Меню

Таблица стьюдента число степеней свободы это что



Распределение Стьюдента

В случае нормального распределения вы видели концентрацию плотности вокруг среднего значения. Это помогает делать выводы относительно генеральной совокупности, имея только информацию о выборке. Даже если сама генеральная совокупность не распределена нормально, имея много выборок с достаточным количеством элементов, согласно теореме центрального предела можно построить множество из средних значений этих выборок, которая нормально распределена. Тогда среднее арифметическое этих средних значений будет наиболее близким к среднему значению генеральной выборки.

Но представьте себе, что у вас только есть лимитированное количество элементов выборки. Но нужно сделать определенные выводы относительно генеральной совокупности. По этому поводу сделал определенные выводы Уильям Госсет, который работал на пивоваренном заводе Гиннеса в Дублине. Свои работы он опубликовал под псевдонимом Стьюдент, так как завод считал его метод интеллектуальной собственностью Гиннеса и не хотел, чтобы конкуренты узнали, что они применяют статистические методы для контроля качества.

Основная идея Госсета состояла в том, что зная среднее значение небольшой выборки можно было найти промежуток, где с большой вероятностью находится среднее значение генеральной совокупности. Госсет отметил, что если генеральная совокупность нормально распределена, то имея выборку малого размера, можно строить следующее распределение.

Здесь $\bar$ – среднее значение выборки, $\mu$ – среднее значение генеральной совокупности, $\dfrac<\sqrt>$ – стандартная ошибка выборки. В этом распределении если размер выборки ($n$) меньше $30$, то она получится более плоской и больше элементов окажутся на “хвостах” по левую и правую сторону от центра. Но с ростом числа элементов выборки это распределение все больше приближается к нормальному. Это называется распределением Стьюдента.

Во многих источниках дается готовая таблица критических значений $t$, полученная эмпирическим путем в зависимости от количества элементов ($n$) и уровня значимости ($p$). Только вместо $n$ всегда берется $n-1$ (число степеней свободы). Эти значения называют t-критерием Стьюдента. Один из вариантов этой таблицы t-критериев мы даем внутри этой статьи. Расширенную версию этой таблицы можно скачать тут. С помощью этой таблицы можно делать выводы относительно ошибки I рода сравнивая полученное значение $t$ с табличными значениями в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости.

Критические значения t-критерия Стьюдента

В этой таблице сверху и снизу обозначены критические области для двусторонней и односторонней критической области. В зависимости от типа задачи мы рассматриваем одностороннюю или двустороннюю алтернативную гипотезу.

Число
степеней
свободы
Уровень значимости $\alpha$
(двусторонняя критическая область)
0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 0,001
1 6,314 12,706 25,452 31,821 63,657 127,3 636,6
2 2,920 4,303 6,205 6,965 9,925 14,089 31,598
3 2,353 3,182 4,177 4,541 5,841 7,453 12,941
4 2,132 2,776 3,495 3,747 4,604 5,597 8,610
5 2,015 2,571 3,163 3,365 4,032 4,773 6,859
6 1,943 2,447 2,969 3,143 3,707 4,317 5,959
7 1,895 2,365 2,841 2,998 3,499 4,029 5,405
8 1,860 2,306 2,752 2,896 3,355 3,833 5,041
9 1,833 2,262 2,685 2,821 3,250 3,690 4,781
10 1,812 2,228 2,634 2,764 3,169 3,581 4,587
12 1,782 2,179 2,560 2,681 3,055 3,428 4,318
14 1,761 2,145 2,510 2,624 2,977 3,326 4,140
16 1,746 2,120 2,473 2,583 2,921 3,252 4,015
18 1,734 2,101 2,445 2,552 2,878 3,193 3,922
20 1,725 2,086 2,423 2,528 2,845 3,153 3,849
22 1,717 2,074 2,405 2,508 2,819 3,119 3,792
24 1,711 2,064 2,391 2,492 2,797 3,092 3,745
26 1,706 2,056 2,379 2,479 2,779 3,067 3,707
28 1,701 2,048 2,369 2,467 2,763 3,047 3,674
30 1,697 2,042 2,360 2,457 2,750 3,030 3,646
$\infty$ 1,645 1,960 2,241 2,326 2,576 2,807 3,291
0,05 0,025 0,0125 0,01 0,005 0,0025 0,0005
Уровень значимости $\alpha$
(односторонняя критическая область)

t-Критерий Стьюдента

t-тест или определение t-критерия Стьюдента является простейшим способом проверки точности среднего значения для данных с естественными значениями. В основном эти тесты используются для следующих целей:

