Меню

Таблица синусов и косинусов таблица синусов косинусов шпаргалка

Лёгкое запоминание синусов и косинусов

Всем привет! Добро пожаловать на канал, посвящённый математике.

Помните, в статье о тригонометрических функциях я напомнил Вам о том, что для некоторых градусных мер известны их точные значения. В публикации была приведена таблица с этими значениями. Наверное, Вы помните, каких усилий в школе стоило выучить эти числа? 🙂 Я и сейчас вспоминаю это время. 🙂 Возможно, кому-то из Вас преподаватель показал простой метод для запоминания табличных значений синуса, косинуса и тангенса? Нам — нет. Не все учителя знают об этом способе, хотя он лежит на поверхности и значительно облегчает запоминание. Если честно, я сам совсем недавно узнал о нём и пришёл от него в восторг. Сегодня хочу поделиться им с Вами. Надеюсь, кому-то это поможет.

Итак, для начала снова вспомним табличные значения синуса и косинуса. Я не буду здесь брать во внимание тангенс, поскольку его значение, зная синус и косинус, всегда можно легко найти, разделив значение синуса угла на его же косинус. Вот эта таблица для углов от 0 до 90 градусов:

А теперь мы немного видоизменим числа в этой таблице. Значения останутся прежними, изменится только внешний вид. Но благодаря этому изменению запомнить значения станет гораздо проще. Вот как будет выглядеть изменённая таблица:

Думаю, Вы поняли, в чём тут дело. Нужно лишь запомнить, что синус на промежутке от 0 до 90 градусов возрастает от 0 до 1, косинус — наоборот. Остальные значения легко запоминаются благодаря тому, что в числителях дробей под знаком радикала (корня) последовательно помещаются числа от 1 до 4 для синуса и от 4 до 1 — для косинуса. Согласитесь, в таком виде запомнить таблицу гораздо легче.

Вот такой простой способ для того, чтобы выучить значения тригонометрических функций! 🙂 Надеюсь, Вам он понравился. О нём можно рассказать своим детям, когда они начнут изучать тригонометрию. Уверен, дети будут Вам очень благодарны!

Спасибо, что прочитали статью! Буду рад Вашим лайкам, комментариям, подпискам.

Источник

Все о таблице Брадиса: синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы

  • Что такое таблица Брадиса
  • Функциональные возможности таблицы
  • Таблица синусов и косинусов
  • Таблица для тангенсов и котангенсов
  • Значения от 181 до 360 градусов
  • Практические примеры использования таблицы

Что такое таблица Брадиса

Использование калькуляторов при сложных расчетах (например, формулах с применением логарифмов) сегодня считается стандартом по умолчанию. Но еще 20-30 лет назад, когда вычислительная техника была распространена не так сильно, на помощь приходили другие способы вычислений — с помощью специальных таблиц, логарифмической линейки или арифмометра.

Таблица Брадиса — математическое пособие, в котором собраны таблицы, необходимые для работы по курсу математики и для практических вычислений, созданное Владимиром Модестовичом Брадисом.

Свое название они получили от брошюры «Четырехзначные математические таблицы», составленной Владимиром Брадисом. Книга неоднократно переиздавалась в советское время большими тиражами (до 500 000 экземпляров) и широко использовалась в учебном процессе — на уроках алгебры, геометрии и физики.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Функциональные возможности таблицы

Самыми распространенными являются таблицы, содержащие тригонометрические функции (например, синус, косинус, тангенс, котангенс и арктангенс).

В целом, в сборнике Брадиса содержалось более 20 таблиц, в том числе, помогавшие найти значения:

  • значение дробей вида 1/n;
  • квадратов;
  • квадратных корней;
  • площади круга определенного диаметра;
  • радианной меры;
  • мантиссы десятичных логарифмов;
  • номограммы для решения отдельных уравнений.

