Меню

Таблица косинус синус танг



Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  • Тригонометрический круг
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Таблица значений тригонометрических функций
  • Градусы и радианы
  • Формулы приведения
  • Теорема синусов
  • Расширенная теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
  • Примеры решений заданий из ОГЭ

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Источник

Все о таблице Брадиса: синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы

  • Что такое таблица Брадиса
  • Функциональные возможности таблицы
  • Таблица синусов и косинусов
  • Таблица для тангенсов и котангенсов
  • Значения от 181 до 360 градусов
  • Практические примеры использования таблицы

Что такое таблица Брадиса

Использование калькуляторов при сложных расчетах (например, формулах с применением логарифмов) сегодня считается стандартом по умолчанию. Но еще 20-30 лет назад, когда вычислительная техника была распространена не так сильно, на помощь приходили другие способы вычислений — с помощью специальных таблиц, логарифмической линейки или арифмометра.

Читайте также:  ГДЗ по Биологии для 6 класса Пасечник В В ФГОС

Таблица Брадиса — математическое пособие, в котором собраны таблицы, необходимые для работы по курсу математики и для практических вычислений, созданное Владимиром Модестовичом Брадисом.

Свое название они получили от брошюры «Четырехзначные математические таблицы», составленной Владимиром Брадисом. Книга неоднократно переиздавалась в советское время большими тиражами (до 500 000 экземпляров) и широко использовалась в учебном процессе — на уроках алгебры, геометрии и физики.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Функциональные возможности таблицы

Самыми распространенными являются таблицы, содержащие тригонометрические функции (например, синус, косинус, тангенс, котангенс и арктангенс).

В целом, в сборнике Брадиса содержалось более 20 таблиц, в том числе, помогавшие найти значения:

  • значение дробей вида 1/n;
  • квадратов;
  • квадратных корней;
  • площади круга определенного диаметра;
  • радианной меры;
  • мантиссы десятичных логарифмов;
  • номограммы для решения отдельных уравнений.

Таблица синусов и косинусов

Таблица синусов

В силу широкого использования синусов и косинусов в учебных задачах, это самая распространенная из таблиц Брадиса. Она дает значение этих тригонометрических функций для любого острого угла от 0° до 90°. С помощью дополнительных колонок можно находить и более точные спецификации. Это 6′, 12′,18, 24′, 30′, 36′, 42′, 48′ и 54′ для углов указанного диапазона, например:

  • \(\sin\;10^\circ\;=\;0,1736\) . С помощью дополнительных колонок находим — \(\sin\;10^\circ\;12’\;=\;0,1771,\;\sin\;10^\circ\;24’\;=\;0,1805\) ;
  • \(\sin\;50^\circ\;=\;0,7660\) . Обращаясь к дополнительной колонке выясняем, что \(\sin\;50^\circ\;12’\;=\;0,7683,\;\sin\;50^\circ\;24’\;=\;0,7705\) .

Если нужны еще более точные показатели, то нужно использовать поправочные коэффициенты, отнимая и прибавляя их к ближайшему табличному значению минут. Используя их, находим:

Для нахождения косинусов можно использовать значения в правой колонке, но куда удобнее вычислять через синус угла, дополняющего до 90°. В этом случае:

Аналогично проводят и более точные вычисления, в том числе — с использованием поправочных коэффициентов:

Таблица для тангенсов и котангенсов

Таблица Брадиса

Аналогичным образом с помощью соответствующей таблицы Брадиса можно найти значения тангенса:

  • \(tg\;10^\circ\;=\;0,1763\) . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(tg\;10^\circ\;12’\;=\;0,1799,\;tg\;10^\circ\;24’\;=\;0,1835\) ;
  • \(tg\;50^\circ\;=\;1,1918\) . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(tg\;50^\circ\;12’\;=\;1,2002,\;tg\;50^\circ\;24’\;=\;1,2088\) .

