Меню

Таблица вероятностей броска двух кубиков



Вероятность игральной кости.

Задачи на вероятность игральной кости не менее популярны, чем задачи о подбрасывании монет. Условие такой задачи обычно звучит так: при бросании одной или нескольких игральных костей (2 или 3), какова вероятность того, что сумма очков будет равна 10, или число очков равно 4, или произведение числа очков, или делится на 2 произведение числа очков и так далее.

Применение формулы классической вероятности является основным методом решения задач такого типа.

Одна игральная кость, вероятность.

Достаточно просто обстоит дело с одной игральной костью. Вероятность игральной кости определяется по формуле: P=m/n, где m — это число благоприятствующих событию исходов, а n — число всех элементарных равновозможных исходов эксперимента с подбрасыванием кости или кубика.

Задача 1. Один раз брошена игральная кость. Какова вероятность выпадения четного числа очков?

Поскольку игральная кость собой представляет кубик (или его еще называют правильной игральной костью, на все грани кубик выпадет с одинаковой вероятностью, так как он сбалансированный), у кубика 6 граней (число очков от 1 до 6, которые обычно обозначаются точками), это значит, что в задаче общее число исходов: n=6. Событию благоприятствуют только исходы, при которых выпадает грань с четными очками 2,4 и 6, у кубика таких граней: m=3. Теперь можем определить искомую вероятность игральной кости: P=3/6=1/2=0.5.

Задача 2. Брошен один раз игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет не менее 5 очков?

Решается такая задача по аналогии с примером, указанным выше. При бросании игрального кубика общее число равновозможных исходов равно: n=6, а удовлетворяют условие задачи (выпало не менее 5 очков, то есть выпало 5 или 6 очков) только 2 исхода, значит m=2. Далее находим нужную вероятность: P=2/6=1/3=0.333.

Две игральные кости, вероятность.

При решении задач с бросанием 2-х игральных костей, очень удобно пользоваться специальной таблицей выпадения очков. На ней по горизонтали откладывается число очков, выпавших на первой кости, а по вертикали — число очков, которое выпало на второй кости. Заготовка имеет такой вид:

Но возникает вопрос, что же будет в пустых ячейках таблицы? Это зависит от задачи, которую потребуется решить. Если в задаче речь идет о сумме очков, тогда туда записывается сумма, а если про разность — значит записывается разность и так далее.

Задача 3. Брошены одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность выпадения суммы менее 5 очков?

Для начала необходимо разобраться какое будет общее число исходов эксперимента. Все было очевидно при бросании одной кости 6 граней кубика — 6 исходов эксперимента. Но когда уже две кости, то возможные исходы можно представить как упорядоченные пары чисел вида (x, y), где х показывает сколько на первой кости выпало очков (от 1 до 6), а у — сколько выпало очков на второй кости (от 1 до 6). Всего таких числовых пар будет: n=6*6=36 (в таблице исходов им как раз соответствуют 36 ячеек).

Теперь можно заполнить таблицу, для этого в каждую ячейку заносится число суммы очков, которые выпали на первой и второй кости. Заполненная таблица выглядит так:

Благодаря таблице определим число исходов, которые благоприятствуют событию » выпадет в сумме менее 5 очков». Произведем подсчет числа ячеек, значение суммы в которых будет меньше числа 5 (это 2, 3 и 4). Такие ячейки для удобства закрашиваем, их будет m=6:

Учитывая данные таблицы, вероятность игральной кости равняется: P=6/36=1/6.

Задача 4. Было брошено две игральные кости. Определить вероятность того, что произведение числа очков будет делиться на 3.

Для решения задачи составим таблицу произведений очков, которые выпали на первой и на второй кости. В ней сразу же выделим числа кратные 3:

Записываем общее число исходов эксперимента n=36 (рассуждения такие же как в предыдущей задаче) и число благоприятствующих исходов (число ячеек, которые закрашены в таблице) m=20. Вероятность события равняется: P=20/36=5/9.

Задача 5. Дважды брошена игральная кость. Какова вероятность, что на первой и второй кости разность числа очков будет равна от 2 до 5?

Чтобы определить вероятность игральной кости запишем таблицу разностей очков и выделим в ней те ячейки, значение разности в которых будет между 2 и 5:

Число благоприятствующих исходов (число ячеек, закрашенных в таблице) равно m=10, общее число равновозможных элементарных исходов будет n=36. Определит вероятность события: P=10/36=5/18.

В случае простого события и при бросании 2-х костей, требуется построить таблицу, затем в ней выделить нужные ячейки и их число поделить на 36, это и будет считаться вероятностью.