  • с помощью таких тестов можно проверить насколько значительно, среднее значение выборки отличается от ожидаемого значения
  • средние значения двух групп насколько значительно отличаются друг от друга
  • t-критерий Стьюдента позволяет определить доверительный интервал при нахождении среднего значения генеральной совокупности через малую выборку

Слово “значительно” здесь употребляется в смысле статистической значимости, т. е. это вероятность получения ошибки первого рода. Обычно рассматривается опровержение нулевой гипотезы при значении $p \mu$$
Нам нужно опровергнуть нулевую гипотезу на уровне значимости $p=0,05$. Для вычисления t-критерия нам нужно знать еще стандартное отклонение, чтобы вычислить стандартную ошибку среднего.

Значит t-критерий Стьюдента, в нашем случае будет

Теперь смотрим в таблицу критических значений для количества степеней свободы $df=5$ (так как $df = n-1 = 6-1 =5$) и $p=0,05$. Так как наша альтернативная гипотеза одностороняя, то нас интересует односторонняя критическая область, а остальные $5\%$ уровня значимости (или вероятности $\alpha$ ошибки) останутся для другой альтернативной гипотезы $H_1 : \bar

Источник

Таблица стьюдента число степеней свободы это что

Критерий t Стьюдента направлен на оценку различий величин средних и двух выборок X и Y, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

В общем случае формула для расчета по t — критерию Стьюдента такова:

Рассмотрим сначала равночисленные выборки. В этом случае n1 = n2 = n, тогда выражение (9.2) будет вычисляться следующим образом:

В случае неравночисленных выборок , выражение будет вычисляться следующим образом:

В обоих случаях подсчет числа степеней свободы осуществляется по формуле:

где n1 и n2 соответственно величины первой и второй выборки.

Понятно, что при численном равенстве выборок k = 2 n — 2.

Рассмотрим пример использования t — критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Пример : Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора

(в мс) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающихся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Результаты эксперимента представим в виде табл. 9, в которой произведем ряд необходимых расчетов:

Группы Отклонение от среднего Квадраты отклонения
X Y
1 504 580 — 22 — 58 484 3368
2 560 692 34 54 1156 2916
3 420 700 — 106 62 11236 3844
4 600 621 74 — 17 5476 289
5 580 640 54 — 2 2916 4
6 530 561 4 — 77 16 5929
7 490 680 — 36 42 1296 1764
8 580 630 54 — 8 2916 64
9 470 — 56 3136
Сумма 4734 5104 28632 18174
Среднее 526 638

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе , в контрольной группе

Разница по абсолютной величине между средними

Подсчет выражения дает:

Тогда значение , вычисляемое по формуле (9.1), таково:

Число степеней свободы = 9 + 8-2= 15. По табл. 17 приложения 6 для данного числа степеней свободы находим :

Строим «ось значимости»:

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,]% уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

В терминах статистических гипотез это утверждение звучит так: гипотеза о сходстве отклоняется и на 0,1% уровне значимости принимается альтернативная гипотеза — о различии между экспериментальной и контрольными группами.

В случае связных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t — критерия Стьюдента.

Вычисления значений осуществляется по формуле:

где — разности между соответствующими значениями переменной X и переменной Y, а среднее этих разностей.

В свою очередь вычисляется по следующей формуле:

Число степеней свободы k определяется по формуле k = n — 1

Рассмотрим пример использования t — критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Пример: Психолог предположил, что в результате научения время решения эквивалентных задач «игры в 5» (т. е. имеющих один и тот же алгоритм решения) будет значимо уменьшаться. Для проверки гипотезы у восьми испытуемых сравнивалось время решения (в минутах) первой и третьей задач. Решение задачи представим в виде табл. 10.

№ испытуемых 1 задача 2 задача
1 4,0 3,0 1,0 1,0
2 3,5 3,0 0,5 0,25
3 4,1 3,8 0,3 0,09
4 5,5 2,1 3,4 11,56
5 4,6 4,9 -0,3 0,09
6 6,0 5,3 0,7 0,49
7 5,1 3,1 2,0 4,00
8 4,3 2,7 1,6 2,56
Суммы 37,1 27,9 9,2 20,04

Вначале произведем расчет по формуле:

Затем применим формулу:

И, наконец, следует применить формулу. Получим:

Число степеней свободы: k = 8 — 1 = 7 и по табл. 17 приложения 6 находим :

Строим «ось значимости»:

Таким образом, на 5% уровне значимости первоначальное предположение подтвердилось, действительно, среднее время решения третьей задачи существенно меньше среднего времени решения первой задачи. В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уровне гипотеза отклоняется и принимается гипотеза — о различиях.

