственном соку. Классическим примером функций в собственной системе координат можно считать тригонометрические функции. При изучении они рассматриваются без константы.

Поскольку определение неопределенного интеграла уже написано и правила хорошего тона настоятельно не рекомендуют его рихтовать, придумаем еще одно определение какой-нибудь промежуточной фигни. Пусть эта фигня будет называться «определенная первообразная«. Теперь берем определение неопределенного интеграла и на его основе пишем свое определение определенной первообразной.

Определенная первообразная для функции f(x) — это первообразная данной функции в собственной системе координат Fo(x). Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(x) — её первообразная, то есть F'(x)=f(x) при a меньше x меньше b

Определенная первообразная

От определенной первообразной можно двигаться налево к неопределенному интегралу путем добавления константы или направо к определенному интегралу путем обозначения пределов интегрирования. Выглядит это приблизительно так.

Свойства определенной первообразной

В геометрическом смысле определенная первообразная является формулой для вычисления площади фигуры, ограниченной осями координат, графиком функции f(x) и прямой х=х. В последнем равенстве с левой стороны находится просто буква икс, обозначающая переменную, с правой стороны — её численное значение.

Дальше ещё несколько слов о константе в неопределенном интеграле. При дифференцировании функции константа превращается в ноль. В математике существует первая, вторая, третья и так далее, производные. Можно предположить, что столько же существует и неопределенных интегралов. Берем результат интегрирования и снова интегрируем. Вот что может получиться…

Ветхий Завет от Матана.

Вначале ничего не было. Потом было слово. Точнее, два слова — Неопределенный Интеграл. И создал Неопределенный Интеграл константу. А потом Он создал переменную. И стала переменная плюс константа. А потом Неопределенный Интеграл создал…

Первообразная константы

Вот так и появился этот мир, в котором мы живем. Аминь. Пардон, плюс константа. Если вас не устраивает такая история сотворения мира, эти же формулы можно трактовать как историю Большого Взрыва. Ведь ученые уверяют, что началось всё с точки, то есть с нуля.

Сергей Манулов, давний друг этого сайта, предлагал мне опубликовать в одной таблице интегралы рядом с производными. Так действительно будет нагляднее и понятней. Но здесь есть два момента. Во-первых, таблица получится такой широкой, что в этот сайт явно не влезет.

Во-вторых, насколько я помню, таблица производных несколько меньше, чем таблица интегралов. Ну не любят математики играть в производные.

Кого интересует исследование всяких каракуль, пусть даже и обличенных в математические формулы? А вот игры в интегралы среди математиков очень даже популярны. По своей популярности они могут уступать разве что играм в комплексные числа.

Наверное, так получается потому, что при помощи определенных интегралов можно находить площади криволинейных трапеций или что-то там ещё. Математики играют в свои любимые игрушки и вроде как полезным делом заняты.

Что нужно помнить о неопределенных интегралах? Как молитва заканчивается словом «Аминь», так любой неопределенный интеграл заканчивается словами «плюс константа».

Источник

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Контрольная работа от 1 дня / от 100 р. Узнать стоимость
Дипломная работа от 7 дней / от 7950 р. Узнать стоимость
Курсовая работа 5 дней / от 1800 р. Узнать стоимость
Реферат от 1 дня / от 700 р. Узнать стоимость

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Таблица интегралов высокий интеграл

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Простой пример:

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

Константу можно выносить из-под знака интеграла:

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры решения интегралов

Контрольная работа от 1 дня / от 100 р. Узнать стоимость
Дипломная работа от 7 дней / от 7950 р. Узнать стоимость
Курсовая работа 5 дней / от 1800 р. Узнать стоимость
Реферат от 1 дня / от 700 р. Узнать стоимость

Источник

Таблица интегралов и табличное интегрирование

Метод табличного (непосредственного) интегрирования заключается в том, что с помощью эквивалентных преобразований подынтегральной функции и на основании свойств неопределённого интеграла заданные интегралы преобразуются в табличные.

Пример №1

Найти неопределённый интеграл

При интегрировании были использованы свойства №3, 4, 5 неопределённого интеграла и табличные интегралы №1,2, 5.

Значения интегралов от основных элементарных функций получены на основе формул дифференцирования.

Таблица 3 — Таблица интегралов

Из свойств дифференциала вытекает, что и , где и — постоянные величины. Поэтому из свойства №6 неопределенного интеграла следуют формулы, полезные при нахождении неопределенных интегралов: если , то