Меню

Таблица с формулами раскрытия скобок

Раскрытие скобок

О чем эта статья:

Понятие раскрытия скобок

В задачах по математике постоянно встречаются числовые и буквенные выражения, а также выражения с переменными, которые составлены с использованием скобок.

Основная функция скобок — менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений.

Часто можно перейти от одного выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок. Например:

  • 2(3 + 4) = 2 * 3 + 2 * 4.

Такой переход от выражения со скобками к тождественно равному выражению без скобок несет в себе основную идею о раскрытии скобок.

Начальное выражение со скобками и результат, полученный после раскрытия скобок, удобно записывать в виде равенства, как мы это сделали в предыдущем примере.

В школе тему раскрытия скобок обычно подходят в 6 классе. На этом этапе раскрытие скобок воспринимают, как избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий. И изучают раскрытие скобок на примерах выражений, которые содержат:

  • знаки плюс или минус перед скобками, которые заключают сумму или разность, например, (a + 7) и -(-3 + 2a — 12 — b);
  • произведение числа, одной или нескольких букв и суммы или разности в скобках, например, 3(2 — 7), (3 — a + 8c)(-b) или -2a(b + 2c — 3m).

Раскрытие скобок также можно рассматривать шире.

Раскрытием скобок можно назвать переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению без скобок. Например:

  • 5 + (-3) — (-7) = 5 — 3 + 7.

Или, если в описанных выше выражениях вместо чисел и переменных могут быть любые выражения. В полученных таким способом выражениях тоже можно проводить раскрытие скобок. Например:

раскрытие скобок

Раскрытие скобок — это избавление от скобок, которые указывают порядок выполнения действий, а также избавление от скобок, в которые заключены отдельные числа и выражения.

Важно отметить еще один момент, который касается особенностей записи решения при раскрытии скобок. При раскрытии скобок в громоздких выражениях можно прописывать промежуточные результаты в виде цепочки равенств. Например, вот так:

  • 5 — (3 — (2 — 1)) = 5 — (3 — 2 + 1) = 5 — 3 + 2 — 1

Первое правило раскрытия скобок

Это выражение равно двум. А теперь раскроем скобки, то есть избавимся от них. Мы ожидаем, что после избавления от скобок значение выражения 8 + (−9 + 3) также должно быть равно 2.

Первое правило раскрытия скобок

Если перед скобками стоит знак плюс — все числа, которые стоят внутри скобок, сохраняют свой знак.

Формула раскрытия скобок

Мы видим что в выражении 8 + (−9 + 3) перед скобками стоит плюс. Значит плюс нужно опустить вместе со скобками. То, что было в скобках — запишем без изменений, вот так:

пример решения

Так мы получили выражение без скобок 8 − 9 + 3. Снова получаем в результате вычисления два.

  • 8 + (−9 + 3) = 2
  • 8 − 9 + 3 = 2

Поэтому между выражениями 8 + (−9 + 3) и 8 − 9 + 3 можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

  • 8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3
  • 2 = 2

Потренируемся применять правило на примерах.

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 8 + (−3 − 1)

Перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опустим вместе со скобками. А то, что было в скобках оставим без изменений:

  • 8 + (−3 − 1) = 8 − 3 − 1

Пример 2. Раскрыть скобки в выражении 6 + (−2)

Перед скобками стоит плюс, значит применим то же правило:

Раскрытие скобок в предыдущих пример выглядит, как обратная операция замены вычитания сложением.

В выражении 6 − 2 происходит вычитание, но его можно заменить сложением. Тогда получится выражение 6 + (−2). Но если в выражении 6 + (−2) раскрыть скобки, то получится снова 6 − 2.

Поэтому первое правило раскрытия скобок можно использовать для упрощения выражений после любых других преобразований.

Идем дальше. Теперь упростим выражение 2a + a − 5b + b.

Чтобы упростить такое выражение, нужно привести подобные слагаемые. Для этого нужно сложить коэффициенты подобных слагаемых и результат умножить на общую буквенную часть:

  • 2a + a — 5b + b = 2a + a + (-5b) + b = (2 + 1) * a + (-5 + 1) * b = 3a + (-4b)

Получили выражение 3a + (−4b). Раскроем скобки. Перед скобками стоит плюс, поэтому используем первое правило раскрытия скобок: опустим скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками.

  • 3a + (−4b) = 3a − 4b

Таким образом, выражение 2a + a − 5b + b упрощается до 3a − 4b.

После открытия одних скобок, по пути можно найти другие. К ним применяем те же правила, что и к первым. Например, раскроем скобки в таком выражении:

Здесь нужно раскрыть скобки в двух местах. Снова применяем первое правило раскрытия скобок, а именно опускаем скобки вместе с плюсом, который стоит перед:

  • 2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Пример 3. Раскрыть скобки 6 + (−3) + (−2)

В обоих местах перед скобками стоит плюс. Применяем первое правило раскрытия скобок:

  • 6 + (−3) + (−2) = 6 − 3 − 2

Можно встретить такой пример, когда первое слагаемое в скобках записано без знака. Например, в выражении 1 + (2 + 3 − 4) первое слагаемое в скобках 2 записано без знака. Какой знак будет стоять перед двойкой после того, как скобки и плюс, стоящий перед скобками опустятся? Ответ интуитивно понятен — перед двойкой будет стоять плюс.

Дело в том, что даже в скобках перед двойкой стоит плюс, просто мы его не видим так как плюс не принято записывать. Полная запись положительных чисел выглядит так: +1, +2, +3, но плюсы по традиции не записывают, поэтому положительные числа мы всегда видим в таком виде: 1, 2, 3.