Таблица синусов и косинусов

Таблица синусов

В силу широкого использования синусов и косинусов в учебных задачах, это самая распространенная из таблиц Брадиса. Она дает значение этих тригонометрических функций для любого острого угла от 0° до 90°. С помощью дополнительных колонок можно находить и более точные спецификации. Это 6′, 12′,18, 24′, 30′, 36′, 42′, 48′ и 54′ для углов указанного диапазона, например:

  • \(\sin\;10^\circ\;=\;0,1736\) . С помощью дополнительных колонок находим — \(\sin\;10^\circ\;12’\;=\;0,1771,\;\sin\;10^\circ\;24’\;=\;0,1805\) ;
  • \(\sin\;50^\circ\;=\;0,7660\) . Обращаясь к дополнительной колонке выясняем, что \(\sin\;50^\circ\;12’\;=\;0,7683,\;\sin\;50^\circ\;24’\;=\;0,7705\) .

Если нужны еще более точные показатели, то нужно использовать поправочные коэффициенты, отнимая и прибавляя их к ближайшему табличному значению минут. Используя их, находим:

Для нахождения косинусов можно использовать значения в правой колонке, но куда удобнее вычислять через синус угла, дополняющего до 90°. В этом случае:

Аналогично проводят и более точные вычисления, в том числе — с использованием поправочных коэффициентов:

Таблица для тангенсов и котангенсов

Таблица Брадиса

Аналогичным образом с помощью соответствующей таблицы Брадиса можно найти значения тангенса:

  • \(tg\;10^\circ\;=\;0,1763\) . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(tg\;10^\circ\;12’\;=\;0,1799,\;tg\;10^\circ\;24’\;=\;0,1835\) ;
  • \(tg\;50^\circ\;=\;1,1918\) . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(tg\;50^\circ\;12’\;=\;1,2002,\;tg\;50^\circ\;24’\;=\;1,2088\) .

Для более точных показателей применяем поправочные коэффициенты (аналогично, как для таблиц синуса и косинуса):

С помощью правой колонки таблицы Брадиса со значением тангенсов можно найти котангенс. Альтернативный вариант — вычисление через тангенс угла, дополняющего искомый до 90°:

  • \(ctg\;10^\circ\;=\;tg\;80^\circ\;=\;5,671\) . Прибегая к помощи дополнительных колонок находим — \(сtg\;10^\circ\;12’\;=\;5,558,\;сtg\;10^\circ\;24’\;=\;5,449\) (аналогичные результаты могут быть получены, если посмотреть в значение тангенса дополняющих углов — 79° 48′ и 79° 36′ соответственно);
  • \(ctg\;50^\circ\;=\;0,8391\) . Заглянув в дополнительную колонку выясняем, что \(ctg\;50^\circ\;12’\;=\;0,8332,\;ctg\;50^\circ\;24’\;=\;0,8273\) (как вариант, можно уточнить значение тангенса дополняющих углов — 39° 48′ и 39° 36′).

Важно отметить, что значения тангенсов (и соответствующих им котангенсов) распределены по двум таблицам:

  • тангенсы углов от 0° до 76° (и котангенсы от 90° до 24°);
  • tg от 76° до 90° (и ctg от 24° до 0°).

Такое разделение связано с особенностями предоставления информации. Для котангенсов углов, близких к 90° (и котангенсам острых углов) проблематично использовать общие поправки, поэтому значения там даются индивидуально для каждого значения.

Например, в отдельных строках таблицы, без применения поправочных величин, приводятся:

  • \(tg\;80^\circ\;(и\;ctg\;10^\circ)\;=\;5,671\) ;
  • \(tg\;80^\circ\;1’\;(и\;ctg\;10^\circ\;59′)\;=\;5,681\) ;
  • \(tg\;80^\circ\;2’\;(и\;ctg\;10^\circ\;58′)\;=\;5,\;691\) ;
  • и так далее.

Величину тангенса и котангенса можно узнать и имея в наличии только таблицу Брадиса по синусам и косинусам. Для этого надо воспользоваться формулами:

Подставляя необходимые значения получим:

Значения от 181 до 360 градусов

Таблицы Брадиса дают значения для углов от 0° до 90°. Остальные величины можно легко найти с помощью формул приведения. В этом случае угол, величину которого необходимо узнать, представляется как сумма (или разность) угла, кратного 90° и острого угла, например, для 140° это будет:

  • 90° + 50°;
  • 180° — 40°.