Для применения t — критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:

Измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

Сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.

Источник

Таблица стьюдента число степеней свободы это что

Minitab

Критерий Стьюдента (или Т-критерий) широко применим в практике проверки статистических гипотез о равенстве средних значений двух выборок или среднего значения выборки с неким значением (целевым показателем). В последнем случае различают двухсторонние (предположение о равенстве среднего и целевого значений) и односторонние (предположение, что среднее арифметическое значение больше или меньше целевого) гипотезы. Использование данного критерия предполагает сравнение распределения наблюдаемой величины с распределением Стьюдента. В простейшем случае табличное значение критерия Стьюдента сравнивается с расчетным и, на основании этого исследователь делает вывод в пользу нулевой или альтернативной гипотезы.

Табличные значения коэффициента Стьюдента для односторонних (α) и двусторонних (α/2) гипотез при заданном числе степеней свободы df (n-1):

Условия использования коэффициента Стьюдента:

  • Исследуемые данные подчиняются нормальному закону распределения
  • Равенство дисперсий (при сравнении двух выборок)

Все зарегистрированные пользователи сайта могут скачать расширенную версию таблицы, в дополнении к этому материалу. Файл содержит табличные значения Т-критерия при заданных числе степеней свободы и α-уровне, а также ряд подсказок упрощающих использование таблицы.

Узнать больше об инструментах проектного менеджмента методологии шести сигм вы можете из учебного пакета 101 инструмент вашего проекта шести сигм:

101 инструмент вашего проекта шести сигм

Интересно, что название критерия Стьюдента произошло не от фамилии ученого. Стьюдент – это псевдоним, которым воспользовался Уильям Сили Госсет при публикации результатов своих исследований.

Источник

Библиотека постов MEDSTATISTIC об анализе медицинских данных

Ещё больше полезной информации в нашем блоге в Инстаграм @medstatistic

Критерии и методы

t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ

– общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

Уильям Госсет

Уильям Госсет

1. История разработки t-критерия

Данный критерий был разработан Уильямом Сили Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны, статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

2. Для чего используется t-критерий Стьюдента?

t-критерий Стьюдента используется для определения статистической значимости различий средних величин. Может применяться как в случаях сравнения независимых выборок (например, группы больных сахарным диабетом и группы здоровых), так и при сравнении связанных совокупностей (например, средняя частота пульса у одних и тех же пациентов до и после приема антиаритмического препарата). В последнем случае рассчитывается парный t-критерий Стьюдента

3. В каких случаях можно использовать t-критерий Стьюдента?

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. Также имеет значение равенство дисперсий (распределения) сравниваемых групп (гомоскедастичность). При неравных дисперсиях применяется t-критерий в модификации Уэлча (Welch’s t).

При отсутствии нормального распределения сравниваемых выборок вместо t-критерия Стьюдента используются аналогичные методы непараметрической статистики, среди которых наиболее известными является U-критерий Манна — Уитни.

4. Как рассчитать t-критерий Стьюдента?

Для сравнения средних величин t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле:

где М1 — средняя арифметическая первой сравниваемой совокупности (группы), М2 — средняя арифметическая второй сравниваемой совокупности (группы), m1 — средняя ошибка первой средней арифметической, m2 — средняя ошибка второй средней арифметической.

5. Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?

Полученное значение t-критерия Стьюдента необходимо правильно интерпретировать. Для этого нам необходимо знать количество исследуемых в каждой группе (n1 и n2). Находим число степеней свободы f по следующей формуле:

После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p=0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).

Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:

  • Если рассчитанное значение t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.
  • Если значение рассчитанного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.

6. Пример расчета t-критерия Стьюдента

Для изучения эффективности нового препарата железа были выбраны две группы пациентов с анемией. В первой группе пациенты в течение двух недель получали новый препарат, а во второй группе — получали плацебо. После этого было проведено измерение уровня гемоглобина в периферической крови. В первой группе средний уровень гемоглобина составил 115,4±1,2 г/л, а во второй — 103,7±2,3 г/л (данные представлены в формате M±m), сравниваемые совокупности имеют нормальное распределение. При этом численность первой группы составила 34, а второй — 40 пациентов. Необходимо сделать вывод о статистической значимости полученных различий и эффективности нового препарата железа.

Решение: Для оценки значимости различий используем t-критерий Стьюдента, рассчитываемый как разность средних значений, поделенная на сумму квадратов ошибок:

Источник

Читайте также:  Освобождения крепостных крестьян в 1861 году условия и механизмы избавления от крепостного права