Для более точных показателей применяем поправочные коэффициенты (аналогично, как для таблиц синуса и косинуса):

С помощью правой колонки таблицы Брадиса со значением тангенсов можно найти котангенс. Альтернативный вариант — вычисление через тангенс угла, дополняющего искомый до 90°:

  • \(ctg\;10^\circ\;=\;tg\;80^\circ\;=\;5,671\) . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(сtg\;10^\circ\;12’\;=\;5,558,\;сtg\;10^\circ\;24’\;=\;5,449\) (аналогичные результаты могут быть получены, если посмотреть в значение тангенса дополняющих углов — 79° 48′ и 79° 36′ соответственно);
  • \(ctg\;50^\circ\;=\;0,8391\) . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(ctg\;50^\circ\;12’\;=\;0,8332,\;ctg\;50^\circ\;24’\;=\;0,8273\) (как вариант, можно уточнить значение тангенса дополняющих углов — 39° 48′ и 39° 36′).

Важно отметить, что значения тангенсов (и соответствующих им котангенсов) распределены по двум таблицам:

  • тангенсы углов от 0° до 76° (и котангенсы от 90° до 24°);
  • tg от 76° до 90° (и ctg от 24° до 0°).

Такое разделение связано с особенностями предоставления информации. Для котангенсов углов, близких к 90° (и котангенсам острых углов) проблематично использовать общие поправки, поэтому значения там даются индивидуально для каждого значения.

Например, в отдельных строках таблицы, без применения поправочных величин, приводятся:

  • \(tg\;80^\circ\;(и\;ctg\;10^\circ)\;=\;5,671\) ;
  • \(tg\;80^\circ\;1’\;(и\;ctg\;10^\circ\;59′)\;=\;5,681\) ;
  • \(tg\;80^\circ\;2’\;(и\;ctg\;10^\circ\;58′)\;=\;5,\;691\) ;
  • и так далее.

Величину тангенса и котангенса можно узнать и имея в наличии только таблицу Брадиса по синусам и косинусам. Для этого надо воспользоваться формулами:

Подставляя необходимые значения получим:

Значения от 181 до 360 градусов

Таблицы Брадиса дают значения для углов от 0° до 90°. Остальные величины можно легко найти с помощью формул приведения. В этом случае угол, величину которого необходимо узнать, представляется как сумма (или разность) угла, кратного 90° и острого угла, например, для 140° это будет:

  • 90° + 50°;
  • 180° — 40°.

Формулы приведения, которые используются в этом случае, имеют вид:

Для примера можно провести расчет для ситуации, когда угол в 140° представлен как 90° + 50°:

  • \(\sin\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;\cos\;50^\circ\;=\;0,6428\) ;
  • \(\cos\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;-\sin\;50^\circ\;=\;-0,7660\) ;
  • \(tg(90^\circ+50^\circ)=-ctg50^\circ=-0,8391\) ;
  • \(ctg\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;tg\;50^\circ\;=\;1,1918\) .

Практические примеры использования таблицы

Таблицам Брадиса легко можно найти применение в современном учебном процессе, например, выполняя школьные уроки.

Задача №1

10-метровая лестница опирается на здание таким образом, что имеет угол наклона 35°. Необходимо узнать расстояние от земли до ее вершины.

Решение

Имеем треугольник, где угол BСA = 90°, BАC = 30°. По определению^

где ВС — высота лестницы, которую нужно найти, а АВ — известная из условия длина.

Узнав из таблицы Брадиса нужный синус и подставив все известные значения в формулу, можно найти ответ:

ВС (высота лестницы) = 10 м х 0,5736 = 5,736 метров.

Задача №2

Найдете длину тени от маяка высокой 30 м, если солнце находится в 60° над горизонтом.

Решение

Схематически условия задачи можно представить в виде треугольника, с прямым углом ВСА, и ВАС = 55°. По определению:

где АВ — высота маяка, а СВ — длина тени.

Определив по таблице Брадиса нужную величину и подставив в формулу все известные значения, получим:

СВ (длина тени) = 30 м / 1,732 = 17,32 метра.

Источник

Таблица косинус синус танг

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока «Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?»

Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.

Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Почему почти? Об этом ниже.

Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом — таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов.)

Таблицы бывают разные. Длинные, где можно посмотреть, чему равен, скажем, sin37°6’. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0,6032. Понятное дело, запоминать это число (и тысячи других табличных значений) совершенно не требуется.

В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Для общей эрудиции.)

Читайте также:  Норма органов брюшной области на УЗИ как определяется

И зачем тогда этот урок?! — спросите вы.

А вот зачем. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё. На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, «таблица умножения» тригонометрии. Если вы не знаете, чему равен, например, sin50°, никто вас не осудит.) Но если вы не знаете, чему равен sin30°, будьте готовы получить заслуженную двойку.

Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов. Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та ещё задачка. )

Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 (три!) значения для таблицы синусов и таблицы косинусов. И 3 (три!) значения для таблицы тангенсов и таблицы котангенсов. И всё. Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется. )

Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки — тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу. Не пользоваться таким инструментом просто грех! Не хотите? Дело ваше. Заучивайте таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов. Таблицу котангенсов. Все 68 значений для разнообразных углов.)

Итак, начнём. Для начала разобьём все эти особые углы на три группы.

Первая группа углов.

Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых. Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов:

Источник

Таблицы значений тригонометрических функций.

В этой статье собраны таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Сначала мы приведем таблицу основных значений тригонометрических функций, то есть, таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). После этого мы дадим таблицу синусов и косинусов, а также таблицу тангенсов и котангенсов В. М. Брадиса, и покажем, как использовать эти таблицы при нахождении значений тригонометрических функций.

Навигация по странице.

  • Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов.
    • Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов?
  • Таблицы синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.
    • Как пользоваться таблицами синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса?

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 0, 30, 45, 60, 90, … градусов

Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют указать значения тригонометрических функций для углов 0 и 90 градусов:
, а котангенс нуля градусов не определен, и
, а тангенс 90 градусов не определен.

В курсе геометрии из прямоугольных треугольников с углами 30 , 60 и 90 градусов, а также 45 , 45 и 90 градусов находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30, 45 и 60 градусов:
,
и
.

Занесем указанные значения тригонометрических функций для углов 0 , 30 , 45 , 60 и 90 градусов ( 0 , π/6 , π/4 , π/3 , π/2 радиан) в таблицу, назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Используя формулы приведения, только что составленную таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов можно расширить, дополнив значениями тригонометрических функций для углов 120 , 135 , 150 , 180 , 210 , 225 , 240 , 270 , 300 , 315 , 330 и 360 градусов ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π радиан). При этом она принимает следующий вид.

Опираясь на свойство периодичности синуса, косинуса, тангенса и котангенса, таблицу основных значений тригонометрических функций можно расширить еще, заменив углы 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов соответственно на , где z – любое целое число. Из такой таблицы можно найти значения для всех углов, которым соответствуют точки единичной окружности, указанные на чертеже ниже.

Основные значения тригонометрических функций, собранные в заполненной выше таблице, желательно знать наизусть, так как они очень часто используются при решении задач.

Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов?

Использовать таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов 0, 30, 45, 60, 90, …, 360 градусов очень просто – она дает непосредственные значения тригонометрических функций, находящиеся на пересечении соответствующей строки, указывающей название тригонометрической функции, и столбца, указывающего данное значение угла.

Например, значение косинуса угла 60 градусов находится на пересечении строки, в крайней левой ячейке которой находится запись cos , и столбца, в верхней ячейке которого записан угол 60 градусов. Так из таблицы находим, что значение косинуса 60 градусов равно одной второй. Для разъяснения приведем графическую иллюстрацию.

Расширенная таблица основных значений тригонометрических функций используется аналогично. С помощью расширенной таблицы основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно сразу указать, например, чему равен тангенс угла 1 020 градусов. Он равен минус корню из трех, так как . Проиллюстрируем это.

Таблицы синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

Таблицы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса разделены на таблицу синусов и косинусов, а также на таблицу тангенсов и котангенсов. Причем таблица тангенсов и котангенсов состоит из двух частей — тангенсы углов, близких к 90 градусов, и котангенсы малых углов вынесены в отдельную таблицу.

В таблицах Брадиса с точностью до четырех знаков после десятичной запятой приведены приближенные значения синусов и косинусов, а также четыре цифры приближенных значений тангенсов и котангенсов острых углов, содержащих целое число градусов и целое число минут.

Сначала дадим таблицу Брадиса, имеющую название таблица Брадиса: синусы и косинусы.

Теперь приведем таблицу тангенсов углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов.

Наконец, осталось заполнить таблицу Брадиса тангенсов углов, близких к 90 градусам, и котангенсов малых углов. Она содержит непосредственные приближенные значения тангенсов углов от 76 до 90 градусов и котангенсов углов от 0 до 14 градусов.

Как пользоваться таблицами синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса?