Поэтому, чтобы раскрыть скобки в выражении 1 + (2 + 3 − 4), нужно как обычно опустить скобки вместе с плюсом, который стоит перед этими скобками, но первое слагаемое которое было в скобках записать со знаком плюс:

  • 1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении (−7)

Перед скобками стоит плюс, но мы его не видим так как до него нет других чисел или выражений. Убираем скобки, применив первое правило раскрытия скобок:

Пример 5. Раскрыть скобки 9a + (−5b + 6c) + 2a + (−2d)

Видим два места, где нужно раскрыть скобки. В обоих участках перед скобками стоит плюс, значит этот плюс опускается вместе со скобками. То, что было в скобках запишем без изменений:

  • 9a + (−5b + 6c) + 2a + (−2d) = 5a −5b + 6c + 2a − 2d

Второе правило раскрытия скобок

Здесь рассмотрим второе правило раскрытия скобок. Звучит так:

Второе правило раскрытия скобок

Если перед скобками стоит знак минус — все числа, которые стоят внутри скобок, меняют свой знак на противоположный.

Формула раскрытия скобок

Например, раскроем скобки в выражении 5 − (−2 − 3)

Видим, что перед скобками стоит минус. Значит нужно применить второе правило раскрытия, а именно опустить скобки вместе с минусом, который стоит перед этими скобками. При этом слагаемые, которые были в скобках, поменяют свой знак на противоположный:

пример решения 2

Так мы получили выражение без скобок 5 + 2 + 3. Это выражение равно десяти, как и предыдущее выражение со скобками было равно 10.

  • 5 − (−2 − 3) = 10
  • 5 + 2 + 3 = 10

Поэтому между выражениями 5 − (−2 − 3) и 5 + 2 + 3 можно поставить знак равенства так как они равны одному и тому же значению:

  • 5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3
  • 10 = 10

Пример 1. Раскрыть скобки в выражении 18 − (−1 − 5)

Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:

18 − (−1 − 5) = 6 + 1 + 5

Пример 2. Раскрыть скобки −(−6 + 7)

Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:

Пример 3. Раскрыть скобки −(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2)

Здесь мы видим два места, где нужно раскрыть скобки. В первом случае применим второе правило раскрытия скобок, а во втором — первое правило:

−(−7 − 4) + 15 + (−6 − 2) = 7 + 4 + 15 − 6 − 2

Пример 4. Раскрыть скобки в выражении a − (3b + 3) + 10

Перед скобками стоит минус, поэтому применим второе правило раскрытия скобок:

a − (3b + 3) + 10 = a − 3b − 3 + 10

Другие правила раскрытия скобок

Правило раскрытия скобок при делении

Если после скобок стоит знак деления — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок.

Формула раскрытия скобок

(a + b) : c = a/c + b/c.

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые.

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x + 2) : 2/3. Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число:

  • (x + 2) : 2/3 = (x + 2) * 3/2.

Далее умножим скобку на число:

Правило раскрытия скобок при умножении:

Если перед скобками стоит знак умножения — каждое число, которое стоит внутри скобок, нужно умножить на множитель перед скобками.

Формула раскрытия скобок

Пример 1. Раскрыть скобки 5(3 − x)

В скобке у нас стоят 3 и −x, а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки нужно умножить на 5:

пример решения 3

Знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример 2. Упростить выражение: 5(x + y) − 2(x − y)

Как решаем: 5(x + y) − 2(x − y) = 5x + 5y − 2x + 2y = 3x + 7y.

Таблица с формулами раскрытия скобок

Эти таблицы с правилами раскрытия скобок можно распечатать и обращаться к ним, когда возникнут сомнения в ходе решения задачки.

Правила раскрытия круглых скобок вида (-a), в которых находится одночлен

Правила раскрытия круглых скобок, в которых находится многочлен

Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках не меняют, если:

  • перед скобкой стоит знак плюс:

a + (b — c + d) = a + b — c + d

  • выражение начинается со скобки и перед ней знака:

Скобки убирают, знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные, если:

  • перед скобкой стоит знак минус:

a — (b — c + d) = a — b + c — d

  • выражение начинается с минуса перед скобкой:

-(a + b — c) + d = -a — b + c + d

Раскрытие круглых скобок при умножении одночлена на многочлен

a + b(c + d — f + e) = a + bc + bd — bf + be

a — b(c + d — f + e) = a + bc + bd — bf + be

-a(b + c — d) + f = -ab — ac + ad + f

Раскрытие круглых скобок при умножении многочлена на многочлен

(a + b)(c — d) = a(c — d) + b(c — d) = ac — ad + bc — bd

(-a + b)(c + d) = -a(c + d) + b(c + d)= -ac — ad + bc + bd

Раскрытие круглых скобок при возведении многочлена в степень

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)= a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

Скобка в скобке

В 7 классе на алгебре можно встретить задачи со скобками, которые вложены внутрь других скобок. Вот пример такого задания:

  • упростить выражение 7x + 2(5 − (3 x + y)).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:

  • внимательно разобраться со скобками — какая в какой находится.
  • раскрывать скобки последовательно, начиная с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение и просто переписывать его, как есть. Разберем подробнее тот же самый пример.

Пример 1. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые 7x + 2(5 − (3x + y))

Начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относится – это сама скобка и минус перед ней. Всё остальное переписываем также как было.

  • 7x + 2(5 − (3x + y)) = 7x + 2(5 − 3 x − y).