Формулы приведения, которые используются в этом случае, имеют вид:

Для примера можно провести расчет для ситуации, когда угол в 140° представлен как 90° + 50°:

  • \(\sin\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;\cos\;50^\circ\;=\;0,6428\) ;
  • \(\cos\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;-\sin\;50^\circ\;=\;-0,7660\) ;
  • \(tg(90^\circ+50^\circ)=-ctg50^\circ=-0,8391\) ;
  • \(ctg\;(90^\circ\;+\;50^\circ)\;=\;tg\;50^\circ\;=\;1,1918\) .

Практические примеры использования таблицы

Таблицам Брадиса легко можно найти применение в современном учебном процессе, например, выполняя школьные уроки.

Задача №1

10-метровая лестница опирается на здание таким образом, что имеет угол наклона 35°. Необходимо узнать расстояние от земли до ее вершины.

Решение

Имеем треугольник, где угол BСA = 90°, BАC = 30°. По определению^

где ВС — высота лестницы, которую нужно найти, а АВ — известная из условия длина.

Читайте также:  Как узнать размер стопы таблица размеров

Узнав из таблицы Брадиса нужный синус и подставив все известные значения в формулу, можно найти ответ:

ВС (высота лестницы) = 10 м х 0,5736 = 5,736 метров.

Задача №2

Найдете длину тени от маяка высокой 30 м, если солнце находится в 60° над горизонтом.

Решение

Схематически условия задачи можно представить в виде треугольника, с прямым углом ВСА, и ВАС = 55°. По определению:

где АВ — высота маяка, а СВ — длина тени.

Определив по таблице Брадиса нужную величину и подставив в формулу все известные значения, получим:

СВ (длина тени) = 30 м / 1,732 = 17,32 метра.

Источник



Таблица синусов и косинусов таблица синусов косинусов шпаргалка

ТЕРПЕНЬЕ И ТРУД ВСЁ ПЕРЕТРУТ! 🙂

Содержание сайта

Раздел 1.
Про ЕГЭ.
  • Как проходит ЕГЭ?
    >
    • Перед экзаменом.
    • Во время экзамена.
    • По окончании экзамена.

  • Что будет на ЕГЭ по математике?
    >
    • Базовый и профильный уровни.
    • Как работать на ЕГЭ?

  • Система оценок в ЕГЭ

  • Как готовиться к ЕГЭ?

Раздел 2.
ЕГЭ на 3.
  • Как учить математику?

  • Дроби
    >
    • Виды дробей. Преобразования.
    • Сложение и вычитание дробей.
    • Умножение и деление дробей.

  • Уравнения
    >
    • Как решать уравнения? Тождественные преобразования.
    • Линейные уравнения.
    • Квадратные уравнения. Дискриминант.
    • Дробные уравнения. ОДЗ.

  • Решение задач по математике
    >
    • Как решать задачи по математике?
    • Что такое математическая модель? Составление математической модели.
    • Задачи на движение.
    • Задачи на работу.

  • Проценты. Задачи на проценты

  • Числовые и алгебраические выражения. Преобразования выражений
    >
    • Числовые и алгебраические выражения. Тождественные преобразования.
    • Разложение на множители.
    • Формулы сокращённого умножения.

  • Квадратные корни
    >
    • Что такое квадратный корень?
    • Свойства (формулы) корней. Как умножать корни?
    • Как делить корни? Корень из квадрата. Корень в квадрате.

  • Арифметическая прогрессия
    >
    • Понятие арифметической прогрессии. Разность прогрессии.
    • Формула n-го члена арифметической прогрессии.
    • Сумма арифметической прогрессии.

  • Логарифмы. Основы

Раздел 3.
ЕГЭ на 4.

  • Тригонометрия. Основные понятия
    >
    • Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?
    • Тригонометрический круг. Единичная окружность. Числовая окружность.
    • Отсчёт углов на тригонометрическом круге.
    • Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.
    • Таблица синусов. Таблица косинусов. Таблица тангенсов и котангенсов.
    • Как не забыть таблицу синусов и косинусов.
    • Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

  • Тригонометрия. Решение уравнений
    >
    • Решение тригонометрических уравнений с помощью круга.
    • Решение тригонометрических уравнений с помощью формул.

  • Неравенства
    >
    • Линейные неравенства. Решение, примеры.
    • Квадратные неравенства. Решение, примеры.

