Меню

Таблица лапласа теория вероятности все



Таблица значений функции Лапласа

Таблица значений функции Лапласа — это вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. При решении задач по теории вероятности, как правило, требуется найти значение функции Лапласа по известному значению аргумента или, наоборот, по известному значению функции Лапласа требуется найти значение аргумента. Для этого пользуются таблицей значений функции Лапласа. Таблица значений функции Лапласа незаменима при изучении теории вероятности, так как решать интеграл (функцию Лапласа) сложно, а запомнить таблицу значений функции Лапласа просто невозможно.

Функцию Лапласа и данную таблицу чаще всего изучают на втором курсе университета, при изучении математики и теории вероятности, если Вам в данной теме, что-то не понятно, то Вы всегда можете задать вопрос на нашем форуме, мы будем рады вам помочь. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей на здоровье.

Функция Лапласа

При разных значениях t; F(–t) = –F(t) (функция нормального распределения).

Таблица значений функции Лапласа

Таблица значений функции Лапласа не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Поможем выполнить
любую работу

Все еще сложно?

Наши эксперты помогут разобраться

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Bar

Bar

Bar

Bar

Bar

Bar

Bar

Bar

Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?

Источник

Информационный сайт учителя Информатики и Экономики

Щёголевой А.П.

В помощь учителям, ученикам и деловым людям

Категории

  • 1. планирование по информатике:
  • Дидактический материал:
    • — География
    • — по информатике
    • — по математике
    • — по экономике
  • Для кабинета
  • Домашнее задание
  • ЕГЭ по информатике
  • Здоровье
  • Конспекты и планы уроков для учителя:
    • — Информатика
    • — Экономика
  • Математика:
  • Менеджмент
  • Новости it:
    • — software
    • IT рынок
  • Онлайн игры
  • Онлайн тесты:
    • — Тесты по информатике
    • — Тесты по математике
    • — Тесты по экономике
  • Поддержка Moodle
  • Презентации
  • Программы
  • Работы учащихся
  • Разное
  • Украинский язык

Новые записи

  • Тема: «Валовой внутренний продукт и национальный доход»
  • Методическое сопровождение участников образовательного процесса при дистанционной форме обучения
  • Рекомендации учителю и ученику для работы в системе Moodle
  • Памятка ученику для работы в Moodle
  • Тема: «Растровая и векторная графика»
  • Логические игры онлайн
  • Программа Pascal ABC
  • Тема: Присваивание. Ввод и вывод величин.
  • Тема урока: «Рынок и рыночный механизм. Рыночное равновесие»
  • Тема: Основные вопросы экономики

Таблица Лапласа

При решении задач по теории вероятности возникает потребность использовать стандартную таблицу значений функции Лапласа, для нахождения значения функции Лапласа по известному значению аргумента или, наоборот, по известному значению функции Лапласа требуется найти значение аргумента.
Функция Лапласа:

Таблица значений функции Лапласа:

Источник

Таблица лапласа теория вероятности все

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0

Значения функции находятся в таблице для функции ф (х).

Важно помнить, что функция ф (х) четная

=> ф (-х) = ф (х).

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0

Для нахождения значений используют таблицу функции Лапласа для х:

0 , если же х>5, то автоматически Ф(х) = 0,5.

Функции Лапласа нечетная, т.е. Ф (-х) = — Ф(х).

Задача 1. Найдите вероятность того, что число зачисленных абитуриентов в институт психологии равно 86 из 250, подавших заявления. если вероятность зачисления для каждого абитуриента равна 0,35.

Читайте также:  Несущая способность литых наконечников и применение винтовых свай Таблица

Решение

По условию задачи: р = 0.35; q = 0,65; n = 250;k = 86. В связи с тем, что n = 250 достаточно большое число, то целесообразней воспользоваться локальной теоремой Лапласа:

По таблице № 1 значений функции Лапласа найдем значение при х = 0,2, т.е. ф (х) = 0,391.

Тогда вероятность зачисления 86 абитуриентов в институт психологии равна

Ответ: 0,052.

Задача 2. Известно, что вероятность появления в семье мальчика равна 40 %. Сколько семей необходимо опросить, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в этих семьях родились мальчики, если всего в опросе участвовало 150 детей?

Решение

По условию задачи: n = 150; р = 0,4; q = 0,6.

Тогда, пусть было опрошено а– семей. Чтобы найти неизвестное а, при условии, что n p q > 10, воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

В результате, получаем неравенство:

Из таблицы № 2 для функции Лапласа получаем соответствующие значения, при Ф(х) > 0,25, то х > 0,67. Тогда неравенство принимает вид:

Следовательно, необходимо будет опросить 62 семьи, чтобы с вероятностью 0,75 утверждать, что в каждой из них ребенок – мальчик.

Ответ: 62.