Осталось разобраться, как пользоваться таблицей синусов и косинусов, а также таблицами тангенсов и котангенсов Брадиса.

Читайте также:  Футбол Дания live результаты Копенгаген расписание завершенные матчи

Значение синуса угла находится в таблице синусов на пересечении строки, содержащей в крайней левой ячейке нужное число градусов, и столбца, содержащего в верхней ячейке нужное число минут. Например, из таблицы синусов Брадиса можно определить, что синус 17 градусов 42 минут приближенно равен 0,3040 , вот иллюстрация тому, как это значение было найдено.

Несложно заметить, что в верхней строке минуты идут по порядку через шесть. А как определять значения, если количество минут имеет промежуточное значение, например 44 ? Для этого нужно внести соответствующую поправку, которую дают три крайних правых столбца таблицы. Например, синус 17 градусов 44 минут равен 0,3046 , так как синус 17 градусов 42 минут равен 0,3040 , и требуется еще поправка на 2 минуты в плюс, равна 0,0006 . Поправки содержатся в трех крайних правых столбцах таблицы синусов и косинусов Брадиса.

Если бы нам нужно было найти синус 17 градусов 47 минут, то от значения синуса 17 градусов 48 минут 0,3057 мы бы отняли поправку на 1 минуту, равную 0,0003 . В итоге мы получим искомое значение, равное 0,3054 .

Для нахождения значений косинусов используется та же таблица синусов и косинусов Брадиса. Однако следует ориентироваться на нижнюю строку при выборе соответствующего значения градуса и на четвертую справа строку при выборе нужного числа минут.

Например, косинус 20 градусов равен 0,9397 .

Другой пример: значение косинуса 20 градусов 2 минут равно 0,9397−0,0002=0,9395 , а значение косинуса 20 градусов 5 минут равно 0,9391+0,0001=0,9392 (обратите внимание: что нужно быть внимательным со знаками поправок, нужно помнить, что при возрастании острого угла его косинус убывает).

Таблица тангенсов и котангенсов Брадиса углов от 0 до 76 градусов и котангенсов углов от 14 до 90 градусов используется абсолютно аналогично таблице синусов и косинусов.

К примеру, тангенс 75 градусов 44 минут равен 3,923+0,010=3,933 , а котангенс 32 градусов 50 минут равен 1,5517−0,0020=1,5497 . Вот тому графические иллюстрации.

Таблица тангенсов углов, близких к 90 градусов, и котангенсов малых углов содержит значения тангенсов и котангенсов, не нуждающиеся в поправках. Для примера найдем значение тангенса угла 78 градусов 37 минут, оно равно 4,967 .

А котангенс угла 2 градуса 13 минут равен 25,83 .

Если угол выходит за пределы от 0 до 90 градусов, то сначала следует использовать формулы приведения и перейти к вычислению значения тригонометрической функции, аргумент которой заключен между 0 и 90 градусами. А если угол выражен в радианах, то прежде чем использовать таблицы Брадиса для нахождения синуса, косинуса, тангенса или котангенса данного угла, его нужно перевести в градусы (этому вопросу посвящен материал статьи перевод градусов в радианы и обратно).

Источник

Тригонометрическая таблица

В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90. 360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90. градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенс от 0 0 будет неопределенным
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы:

Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

тригонометрия - таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов основных углов

Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

таблица тригонометрических функций 360 градусов

Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z . 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

расширенная таблица косинусов, синусов, котантенсов и тангенсов

Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

пример работы с тригонометрической таблицей

В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

находим тангенс по таблице

Для более поиска тригонометрических значений углов с точностью до минут используются таблицы Брадиса. Подробная инструкция как ими пользоваться на странице по ссылке.

Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

Синус и косинус

Таблица Брадиса: синусы и косинусы

tg угла начиная с 0 0 заканчивая 76 0 , ctg угла начиная с 14 0 заканчивая 90 0 .

Таблица Брадиса: тангенсы - котангенсы

tg до 90 0 и ctg малых углов.

расширенная таблица тангенсов

Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.
тригонометрия по таблице Брадиса
Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.
пример - тригонометрия по таблице Брадиса
При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054
находим синус по таблице Брадиса
При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397
пример4 по таблице
Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967
пример 5 по Брадису
а ctg 20 0 13мин = 25,83
Таблица синусов Брадиса. Пример 6

Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Источник