Теперь раскроем вторую скобку, внешнюю:

  • 7x + 2(5 − (3x + y)) = 7x + 2(5 − 3 x − y) = 7 x + 2 * 5 − 2 * 3 x − 2 * y.

Упростим получившееся выражение:

  • 7x + 2(5 − (3x + y)) = 7x + 2(5 − 3 x − y) = 7 x + 2 * 5 − 2 * 3 x − 2 * y = 7x + 10 − 6x − 2y.
  • 7x + 10 − 6x − 2y = x + 10 − 2y

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида. То есть в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Читайте также:  Климатические зоны мира классификация карта и описание типов климата по Алисову

Порядок раскрытия скобок согласован с порядком выполнения действий:

  • возвести многочлены в скобках в натуральную степень;
  • слева направо провести умножение и деление;
  • когда в скобках останутся только слагаемые, раскрыть скобки и привести подобные.

Пример 1. Раскрыть скобки и упростить выражение:

-(2a + 5b) + (3a — 2b + 1) — (2a + 4) = -2a — 5b + 3a — 2b + 1 — 2a — 4 = (-2a + 3a — 2a) + (-5b — 2b) + (1 — 4) = -a — 7b — 3

Пример 2. Доказать, что при любых значениях переменной a значение выражения 3(2a — 7) — (a — (5a + 4)) — отрицательно.

3(2a — 7) — (a — 5(a + 1)) = 6a — 21 — a + 5(a + 1) = 6a — 21- a + 5a + 5 = (6a — a + 5a) + (-21 + 5) = 0 — 16 = -16

Значение выражения не зависит от переменной и всегда отрицательно. Что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельного решения

На алгебре в 6 и 7 классе придется решать задачки с раскрытием скобок много и часто. Поэтому лучше запомнить правила и практиковаться уже сейчас.

Задание 1. Раскройте скобки в выражении: 2 + (6 + 3) + 2 — (1 + 1)

Задание 2. Раскройте скобки в выражении: — 21 + 14 + (-1 + 5) — 11 + ( 3 + 2)

Задание 3. Раскройте скобки в выражении: 3 * (-4m + 3n — 5)

Задание 4. Раскройте скобки в выражении: -(12a — 5b — 2)

Задание 5. Раскройте скобки в выражении: 3(x — 9)

Задание 6. Раскройте скобки:

пример

Задание 7. Раскройте скобки:

Источник

Раскрытие скобок: правила и примеры

Раскрытие скобок и правила применения — это одна из основных тем математике, на базе которой решаются многие задания во всех последующих классах. Поэтому правила раскрытия скобок необходимо усвоить в обязательном порядке.

Итак, основная функция скобок – задать порядок вычислений, так как в зависимости от того, в какой последовательности будут решаться примеры и выражения, зависит ответ. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на результат. При этом существуют правила, которые применяются при раскрытии скобок.

Раскрытие скобок: правила

Правило раскрытия скобок при сложении

Если перед скобками стоит плюс, то скобки просто опускаются.
Иными словами, скобки исчезнут, а то, что было в скобках, запишется без изменений.
Например, (a−b) = a−b.

В данном правиле следует учитывать, что в математике не принято писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа 2 и 3, то запишем 2+3, а не +2+3. Значит перед скобками, которые стоят в начале выражения, стоит плюс, который не пишут.

Пример 1: 8+(5−3) = 10. Ответ: 8+5–3 = 10.
Пример 2: 6+(−1+2) = 7. Ответ: 6–1+2 = 7.
Пример 3: 8a + (3b −6a). Ответ: 8a + 3b −6a = 2a + 3b.

Правило раскрытия скобок при вычитании

Если перед скобками стоит минус, то скобки опускаются, а каждое слагаемое внутри нее меняет свой знак на противоположный.
Например, −(a−b) = −a+b

Пример 1: 8–(5–3) = 6. Ответ: 8 – 5 + 3 = 6.
Пример 2: 6 − (−1 + 2) = 5. Ответ: 6 + 1 – 2 = 5.
Пример 3: 8a–(3b −6a). Ответ: 8a – 3b + 6a = 14a – 3b.
Пример 4: −(5b −2). Ответ: −5b +2.

Раскрытие скобок при умножении

Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число внутри скобок умножается на множитель, стоящий перед скобками.
При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс дает минус.
Данное правило основано на распределительном законе умножения: a(b+c) = ab + ac.

Пример 1: 8×(5 − 3) = 16. Ответ: 8 ×5 − 8 ×3 = 16.
Пример 2: a×(7 +2). Ответ: a×7+a×2 = 7a + 2a = 9a.
Пример 3: 8×(3b −6a). Ответ: 8×3b – 8×6a = 24b–48a

Раскрытие скобок при делении

Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок.

Пример 1: (25−15):5. Ответ: 25:5−15:5= 2.
Пример 2: (−14a +10):2. Ответ: −14a:2 +10:2 = −7a +5.
Пример 3: (36b + 6a):6. Ответ: 36b:6 + 6a:6 = 6b + a.

Раскрытие скобок при умножении двух скобок

При умножении скобки на скобку, каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки.
Например, (c+d) × (a−b) = c×(a−b)+d×(a−b) = ca−cb+da−db

Пример. Раскрыть скобки: (2−a) × (3a−1).
Решение:
Шаг 1. Убираем первую скобку (каждое ее слагаемое умножаем на вторую скобку): 2 × (3a−1) − a × (3a−1).
Шаг 2. Раскрываем произведение скобок: (2×3a− 2×1) – (a×3a−a×1) = 2×3a− 2×1 – a×3a + a×1.
Шаг 3. Перемножаем и приводим подобные слагаемые: 6a–2–3a2+a = 7a–2–3a2

Раскрытие вложенных скобок

Иногда встречаются примеры со скобками, которые вложены в другие скобки. Чтобы решить такую задачу, нужно сначала раскрыть внутреннюю скобку (при этом остальное выражение оставить без изменений), а потом внешнюю скобку.