  • Показательные уравнения

  • Логарифмические уравнения
    >
    • Простейшие логарифмические уравнения
    • ОДЗ в логарифмических уравнениях

Таблица синусов и косинусов.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

Продолжаем осваивать таблицу синусов и косинусов. А именно — привыкаем работать с необходимыми табличными значениями без механической зубрёжки. И, разумеется, без бумажек-шпаргалок. Это несложно. Если голову включить. Голова нужна не только шапку носить, да. )

Итак, в предыдущем уроке мы разбили углы, про которые нужно знать всё, на три группы. Первая группа — углы, попадающие точно на оси координат. Вторая группа — всего три угла: 30°, 45°, 60°. Значения таблицы синусов и косинусов для этих трёх углов приходится-таки вызубрить. Аж все три значения!)

Осталась последняя, третья группа углов.

Третья группа углов.

Вот эти девять углов:

120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°.

Надо железно знать таблицу синусов и косинусов для этих углов. Вот как выглядят эти углы в радианах:

Для пущего устрашения я добавлю, что это углы, которые лежат в пределах всего лишь одного оборота. Т.е в пределах 360°. А надо знать значения таблицы синусов и косинусов и за этими пределами. Скажем, синус 855°, или косинус 21пи/4 вы знать обязаны.

Что, меркнут краски жизни!?)

Спокойствие! Нас спасут житейская смекалка и тригонометрический круг! Я же предупреждал, что с помощью круга все эти несусветные проблемы (и не только эти!) можно решить за пару минут. Слегка скучая.)

В конце предыдущего урока я задавал вопрос: чего особенного в этих девяти углах? Кто сообразил, тот справится. Кто не сообразил, тот прямо сейчас узнает тайну этих углов и тоже справится! Внимайте!

Дело в том, что все эти углы составлены из углов предыдущих двух групп. Например:

Кстати, можно использовать не сумму, а разность, например:

Другими словами, каждый угол из этой группы есть сумма (разность) одного угла из первой группы (те, что попадают на оси координат) и одного угла из второй группы (30, 45, 60). Нет, можно конечно разбить углы на сумму/разность каких попало, но оно нам совсем не надо.) Надо: один угол — из первой группы и один из второй.

И как же мы будем использовать этот замечательный факт? Просто складывать-вычитать синусы? Разочарую. Синус суммы углов вовсе не равен сумме синусов каждого угла! Запомните это накрепко! Для суммы есть своя длинная формула. Но такое особое устройство углов позволит нам находить их синусы-косинусы одной левой.) Без таблицы синусов и косинусов.

Здесь нет никакой особой теории. Чистая практика! Поэтому показываю на примерах.

Итак, пусть нам надо найти косинус 150 градусов. Подозреваю, что далеко не каждый сразу и уверенно вспомнит это значение таблицы синусов и косинусов. Ох, не каждый. ) А если и вспомнит, сомнения будут грызть. Посему работаем надёжно!

Прежде всего соображаем, из каких особых углов он состоит. Рекомендую в качестве угла из первой группы выбирать 180° или 360° Далее поймёте, почему. Легко сообразить, что:

Отлично! Разложился угол классически. Один — из первой группы, другой — из второй. Теперь нарисуем угол 150° на тригонометрическом круге. На глаз нарисуем, примерно. Но рисовать будем, глядя на разложение:

Говоря житейским языком, мы крутим подвижную сторону угла (где точка А) на 180° в плюс (против часовой стрелки), затем отматываем угол на 30° обратно!) Надеюсь, вы уже знаете, как отсчитывать углы на тригонометрическом круге? Без этих знаний — никак.

Получаем вот такую картинку:

Зелёным цветом обозначен нужный нам угол в 150° и его косинус. А вот красным цветом я обозначил вспомогательный угол в 30°, который нас и спасёт в этой крутой задаче.) Ведь мы знаем (ну, или должны знать. ) косинус 30 градусов из таблицы синусов и косинусов. Правда эти красненькие 30° как бы не совсем правильные 30°, не от той полуоси отсчитаны.

Ну и ладно. Давайте нарисуем правильные 30° на этом же круге. Отсчитанные от положительной полуоси Х. Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и видим правильный синий угол в 30° и его косинус.