Источник

Урок теории вероятности по теме «Вероятности событий (при бросании 2 игральных кубиков)». 8-й класс

Презентация к уроку

Педагогические технологии: Технология объяснительно-иллюстрированного обучения, компьютерная технология, личностно-ориентированный подход в обучении, здоровьесберегающие технологии.

Читайте также:  Sql запрос для связей таблица

Тип урока: урок получения новых знаний.

Продолжительность: 1 урок.

  • повторить навыки применения формулы для нахождения вероятности событии и научить применять её в задачах с игральными кубиками;
  • проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения.
  • развить навыки поиска, обработки и представления информации;
  • развить умение сравнивать, анализировать, делать выводы;
  • развить наблюдательность, а также коммуникативные умения.
  • воспитать внимательность, усидчивость;
  • сформировать понимание значимости математики как способа познания окружающего мира.

Оборудование урока: компьютер, мультимедиа, маркеры, копи-устройство mimio (или интерактивная доска), конверт ( в нем находится задание для практической работы, домашней работы, три карточки: желтого, зеленого, красного цветов), модели игральных кубиков.

— На предыдущем уроке мы познакомились с формулой классической вероятности.

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m к n, где n – это число всех возможных исходов эксперимента, а m – это число всех благоприятных исходов.

— Формула представляет собой так называемое классическое определение вероятности по Лапласу, пришедшее из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша. Эта формула применяется для опытов с конечным числом равновозможных исходов.

Вероятность события = Число благоприятных исходов / число всех равновозможных исходов

Таким образом, вероятность – это число от 0 до 1.

Вероятность равна 0, если событие невозможное.

Вероятность равна 1, если событие достоверное.

— Решим задачу устно: На книжной полке стоят 20 книг, из них 3 справочника. Какова вероятность, что взятая с полки книга не окажется справочником?

Общее число равновозможных исходов – 20

Число благоприятных исходов – 20 – 3 = 17

2. Получение новых знаний.

А теперь вернемся к теме нашего урока: “Вероятности событий”, подпишем её в своих тетрадях.

Цель урока: научиться решать задачи на нахождение вероятности при бросании кубика или 2-х кубиков.

Наша сегодняшняя тема связана с игральным кубиком или его еще называют игральной костью. Игральная кость известна с древности. Игра в кости — одна из древнейших, первые прообразы игральных костей найдены в Египте, и датируются они XX веком до н. э. Имеется множество разновидностей, от простых (выигрывает выкинувший большее количество очков) до сложных, в которых можно использовать различные тактики игры.

Самые древние кости датируются ХХ веком до н. э., обнаружены в Фивах. Первоначально кости служили орудием для гаданий. По данным археологических раскопок в кости играли повсеместно во всех уголках земного шара. Название произошло от первоначального материала — костей животных.

Древние греки считали, что кости изобрели лидийцы, спасаясь от голода, чтобы хоть чем-то занять свои умы.

Игра в кости получила отражение в древнеегипетской, греко-римской, ведической мифологии. Упоминается в Библии, “Илиаде”, “Одиссее”, “Махабхарате”, собрании ведических гимнов “Ригведа”. В пантеонах богов хотя бы один бог являлся обладателем игральных костей как неотъемлемого атрибута http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F1%F2%E8_%28%E8%E3%F0%E0%29 — cite_note-2.

После падения Римской Империи игра распространилась по Европе, особенно увлекались ей во времена Средневековья. Поскольку игральные кости использовались не только для игры, но и для гадания, церковь неоднократно пыталась запретить игру, для этой цели придумывались самые изощрённые наказания, но все попытки заканчивались неудачей.

Согласно данным археологии, в кости играли и в языческой Руси. После крещения православная церковь пыталась искоренить игру, но среди простого народа она оставалась популярной, в отличие от Европы, где игрой в кости грешила высшая знать и даже духовенство.

Война, объявленная властями разных стран игре в кости породила множество различных шулерских уловок.

В век Просвещения увлечение игрой в кости постепенно пошло на спад, у людей появились новые увлечения, их больше стали интересовать литература, музыка и живопись. Сейчас игра в кости не столько широко распространена.

Правильные кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения грани. Для этого все грани должны быть одинаковыми: гладкими, плоскими, иметь одинаковую площадь, скругления (если они имеются), отверстия должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях равна 7.

Математическая игральная кость, которая используется в теории вероятности,- это математический образ правильной кости. Математическая кость не имеет ни размера, ни цвета, ни веса и т.д.

При бросании игральной кости ( кубика) может выпасть любая из шести ее граней, т.е. произойти любое из событий— выпадение от 1 до 6 точек (очков). Но никакие две и более граней одновременно появиться не могут. Такие события называют несовместными.