Пример 1. 7a + 2 × (5− (3a+b)).
Решение:
Шаг 1. Раскроем внутреннюю скобку (не трогая остальное): 7a + 2 × (5 − (3a+b)) = 7a + 2 × (5 − 3a − b).
Шаг 2. Раскроем внешнюю скобку: 7a + 2 × (5 − (3a+b)) = 7a + 2×5 − 2×3a − 2×b.
Шаг 3. Упростим выражение: 7a + 10 − 6a − 2b = a+10-2b.

Раскрытие скобок в натуральной степени

Если стоит скобка в натуральной степени (n), то чтобы раскрыть скобки, нужно найти произведение скобок, перемноженных несколько раз (n раз).

Например, в примере (a+b)2 = (a+b)×(a+b) нужно перемножить скобки (a+b) два раза, далее раскрываем скобки, где каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки.

Источник



Упражнение 152 — Русский язык 7 класс. Разумовская, Львова, Капинос. Учебник

Вопрос

1. Спишите, раскрывая скобки. Пользуясь таблицей, данной в предыдущем упражнении, объясните дефисное написание слов.

I. 1) Дворецкий растолкал Степана и (впол) голоса сообщил ему какое (то) приказание. (И. Тургенев) 2) (Пол) избы было занято огромной печью. (А. Чехов) 3) В (не) скольких шагах от моста посетил я тёмные развалины (караван) сарая. (А.Пушкин) 4) Из (за) холмов (не) ожиданно показалось (пепельно) седое кудрявое облачко. (А. Чехов)

II. 1) Нет большего удовольствия, чем идти по (не) знакомым дорогам к какому (нибудь) дальнему лесному озеру. Какой (то) (не) понятный звон слышен в лесах. В (не) обыкновенной тишине зарождается ра(с, сс)вет. (К. Паустовский)

2) Ураганы (Южно) Китайского моря доходят до берегов Японии. Сильные восточные и (юго) восточные ветры из (Арало) Каспийских степей хорошо знакомы жителям (не) которых южных и (юго) восточных областей этой территории. Такие сухие, знойные ветры носят название «(сухо) веи». (В. Мезенцев)

2. Объясните слитное и раздельное написание не со словами.

3. Найдите семь слов с безударным гласным в корне и подберите к ним проверочные слова.

Подсказка

Объясним правописание слов:

  • вполголоса — словарное слово;
  • какое— то , какому- нибудь , какой- то — дефисное написание неопределённых местоимений;
  • пол -избы, караван-сарая — правописание сложных существительных;
  • не́ скольких — не с местоимениями;
  • из-за — дефисное написание предлогов;
  • не ожиданно — не с наречиями;
  • пепельно-седое, Южно-Китайского, юго-восточные, Арало-Каспийских — дефис в сложных прилагательных;
  • не знакомым (новым), не понятный (странный), не обыкновенной (удивительной) — не с прилагательными;
  • рассвет — правописание приставок на з-,с-
  • сух о ве и — правописание сложных слов с соединительной гласной.

Источник

Урок 40 Бесплатно Раскрытие скобок

Ученые, открывая все новые математические законы и правила, вместе с тем, придумывали различные обозначения, символы и знаки.

различные обозначения, символы и знаки

Математические знаки и символы — это условные обозначения, которые используют для записи математических предложений, понятий, терминов и т.п.

Система математических знаков и символов представляет собой математический язык, который упрощает и сокращает процесс изложения информации, позволяет точнее выразить мысль и избежать неверной трактовки и ошибок.

Кроме букв алфавитов и цифр математический язык содержит огромное множество различных символов и знаков.

Одним из наиболее часто используемых символов являются скобки.

На этом уроке рассмотрим, какие основные виды скобок существуют в математике, их обозначение и применение.

Выясним, что обозначает понятие «раскрыть скобки», познакомимся с правилами раскрытия скобок и разберем примеры применения данных правил.

Скобки в математике и их предназначение

Скобки являются парными знаками (за исключением некоторых математических обозначений): обычно первая в паре скобка- открывающая, вторая- закрывающая.

Парные скобки ограничивают часть некоторого математического выражения, т.е. заключают в себе некоторую часть целой математической записи.

В математике применяют несколько видов скобок.

В математике применяют несколько видов скобок

Чаще всего используют три вида скобок: круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ] и фигурные скобки <>

Круглые скобки используют:

  • для обозначения выражения, с которым проводится математические действия, например, возведение в степень (a+b) 2 и т.п.
  • для указания координаты точки
  • для указания периода в записи десятичной дроби
  • для заключения отрицательного числа в выражениях (т.е. разделение математической операции и знака числа)

Круглые скобки используют часто в математических выражениях для указания последовательности и приоритета математических действий и логических операций или изменения принятого порядка этих действий.

Квадратные скобки в математике, например, используют для обозначения целой части числа, для определения приоритета операции (аналогично круглым скобкам), в качестве скобок «второго уровня» и др.

Фигурные скобки применяют, например, для обозначения множеств. Одинарная фигурная скобка обозначает объединение неравенств или уравнений в систему.

Используется двойная фигурная скобка, подобно круглым и квадратным скобкам, для разграничения приоритета действий в математических выражениях, в качестве скобок «третьего уровня» и др.