Ну и. Как вам кажется, в каком соотношении находятся cos30° и cos150°? Догадаетесь!?

Да! Косинус 150 градусов равен по величине косинусу 30, но имеет отрицательный знак! Треугольнички слева-справа одинаковые, косинусы равны по величине. Вот и всё. Просто мы на тригонометрическом круге просчитали непонятный косинус 150 градусов через известный косинус 30. Не заглядывая в таблицу синусов и косинусов. Так можно делать всегда.

А если нужен синус 150 градусов? Нет проблем! Опять рисуем круг, угол в 150 градусов (как 180° — 30°). На этот раз отмечаем его синус на оси У. Вот так:

Опять рисуем правильный угол в 30 градусов и отмечаем его синус. Наведите курсор на картинку, чтобы увидеть это сложное построение.) Что мы видим? Мы видим, что синусы углов 150° и 30° равны! Треугольнички-то одинаковые. Пусть даже и углы по 30° находятся вне треугольников. Всё равно, треугольнички — одинаковые.

sin150° = sin30° =

Улавливаете суть? Любой угол третьей группы всегда разбивается на сумму/разность угла 180° (или 360°) и угла 30, 45, 60 (какой уж подойдёт). Стало быть, на тригонометрическом круге мы всегда получим вспомогательный угол 30, 45 или 60 градусов. Без разницы, в какой четверти получится этот вспомогательный угол. Достаточно нарисовать правильный угол (в первой четверти), найти одинаковые треугольнички и сравнить по картинке их синусы-косинусы. Тут ошибиться очень трудно!

И не надо зазубривать таблицу синусов и косинусов для этих девяти углов.

Вот и всё. Есть тут, правда одна проблемка. Ленятся люди рисовать круг. Стесняются, что плохо получится, что ли!? Тригонометрический круг — легальная шпаргалка — нужен вам, а не проверяющим! Здесь не требуются линейка, циркуль, транспортир и прочие цветные карандаши. Не черчение, чай.

Так и быть, я личным примером покажу, как выглядит все это рисование в реале!

Пусть мне надо определить cos240°. Без таблицы синусов и косинусов. За пять секунд я соображаю, что:

Ещё за десять секунд я рисую мощную картину:

М-да. Ужас какой-то. Ну и что!? Зато я чётко вижу, где располагается мой вспомогательный угол в 60° (третья четверть). Я знаю, что треугольнички, образованные вспомогательным углом в 60° и правильным углом в 60° (в первой четверти) — одинаковые. Пусть даже на картинке они, гм. не очень равны.) И по этой картинке я стопроцентно понимаю, что косинус 240 градусов равен косинусу 60, но со знаком «минус». Так как cos240° попадает на отрицательную полуось Х. Посему из этой кошмарной картины я надёжно вывожу (за 20 секунд!) правильный ответ. Безо всякой таблицы синусов и косинусов:

Тем, кто проникся уважением к тригонометрическому кругу, предлагаю загадку. Как вы думаете, какую функцию и какого положительного угла я искал вот по этому наскальному рисунку?)

Если поняли, вам можно начинать изучать иероглифы.) Ответ будет чуть ниже.

Итак, осталось всего ничего. Разобраться с углами, которые больше 360°. Если они приводятся к углам второй группы (30, 45, 60), значения таблицы синусов и косинусов для них тоже знать необходимо. Ну, не совсем знать — таких углов бесконечное множество — но уметь их вычислять.

Здесь всё просто. Опять сплошная практика. Берём пример из начала урока. Пусть нам надо определить sin855°. Понятно, что в этом угле сидит несколько полных оборотов по 360° и ещё какой-то хвостик. Вот и выбросим эти полные обороты. Они никак не сказываются на тригонометрических функциях угла! Только картину путают.

Еслиу нас на круге есть угол, скажем, в 45°, то прибавьте к нему хоть пять полных оборотов, хоть тридцать пять — положение его не изменится. Не поменяются значения синусов, косинусов и т.д.

Определить количество полных оборотов очень просто. Надо разделить величину угла (в нашем случае — 855°) на 360°. Хоть в уме, хоть уголком. Радует то, что до конца делить не надо! Нам же количество целых оборотов надо знать, а не дробных.