Задача 3. Вероятность встретить на улице в солнечный день человека с зонтом равна 0,01. Чему равна вероятность того, что из 1 000 встречных мимо вас пройдет не более 4 человек с зонтами.

Решение

Так как события А; А1234 несовместны, то соответственно вероятность события. А есть:

Ответ: 0,777.

Пользоваться таблицей несложно: вначале смотрим на столбец, а потом на строку, например, Ф(0,22) = 0,3894; Ф(2,99) = 0,0046.

Таблица значений локальной функции Лапласа (таб. № 1)

Таблица значений интегральной функции Лапласа (таб. № 2)

Источник

1.11. Локальная теорема Лапласа

Итак, те же независимые испытания, но значения и достаточно велики:

Найти вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет 200 раз.

Очевидно, что здесь следует применить формулу Бернулли, и мы попробуем её применить: …стоп, что делать дальше?
Микрокалькулятор (по крайне мере, мой) не справился с 400-й степенью и капитулировал перед факториалами.
Воспользуемся стандартной функцией Экселя (БИНОМРАСП – см. п. 3 Калькулятора), которая сумела обработать монстра:
.

Заостряю ваше внимание, что это точное значение и такое решение вроде бы идеально,… но: 1) программного обеспечения может не оказаться под рукой, 2) учебное решение будет смотреться нестандартно, 3) Эксель – тоже не панацея, «сломался» на значениях, чуть бОльших, чем (специально ради интереса ломал).

Возникает мысль написать специальную программу, например, на Паскале, но… сами понимаете, изощрённые фантазии многими преподавателями не одобряются =)

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равна:
, где – функция Гаусса, а .

При этом, чем больше , тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению (по Бернулли). Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность, когда меньше, чем (впрочем, это зависит от ). Поэтому критерием эффективного использования теоремы является выполнение неравенства .

Так, например, если , то и применение теоремы Лапласа для 50 испытаний оправдано. Но если и , то и приближение к точному значению будет плохим.
Оформим официальные отношения с нашим примером:

Задача 75
Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно:
а) 200 раз, б) 225 раз.

Читайте также:  Глава Федерации авиаспорта Дальнего Востока погибла при крушении самолета

С чего начать решение? Сначала распишем известные величины, чтобы они были перед глазами:
– общее количество независимых испытаний;
– вероятность выпадения орла в каждом броске;
– вероятность выпадения решки.

а) Найдём вероятность того, что в серии из 400 бросков орёл выпадет ровно раз. Ввиду большого количества испытаний используем локальную теорему Лапласа: , где .

На первом шаге вычислим значение аргумента:

Далее находим соответствующее значение функции: . Это можно сделать несколькими способами. В первую очередь, конечно же, напрашивается прямое вычисление:
округление проводят, как правило, до 4 знаков после запятой. Для ускорения вычислений я добавил эту формулу в Калькулятор (пункт 4).

Кроме того, существует таблица значений функции , которая есть практически в любой книге по теории вероятностей. И эта книга не исключение:

Прямо сейчас откройте Приложение Таблицы
и разберитесь, как пользовать таблицей значений функции !

В частности, найдите по таблице значение . «Дедовский» способ поможет в тех случаях, когда под рукой не окажется нужной техники (что вполне реально на практике).
На заключительном этапе применим формулу :
– вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет ровно 200 раз.

Как видите, полученный результат очень близок к точному значению , вычисленному по формуле Бернулли.

б) Найдём вероятность того, что в серии из 400 испытаний орёл выпадет ровно раз. Используем локальную теорему Лапласа. Раз, два, три – и готово:
1)

Обязательно найдите это значение по таблице!

3) – искомая вероятность.

Ответ:

Следующий пример посвящен,… правильно догадываетесь, и это вам для самостоятельного решения 🙂

Задача 76
Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется ровно: а) 40 мальчиков, б) 50 мальчиков, в) 30 девочек.

Кстати, реальная статистическая вероятность рождения мальчика во многих регионах мира как раз колеблется в пределах от 0,51 до 0,52.

Как вы заметили, вероятности получаются достаточно малыми, и это не должно вводить в заблуждение – ведь речь идёт о вероятностях отдельно взятых, локальных значениях (отсюда и название теоремы). А таковых значений много, и, образно говоря, вероятности «должно хватить на всех». Правда, многие события будут практически невозможными. Так, в серии из 400 испытаний орёл теоретически может выпасть от 0 до 400 раз, и данные события образуют полную группу:

Однако бОльшая часть этих значений представляет собой сущий мизер, и вероятность того, что орёл выпадет ровно 250 раз – уже одна десятимиллионная: . О значениях вроде тактично умолчим 🙂

С другой стороны, не следует недооценивать и «скромные результаты»: так, если составляет всего около , то вероятность того, орёл выпадет, скажем, от 220 до 250 раз, будет весьма заметна. А теперь задумаемся: как найти эту вероятность? С современными вычислительными возможностями не составит труда воспользоваться теоремой сложения вероятностей несовместных событий и вычислить сумму либо абсолютно точное значение через формулу Бернулли: .