Вспомним порядок выполнения действий в выражениях со скобками.

Вспомним порядок выполнения действий в выражениях со скобками

По правилу, в выражении, содержащем скобки, первыми выполняются действия, стоящие в скобках, далее по порядку умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

На примере рассмотрим использование скобок для указания порядка действий или изменении этого порядка.

Пример:

Дано выражение \(\mathbf<8 + 5 \cdot 2>\)

Найдем значение этого выражения, используя правило, которое определяет порядок выполнения действий в математических выражениях.

Так как скобок в данном примере нет, то первым действием выполняется операция умножения, затем — сложения, получаем

Ответ: 18

Если выражение будет содержать все те же числа и математические операции, но будет записано в виде: \(\mathbf<(8 + 5)\cdot 2>\), то в первую очередь выполняется действие в скобках, а затем умножение, получим

Ответ: 26

Мы можем заметить, что при изменении порядка действий с помощью скобок изменилось значение выражения.

Существуют выражения, которые содержат несколько пар скобок. В этом случае действия выполняют, начиная с первой скобки, и далее по порядку слева направо в следующих скобках, затем все действия согласно известным правилам, определяющим порядок выполнения математических операций в выражениях.

Пример:

Дано выражение \(\mathbf<(16 - 4) + 2 \cdot (6 - 5)>\), определим порядок действий в нем.

Первым делом выполняются действия в скобках, затем умножение, далее сложение.

Решение будет выглядеть так:

Иногда встречаются выражения, где применяются сложные сочетания скобок (вложенные скобки).

Выполнять действия следует с внутренних скобок, затем математические операции проводят, продвигаясь ко внешним скобкам.

Пример:

Определим порядок действий в выражение \(\mathbf<(3 \cdot (4 + 6) -7) \cdot 2>\)

Решение будет выглядеть так:

Ответ: 46

Для того, чтобы проще было различить одну пару скобок от другой, скобки обозначают разными размерами, либо дополнительно применяют квадратные и фигурные скобки, либо скобки изображают попарно разным цветом.

1. Скобки обозначены разных размеров:

2. Дополнительно применены квадратные и фигурные скобки:

3. Скобки изображены попарно разным цветом:

( ( ( 4 + 2 ) ∙ 5 — 0,5 ) — 6 ∙ 1,5 ) ÷ 2 — 1

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Скобки в качестве символа математического языка стали использовать в XVI— начале XVII века.

Первыми появились скобки [ ] в 1550 г. их ввел итальянский математик Рафаэль Бомбелли.

Круглые скобки ( ) появились в 1556 г.

Итальянский математик Никколо Тарталье впервые применил круглые скобки в написанной им в 1556 г.,книге под названием «Общие исследования чисел и мер».

Фигурные скобки появились немного позже, в 1593 году, благодаря французскому математику Франсуа Виету.

Читайте также:  Таблица название природной зоны климат почва растения животные

Несмотря на появление скобок различных видов, долгое время многие ученые, математики предпочитали вместо скобок подчеркивать выделяемое выражение или изображать линию над выделяемым выражением.

Широкое распространение скобки получили позже (в первой половине XVIII века), благодаря математикам Г. В. Лейбницу и Л. Эйлеру

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Раскрытие скобок

Как вам уже известно, скобки в математических выражениях часто используют для разграничения рядом стоящих знаков или для объединения и перегруппировки чисел, с которыми будут выполнятся определенные математические действия.

Но иногда при решении математических выражений удобно раскрыть скобки, нежели высчитывать их значение.

Раскрыть скобки- это значит освободить выражение от скобок, избавить выражение от лишних знаков, тем самым упростить его для вычисления.

Значение выражение со скобками и значение выражения, полученное после раскрытия скобок, равны, их записывают в виде равенства.

При преобразовании громоздких выражений, в которых содержится большое количество скобок, возникает потребность записывать промежуточные результаты вычислений. В таких случаях решение записывается в виде цепочки равенств.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Разберем случаи, когда перед скобками стоит знак плюс «+».

1. Выражение вида а + (-b) можно записать, опустив скобки.

Так как вычитание обратное действие сложению (т.е. прибавить число (-b) -это тоже самое, что вычесть положительное число b), получаем равенство

а + (-b) = а — b

2. Выражение вида а + (b+ c) можно записать без скобок.

Согласно сочетательному свойству сложения, если к числу прибавить сумму двух чисел, то нужно сначала к этому числу прибавить первое слагаемое, а затем второе слагаемое.

а + (b + c) = а + b + c

3. Рассмотрим еще одно выражение а + (b c), и преобразуем это выражение в выражение без скобок.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его знак определяется как знак плюс «+».

Известно, что вычитание можно заменить сложением, следовательно:

а + (b c) = а + (b+ (-c))

Применив сочетательное свойство, упростим выражение а + (b+ (-c)), в результате получим:

а + (b c) = а + b c

Рассуждая подобным образом, попробуем преобразовать еще два выражения со скобками.

4. Преобразуем выражение вида а + (-b+ c) в выражение без скобок.

Зная, что вычитание можно заменить сложением и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

а + (-b+ c) = а + ((-b) + c) = а — b+ c, т.е. получаем равенство

а + (-b + c) = а — b + c

5. Преобразуем выражение вида а + (-b c) в выражение без скобок.