— Рассмотрим случай, когда бросают 1 кубик. Выполним № 2 в виде таблицы.

событие Число благоприятных исходов Общее число исходов вероятность
А: “ выпало число 4”
В: “ выпало число 5”
С: “ выпало число меньше 3”
Д: “ выпало число 8”
Е: “ выпало нечетное число меньше 3”
Читайте также:  Расшифровка значков для стирки на одежде все варианты с картинками и подробным описанием

— Теперь рассмотрим случай, когда бросают 2 кубика.

Если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6.Получим пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи можно представить в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:

Источник

Вероятности для броска двух кубиков — 2021

Время и Стекло Так выпала Карта HD VKlipe Net

  • Вероятность броска кубика
  • Таблица вероятностей броска двух кубиков
  • Три (или более) кости
  • Типовые проблемы

Один из популярных способов изучения вероятности — бросать кости. На стандартном кубике напечатаны шесть сторон с номерами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Если кубик справедлив (и мы будем считать, что все таковые), то каждый из этих результатов одинаково вероятен. Поскольку существует шесть возможных результатов, вероятность получения любой стороны кубика составляет 1/6. Вероятность броска 1 равна 1/6, вероятность броска 2 составляет 1/6 и т. Д. Для 3, 4, 5 и 6.

Но что произойдет, если мы добавим еще один кубик? Каковы вероятности броска двух кубиков?

Вероятность броска кубика

Чтобы правильно определить вероятность броска костей, нам нужно знать две вещи:

  • Размер выборочного пространства или совокупность возможных результатов
  • Как часто происходит событие

По вероятности, событие — это определенное подмножество выборочного пространства. Например, когда прокатывается только один кристалл, как в примере выше, пространство выборки равно всем значениям на кристалле или набору <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Поскольку кубик честен, каждое число в наборе встречается только один раз. Другими словами, частота каждого числа равна 1. Чтобы определить вероятность броска любого из чисел на матрице, мы делим частоту события (1) на размер выборочного пространства (6), что приводит к вероятности 1/6.

Бросание двух справедливых кубиков более чем вдвое усложняет вычисление вероятностей. Это потому, что бросание одного кубика не зависит от броска второго.

Один бросок не влияет на другой. При работе с независимыми событиями мы используем правило умножения. Использование древовидной диаграммы демонстрирует, что при бросании двух кубиков есть 6 x 6 = 36 возможных результатов.

Предположим, что первый бросок, который мы бросаем, получается как 1. Другой бросок может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Теперь предположим, что первый кубик равен 2. Другой бросок кубика снова может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Мы уже нашли 12 потенциальных результатов и еще не исчерпали всех возможностей сначала умри.

Таблица вероятностей броска двух кубиков

Возможные результаты броска двух кубиков представлены в таблице ниже. Обратите внимание, что общее количество возможных результатов равно пространству образца первого кристалла (6), умноженному на пространство образца второго кристалла (6) = 36.

1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Три (или более) кости

Тот же принцип применяется, если мы работаем над проблемами, включающими три кубика. Мы умножаем и видим, что есть 6 х 6 х 6 = 216 возможных результатов. Поскольку писать повторяющееся умножение становится громоздким, мы можем использовать показатели для упрощения нашей работы. Для двух костей есть 6 ^ 2 возможных результатов. Для трех костей есть 6 ^ 3 возможных результатов. В общем, если мы катимся N кости, то есть в общей сложности 6 ^ N возможные результаты.

Типовые проблемы

Обладая этими знаниями, мы можем решить все возможные проблемы:

1. Два шестигранных кубика брошены. Какова вероятность того, что сумма двух кубиков равна семи?

Самый простой способ решить эту проблему — обратиться к таблице выше. Вы заметите, что в каждом ряду есть один бросок игральных костей, где сумма двух игральных костей равна семи. Поскольку есть шесть рядов, есть шесть возможных результатов, где сумма двух кубиков равна семи. Число возможных возможных исходов остается 36. Опять же, мы находим вероятность, разделив частоту событий (6) на размер выборочного пространства (36), в результате чего вероятность составляет 1/6.

2. Два шестигранных кубика брошены. Какова вероятность того, что сумма двух кубиков равна трем?

В предыдущей задаче вы, возможно, заметили, что ячейки, в которых сумма двух кубиков равна семи, образуют диагональ. То же самое и здесь, за исключением того, что в этом случае есть только две ячейки, в которых сумма кубиков равна трем.