Но гораздо проще эти значения объединить. А объединение чего-либо называется интегрированием:

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Применение локальной и интегральной теоремы Муавра-Лапласа

  • Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
    • Локальная теорема Лапласа
    • Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа
  • Таблица значений для вычисления определителей
  • Пример решения задачи
Читайте также:  Прожиточный минимум в Екатеринбурге 2021 2022

Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

В том случае, когда количество манипуляций достаточно большое, применять формулу Бернулли становится нецелесообразно. Упростить решение задачи или доказательство выражения можно с помощью локальной и интегральной теорем Лапласа. Данные закономерности позволяют получить результат испытаний, приближенный к итогам вычислений по формуле Бернулли, и характеризуются меньшими расчетами.

Рассматриваемые теоремы активно применяют в решении задач по данным большого количества экспериментов для нахождения приближенного значения вероятности. С помощью локальной теоремы можно вычислить определенное число явлений. Благодаря интегральной теореме Муавра-Лапласа, достаточно просто найти ответ при заданном диапазоне вероятного количества возникновения событий.

Локальная теорема Лапласа

В том случае, когда вероятность p возникновения явления A характеризуется постоянством, и \(p\ne 0\) и \(p\ne 1\) , то вероятность \(P_n ( k )\) того, что событие A возникнет k раз в n экспериментах, равна приближенно (увеличивая n, получаем более точный результат испытаний и меньше погрешность) значению функции \(y=\frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \frac < 1 > < \sqrt < 2\pi >> \cdot e^ < - < x^2 >/ 2 > =\frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \varphi ( x )\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Из выражения можно сделать вывод:

\(label < eq2 >P_n ( k )\approx \frac < 1 > < \sqrt < n\cdot p\cdot q >> \cdot \varphi ( x )\)

Следует отметить, что функция \(\varphi ( x )=\varphi ( < -x >)\) является четной.

Свойства представленной функции:

  • функция является четной;
  • если аргумент обладает значением больше, чем 4, то функция будет сколь угодно мала.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа

Вероятность P, что возникнет событие A, для каждого эксперимента по порядку обладает стабильным значением, и \(p\ne 0\) и \(p\ne 1\) , тогда вероятность \(P_n ( < k_1 ,k_2 >)\) того, что явление A наступит от \(k_ < 1 >\) до \(k_ < 2 >\) раз в n опытах, равна \(P_n ( < k_1 ,k_2 >)\approx \frac < 1 > < \sqrt < 2\cdot \pi >> \int\limits_ < x_1 >^ < x_2 > < e^ < - < z^2 >/ 2 > dz > =\Phi ( < x_2 >)-\Phi ( < x_1 >)\)

Следует отметить, что \(\Phi ( x )=\frac < 1 > < \sqrt < 2\cdot \pi >> \int < e^ < - < z^2 >/ 2 > dz >\) можно определить с помощью специальных табличных схем.

\(\Phi ( < -x >)=-\Phi ( x )\) является нечетной функцией.

Рассматриваемая функция обладает следующими основными свойствами:

  • функция является нечетной;
  • если аргумент больше, чем 5, то значение функции составляет 0,5.

Таблица значений для вычисления определителей

В случае применения локальной теории Лапласа целесообразно использовать специальные таблицы:

Таблица значений для вычисления

Таблица значений для вычисления определителей

Таблица значений для вычисления определителей 2

Таблица значений для вычисления определителей 3

Таблица значений интегральной функции Лапласа имеет следующий вид:

Таблица значений интегральной функции Лапласа имеет следующий вид

Таблица 1

Таблица 2

Применительно к вероятностям распределения Пуассона сформирована таблица:

t-v-4-0-7.jpg

t-v-4-0-8.jpg

t-v-4-0-9.jpg

t-v-4-0-10.jpg

Пример решения задачи

Требуется определить, какова вероятность возникновения события А в течение 80 раз во время проведения 400 опытов. Следует учитывать вероятность появления данного события в каждом эксперименте составляет \( р = 0,2.\)

В том случае, когда р = 0,2: q = 1 – p = 1 – 0,2 = 0,8

Ответ: вероятность равна 0,0498

По условиям задания, в процессе контроля качества выявляют 10% брака от произведенных изделий. Для этой процедуры выбирают 625 изделий. Необходимо определить вероятность того, что в объеме отобранных изделий имеется не меньше 550 и не больше 575 качественных экземпляров.

В том случае, когда брак составляет 10% от изделий, то качественные экземпляры должны определяться, как 90%. При таком условии:

\(n=625, \ p=0,9, \ q=0,1, \ k_1 =550,\ k_2 =575\)

\(n\cdot p=625\cdot 0,9=562,5\)

Исходя из полученного выражения, определим:

Источник