Зная, что вычитание можно заменить сложением, и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

а + (-b c) = а + ((-b) + (-c)) = а — b c, т.е. получаем равенство

а + (-b c) = а — b c

Заметим, что в левой части каждого из равенств перед скобкой стоит знак «+», а слагаемые, стоящие в скобке, после преобразования сохраняют свои знаки:

а + (-b) = а — b

Пример: 15 + (-5) = 15 — 5 = 10

а + (b + c) = а + b+ c

Пример: 15 + (5 + 2) = 15 + 5 + 2 = 22

а + (b c) = а + b c

Пример: 15 + (5 — 2) = 15 + 5 — 2 = 18

а + (-b + c) = а — b + c

Пример: 15 + (-5 + 2) = 15 — 5 + 2 = 12

а + (-b c) = а — b c

Пример: 15 + (-5 — 2) = 15 — 5 — 2 = 8

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс:

Если перед скобками стоит знак плюс или не стоит никакого знака, то этот знак «+» и скобки необходимо опустить, сохранив знаки слагаемых, которые стояли в скобках.

Пример:

Найдите значения выражения -4 + (3 — 1 + 4).

Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+».

Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

-4 + (3 — 1 + 4) = -4 + 3 — 1 + 4 = 4 — 4 + 3 — 1= 0 + 3 — 1 = 3 — 1 = 2

Ответ: 2

Рассмотрим случаи, когда перед раскрываемыми скобками стоит знак минус «-».

Вспомним, какие числа называют противоположными: два числа называют противоположными, если они отличны друг от друга только знаками, модули их равны.

Число а противоположно числу (-а).

-(-а) противоположно числу (-а).

Тогда верно утверждение, что -(-а) = а

Найдем значение выражения: -(-8 + 4)

Определим значение данного выражения двумя способами:

1. Найдем значение суммы в скобках, затем полученную сумму запишем со знаком минус «-».

-(-8 + 4) = -(-4) = 4

2. Раскроем скобки.

Чтобы найти сумму противоположную сумме нескольких слагаемых, действуем по аналогии с утверждением -(-а) = а — необходимо изменить знаки слагаемых на противоположные.

-(-8 + 4) = 8 — 4 = 4

В первом и во втором случае получили одинаковый результат, он равен четырем.

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус.

Если перед скобками стоит знак минус, то этот знак «-» и скобки необходимо опустить, изменив знаки слагаемых, которые стояли в скобках на противоположные (знак минус меняется на плюс, знак плюс на минус).

Рассмотрим несколько равенств и раскроем скобки в них согласно данному правилу.

а — (-b) = а + b

Пример: 10 — (-5) = 10 + 5 = 15

а — (b + c) = а — b c

Пример: 20 — (5 + 3) = 20 — 5 — 3 = 15 — 3 = 12

а — (b c) = а — b + c

Пример: 20 — (5 — 3) = 20 — 5 + 3 = 15 + 3 = 18

а — (-b + c) = а + b c

Пример: 20 — (-5 + 3) = 20 + 5 — 3 = 25 — 3 = 22

а — (-b c) = а + b+ c

Пример: 20 — (-5 — 3) = 20 + 5 + 3 = 25 + 3 = 28

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

В математике существуют правила достаточно объемные и сложные для понимания.

Благодаря стихотворной форме некоторые математические законы, правила и формулы становятся проще для запоминания и усвоения.

В связи с этим математики придумали множество забавных стихотворений о правилах раскрытия скобок.

Вот некоторые из них:

1. Если перед скобкой минус,

Он ведет себя как вирус.

Скобки сразу все съедает,

Всем, кто в скобках, знак меняет.

Ну, а если плюс стоит,

Он все знаки сохранит.

2. Перед скобкой плюс стоит,

Он о том и говорит,

Что ты скобки опускай,

Да все числа выпускай.

Перед скобкой минус строгий

Загородит нам дорогу.

Чтобы скобки все убрать,

Надо знаки поменять.

3. Перед скобкой вижу плюс,

Ошибиться не боюсь.

Пример:

Вычислите значение выражения 15 — (4 + 15 — 3).

Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-».

Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

15 — (4 + 15 — 3) = 15 — 4 — 15 + 3 = 15 — 15 — 4 + 3 = 0 — 4 + 3 = -4 + 3 = -1

Ответ: -1

Разберем правило раскрытия скобок при умножении числа на сумму (суммы на число).

Правило раскрытия скобок для данного случая звучит так:

Для раскрытия скобок в выражениях, содержащих умножение суммы на число или числа на сумму, используется распределительное свойство умножения относительно сложения.

Если число с положительное, то знаки слагаемых a и b не изменяются.

Если число с отрицательное, то знаки слагаемых a и b меняются на противоположные.

Пример:

Найдите значение выражения \(\mathbf<(7,2 - 5,3) \cdot 2>\)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

Ответ: 3,8

Пример:

Найдите значение выражения \(\mathbf<(7,2 - 5,3) \cdot (-2)>\)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

Ответ: -3,8

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник

Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

Раскрытие скобок является одним из видов преобразования выражения. В этом разделе мы опишем правила раскрытия скобок, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся примеры задач.

Что называется раскрытием скобок?

Скобки используются для указания на порядок выполнения действий в числовых и буквенных выражениях, а также в выражениях с переменными. От выражения со скобками удобно перейти к тождественно равному выражению без скобок. Например, заменить выражение 2 · ( 3 + 4 ) на выражение вида 2 · 3 + 2 · 4 без скобок. Этот прием носит название раскрытия скобок.

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

  • знаки « + » или « — » перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
  • произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5 + ( − 3 ) − ( − 7 ) к 5 − 3 + 7 . Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида ( a + b ) · ( c + d ) на сумму a · c + a · d + b · c + b · d . Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x 2 · 1 a — x + sin ( b ) будет соответствовать выражение без скобок вида x 2 · 1 a — x 2 · x + x 2 · sin ( b ) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3 − ( 5 − 7 ) мы получаем выражение 3 − 5 + 7 . Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3 − ( 5 − 7 ) = 3 − 5 + 7 .