Читайте также:  Систематика живого мира таблица

Это потому, что есть только два способа получить этот результат. Вы должны бросить 1 и 2, или вы должны бросить 2 и 1. Комбинации для бросания суммы семь намного больше (1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 и т. Д.). Чтобы найти вероятность того, что сумма двух кубиков равна трем, мы можем разделить частоту событий (2) на размер выборочного пространства (36), в результате чего вероятность составляет 1/18.

3. Два шестигранных кубика брошены. Какова вероятность того, что числа на кости разные?

Опять же, мы можем легко решить эту проблему, обратившись к таблице выше. Вы заметите, что ячейки, в которых числа на кубиках одинаковые, образуют диагональ. Их всего шесть, и как только мы их вычеркнем, у нас появятся оставшиеся ячейки, в которых цифры на кубиках разные. Мы можем взять число комбинаций (30) и разделить его на размер выборочного пространства (36), что приведет к вероятности 5/6.

Источник

Расчет вероятностей для бросков 2d6, 3d6 и производных механик

При разработке механик игр, основанных на генерации случайных чисел посредством кубиков (d6) часто возникает необходимость быстро сравнить ожидаемые результаты различных бросков. И если для одного куба все варианты легко запомнить или посчитать в уме, то для более сложных механик удобноиметь под рукой готовый справочник.

Например, в игре есть два оружия. Если одно из них попадает по условному врагу на 5+, второе на 4+ с перебросом, то, бросая 1d6 нетрудно посчитать, что вероятность попасть в этом случае 2/3 и 3/4 соответственно. 4+ с перебросом эффективнее по ожиданию на 8,3%.

Для механики игры Solar Wind задача несколько сложнее: проверки успеха действия проходят на 2d6. Чистый результат броска тоже несложно посчитать, но обычно нужно сравнить вероятность выпадения 8+ при броске, например, 2d6+1, 2d6 с перебросом и 3d6 с отбрасыванием меньшего из трех кубов.

Чтобы не делать расчеты каждый раз, составил таблицу, на которой можно моделировать различные варианты бросков.

2d6 с модификатором +1

Начнем с простого. Для наглядности представим результаты бросков 2d6 в виде такой диаграммы:

Тех, кто как и я, диаграммы лучше воспринимает чем формулы, удобно визуально оценивать шансы выпадения нужного числа, а также чисел больше или меньше заданного. В нашем случае 2d6+1 c искомым результатом 7+ нам приносит бросок от 6 и выше — 26/36 или 72,23%

2d6 с перебросом обоих кубов

Для перебросов математика немного сложнее. Нам нужно учесть все варианты бросков, когда 7+ выпадает с первого раза (21/36 или 58,34%) и когда 7+ выпадает после переброса (15/36*21/36) в сумме получаем 82,64%. Видно, что переброс двух кубов на результат 7+ дает прибавку 24% к вероятности успеха

По схожей логике можно посчитать варианты с перебросом одного куба из двух по желанию игрока. Правда такая механика используется реже, если нас интересует сумма значений броска, а не каждый куб по отдельности.

3d6 c отбрасыванием меньшего

Для 3d6 диаграмма получится больше:

Применим немного табличной магии и из такого распределения результатов:

Последовательно выкидывая из суммы значение меньшего слагаемого получим следующее распределение:

Подкрасил зеленым интересующие нас результаты. Очевидно нас устраивают 174/216 вариантов или 80,5%

Для чего все это нужно

Можно свести результаты расчетов для всех трех случаев в один график, дополнив его остальными результатами броска выше 7

Не модифицированный бросок 2d6 даст результат 7+ с вероятностью 58,34%. Если мы хотим дать игроку какой-либо бонус к броску, то нужно понимать на сколько вероятность успеха действия увеличится, для того, чтобы точнее рассчитать стоимость и эффективность этого бонуса.

По графику видно, что добавление +1 к броску даст прибавку в 13,9% для результата 7+, а переброс и дополнительный куб 22,16% и 24,3% соответственно. В данном случае самый эффективный бонус — это переброс.

При повышении порога успешного действия динамика меняется. Если в механике игры бросок 7+ означает попадание, а бросок 12+ , например, критическое попадание, то на этом пороге самым эффективным бонусом будет +1 к броску. Таким образом для разных действий можно подобрать подходящие модификаторы.

Пример. 3 класса оружия: Пистолет, дробовик и снайперская винтовка. Стрельба из пистолета — 2d6 без модификаторов. Из дробовика легче попасть, чем из пистолета, поэтому бросок на попадание можно перебросить. Из снайперской винтовки не так легко попасть, как из дробовика, но шанс нанести критический урон выше, поэтому модификатором стрельбы будет возможность выбора 2 из 3 брошенных кубов, либо +1 к результату броска .

Источник