Вот и делим. Получаем два с копейками. Копейки нас не интересуют, их даже и считать не нужно. А два полных оборота — это 2 · 360° = 720°. Считаем хвостик. Отнимаем:

Хвостик получился 135°. А это классический угол третьей группы! Так как:

С этим углом разбираемся, как написано выше. С помощью круга. Вот и все дела. Так нужно поступать всегда. Откинуть от большого значения угла все полные обороты и работать с оставшимся хвостиком. Кстати, если этот хвостик не попадает ни в какую группу (20°, например, или 160°) — значит, где-то ошибка. Или задание — более сложное и рассчитано на какие-то дополнительные преобразования. Синус 20° вы знать не обязаны.

Вернёмся к наскальному рисунку.) Дойти до правильного ответа можно по такой цепочке:

1. Пунктир идёт на ось У. Значит, автора интересует синус угла!

2. Угол в первой четверти отпадает. Это явно угол из таблицы синусов и косинусов, автор его и так знает. Может быть. ) Да и зачем тогда отмечен угол в четвёртой четверти!? Значит, автора интересует синус некоего угла из четвёртой четверти!

3. Отмеченные дужками углы, очевидно, должны быть равны. Угол в первой четверти всяко меньше 60°. Да и меньше 45°! Стало быть, это 30 градусов!

4. Угол в четвёртой четверти. Возможны 2 варианта. -30° и 330°. Но автора интересует положительный угол. Всё. На наскальном рисунке изображена попытка найти sin330°! Возможно, автор даже и определил его.)

Пора применить знания на практике. Потренироваться. Намекаю, что таблицу синусов и косинусов можно использовать только для проверки! Тонко так намекаю. ) Предупреждаю, что никаких особых формул и тригонометрических преобразований здесь не требуется. Просто определяем значения и подставляем в пример. Чтобы горе от ума не получилось. )

cos0° + sin90° — cos180° — sin270° =

Ответы (в беспорядке): 1,5; -0,25; 4; -0,75; 0,5

Получается? Отлично! Не получается? Путаница с отрицательными значениями? Бывает. Ничего страшного. Самое главное — правильно нарисовать (отсчитать) угол на круге. А там уже всё видно. Здесь вам поможет урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах.

Самые азы, конечно, но куда без них?)

Усложним задачу. Работаем по-взрослому. С радианами. Именно эта мера угла является основной в солидной математике.

Ответы (в беспорядке): 0,5; 1,5; -2; -0,5; 0,25.

Что, с радианами сложнее, да? В градусы переводить, потом лишние обороты отбрасывать. Да, хлопотное занятие! Кстати, в этом уроке мы только с градусами работали, если кто заметил. ) Это специально.

Только для тех, кто добрался до этих строк!)

Дело в том, что есть очень простой практический приём работы с радианами. Да такой приём, что работа с радианами становится проще, много проще работы с градусами! Поэтому я и не расписывал здесь примеры с радианами и переводом их в градусы. Лишнее это. Гораздо проще и надёжнее работать с радианами напрямую.

Подытожим тему. В этом уроке кто хотел, тот научился лихо крутить по кругу углы, откидывать полные обороты и легко определять необходимые значения таблицы синусов и косинусов без этой самой таблицы. Это солидный багаж для контрольных и экзаменов.

Читайте также:  Тест Таблицы истинности 18 вариантов

Но самое главное в этом уроке — тренировка в работе с тригонометрическим кругом. Определять значения таблицы синусов и косинусов можно и без круга. По формулам приведения, о которых мы ещё поговорим. Но любая формула тригонометрии применима в своей узкой области. А круг помогает во всей тригонометрии. Скажем, тригонометрические неравенства (а это задания уровня С!) решаются на 90% через круг, а оставшиеся 10% — с помощью круга. Круг лишним не бывает!) Освойте его, и тригонометрия будет дружить с вами.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Геометрия. Урок 1. Тригонометрия

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  • Тригонометрический круг
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Таблица значений тригонометрических функций
  • Градусы и радианы
  • Формулы приведения
  • Теорема синусов
  • Расширенная теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
  • Примеры решений заданий из ОГЭ

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Источник