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например, 5 − ( 3 − ( 2 − 1 ) ) = 5 − ( 3 − 2 + 1 ) = 5 − 3 + 2 − 1 или 5 − ( 3 − ( 2 − 1 ) ) = 5 − 3 + ( 2 − 1 ) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, ( − 4 ) и 3 + ( − 4 ) . Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а , + ( а ) на + а , — ( а ) на – а . Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число ( 5 ) запишется как 5 , выражение 3 + ( 5 ) без скобок примет вид 3 + 5 , так как + ( 5 ) заменяется на + 5 , а выражение 3 + ( − 5 ) эквивалентно выражению 3 − 5 , так как + ( − 5 ) заменяется на − 5 .

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. + ( − a ) мы заменяем на − a , − ( − a ) заменяется на + a . Если выражение начинается с отрицательного числа ( − a ) , которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо ( − a ) остается − a .

Приведем примеры: ( − 5 ) можно записать как − 5 , ( − 3 ) + 0 , 5 принимает вид − 3 + 0 , 5 , 4 + ( − 3 ) превращается в 4 − 3 , а − ( − 4 ) − ( − 3 ) после раскрытия скобок принимает вид 4 + 3 , так как − ( − 4 ) и − ( − 3 ) заменяется на + 4 и + 3 .

Следует понимать, что записать выражение 3 · ( − 5 ) как 3 · − 5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a − b равна a + ( − b ) . На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств ( a + ( − b ) ) + b = a + ( ( − b ) + b ) = a + 0 = a , которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a + ( − b ) — это разность a − b .

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что − ( − a ) = a , a − ( − b ) = a + b .

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) . Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) = − ( − ( ( − 5 ) ) ) = − ( − ( − 5 ) ) = − ( 5 ) = − 5 . Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: − ( − ( ( − ( 5 ) ) ) ) = ( ( − ( 5 ) ) ) = ( − ( 5 ) ) = − ( 5 ) = − 5 .

Читайте также:  Гормоны щитовидной железы и их недостаток

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком « + » впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение − ( − 2 · x ) − ( x 2 ) + ( − 1 x ) − ( 2 · x · y 2 : z ) примет вид 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2 : z . Как мы это сделали? Мы знаем, что − ( − 2 · x ) есть + 2 · x , а так как это выражение стоит вначале, то + 2 · x можно записать как 2 · x , − ( x 2 ) = − x 2 , + ( − 1 x ) = − 1 x и − ( 2 · x · y 2 : z ) = − 2 · x · y 2 : z .

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел − a и − b вида ( − a ) · ( − b ) мы можем заменить на ( a · b ) , а произведения двух чисел с противоположными знаками вида ( − a ) · b и a · ( − b ) заменить на ( − a · b ) . Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел — 4 3 5 и — 2 , вида ( — 2 ) · — 4 3 5 . Для этого заменим исходное выражение на 2 · 4 3 5 . Раскроем скобки и получим 2 · 4 3 5 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел ( − 4 ) : ( − 2 ) , то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4 : 2

На месте отрицательных чисел − a и − b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении — 3 · x x 2 + 1 · x · ( ln 5 ) . Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования: — 3 · x x 2 + 1 · x · ( ln 5 ) = — 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 = 3 · x x 2 + 1 · x · ln 5 .

Выражение ( − 3 ) · 2 можно преобразовать в выражение ( − 3 · 2 ) . После этого можно раскрыть скобки: − 3 · 2 .

2 3 · — 4 5 = — 2 3 · 4 5 = — 2 3 · 4 5

Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок: ( − 5 ) : 2 = ( − 5 : 2 ) = − 5 : 2 и 2 3 4 : ( — 3 , 5 ) = — 2 3 4 : 3 , 5 = — 2 3 4 : 3 , 5 .

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два примера.

— 1 x + 1 : x — 3 = — 1 x + 1 : x — 3 = — 1 x + 1 : x — 3

sin ( x ) · ( — x 2 ) = ( — sin ( x ) · x 2 ) = — sin ( x ) · x 2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Для примера, возьмем выражение 5 · ( − 3 ) · ( − 2 ) , которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как ( 5 · 3 · 2 ) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5 · 3 · 2 .

В произведении ( − 2 , 5 ) · ( − 3 ) : ( − 2 ) · 4 : ( − 1 , 25 ) : ( − 1 ) пять чисел являются отрицательными. поэтому ( − 2 , 5 ) · ( − 3 ) : ( − 2 ) · 4 : ( − 1 , 25 ) : ( − 1 ) = ( − 2 , 5 · 3 : 2 · 4 : 1 , 25 : 1 ) . Окончательно раскрыв скобки, получаем −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и — 1 или — 1 заменяем на ( − 1 ) · a .

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные − 1 , в начало выражения. Произведение четного числа минус единиц равно 1 , а нечетного – равно − 1 , что позволяет нам использовать знак минус.

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении — 2 3 : ( — 2 ) · 4 : — 6 7 выглядела бы следующим образом:

— 2 3 : ( — 2 ) · 4 : — 6 7 = — 2 3 · — 1 2 · 4 · — 7 6 = = ( — 1 ) · 2 3 · ( — 1 ) · 1 2 · 4 · ( — 1 ) · 7 6 = = ( — 1 ) · ( — 1 ) · ( — 1 ) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = ( — 1 ) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = — 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

x 2 · ( — x ) : ( — 1 x ) · x — 3 : 2 .

Его можно привести к выражению без скобок x 2 · x : 1 x · x — 3 : 2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Для примера приведем выражение ( 12 − 3 , 5 ) − 7 . Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид ( 12 − 3 , 5 ) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как + 12 − 3 , 5 − 7 = 12 − 3 , 5 − 7 .

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x и проведем с ним действия x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x = = x + 2 a — 3 x 2 + 1 — x 2 — 4 + 1 x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 + ( — 1 + x — x 2 ) = = 2 + x 2 + 1 x — x · y · z + 2 · x — 1 — 1 + x + x 2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение. Согласно правилу раскрытия скобок, перед которыми стоит знак « — », скобки со знаком « — » опускаются, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

— — 1 2 = 1 2 , — 1 x + 1 = — 1 x + 1 , — ( — x 2 ) = x 2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

— — x + x 3 — 3 — — 2 · x 2 + 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 ,

получаем x — x 3 — 3 + 2 · x 2 — 3 · x 3 · x + 1 x — 1 — x + 2 .

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида ( a 1 ± a 2 ± … ± a n ) · b = ( a 1 · b ± a 2 · b ± … ± a n · b ) или b · ( a 1 ± a 2 ± … ± a n ) = ( b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n ) , где a 1 , a 2 , … , a n и b – некоторые числа или выражения.

Например, проведем раскрытие скобок в выражении ( 3 − 7 ) · 2 . Согласно правилу, мы можем провести следующие преобразования: ( 3 − 7 ) · 2 = ( 3 · 2 − 7 · 2 ) . Получаем 3 · 2 − 7 · 2 .

Раскрыв скобки в выражении 3 · x 2 · 1 — x + 1 x + 2 , получаем 3 x 2 · 1 — 3 · x 2 · x + 3 · x 2 · 1 x + 2 .

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида ( a 1 + a 2 ) · ( b 1 + b 2 ) . Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение ( b 1 + b 2 ) как b . Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим ( a 1 + a 2 ) · ( b 1 + b 2 ) = ( a 1 + a 2 ) · b = ( a 1 · b + a 2 · b ) = a 1 · b + a 2 · b . Выполнив обратную замену b на ( b 1 + b 2 ) , снова применим правило умножения выражения на скобку: a 1 · b + a 2 · b = = a 1 · ( b 1 + b 2 ) + a 2 · ( b 1 + b 2 ) = = ( a 1 · b 1 + a 1 · b 2 ) + ( a 2 · b 1 + a 2 · b 2 ) = = a 1 · b 1 + a 1 · b 2 + a 2 · b 1 + a 2 · b 2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

( a 1 + a 2 + . . . + a m ) · ( b 1 + b 2 + . . . + b n ) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Проведем раскрытие скобок в выражении ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) Оно представляет собой произведение двух сумм. Запишем решение: ( 1 + x ) · ( x 2 + x + 6 ) = = ( 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6 ) = = 1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение ( 1 − x ) · ( 3 · x · y − 2 · x · y 3 ) .

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: ( 1 + ( − x ) ) · ( 3 · x · y + ( − 2 · x · y 3 ) ) . Теперь мы можем применить правило: ( 1 + ( − x ) ) · ( 3 · x · y + ( − 2 · x · y 3 ) ) = = ( 1 · 3 · x · y + 1 · ( − 2 · x · y 3 ) + ( − x ) · 3 · x · y + ( − x ) · ( − 2 · x · y 3 ) )

Раскроем скобки: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении ( 2 + 4 ) · 3 · ( 5 + 7 · 8 ) .

В выражении содержится сразу три множителя ( 2 + 4 ) , 3 и ( 5 + 7 · 8 ) . Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: ( 2 + 4 ) · 3 · ( 5 + 7 · 8 ) = ( ( 2 + 4 ) · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) .

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ( ( 2 + 4 ) · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) = ( 2 · 3 + 4 · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) .

Умножаем скобку на скобку: ( 2 · 3 + 4 · 3 ) · ( 5 + 7 · 8 ) = 2 · 3 · 5 + 2 · 3 · 7 · 8 + 4 · 3 · 5 + 4 · 3 · 7 · 8 .

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения ( a + b + c ) 2 . Его можно записать в виде произведения двух скобок ( a + b + c ) · ( a + b + c ) . Произведем умножение скобки на скобку и получим a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c .

Разберем еще один пример:

1 x + 2 3 = 1 x + 2 · 1 x + 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x + 1 x · 2 + 2 · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 · 2 · 2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, ( x 2 — x ) : 4 = x 2 : 4 — x : 4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении ( x + 2 ) : 2 3 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число ( x + 2 ) : 2 3 = ( x + 2 ) · 2 3 . Умножим скобку на число ( x + 2 ) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .

Вот еще один пример деления на скобку:

1 x + x + 1 : ( x + 2 ) .

Заменим деление умножением: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 .

Выполним умножение: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

  • первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
  • на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
  • заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения ( − 5 ) + 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) − 6 · ( − 7 ) . Намнем преобразование с выражений 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) и 6 · ( − 7 ) , которые должны принять вид ( 3 · 2 : 4 ) и ( − 6 · 7 ) . При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: ( − 5 ) + 3 · ( − 2 ) : ( − 4 ) − 6 · ( − 7 ) = ( − 5 ) + ( 3 · 2 : 4 ) − ( − 6 · 7 ) . Раскрываем скобки: − 5 + 3 · 2 : 4 + 6 · 7 .

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Источник