Меню

Таблицы нормального распределения с примерами



Таблица нормального распределения

Что такое нормальное распределение?

Формула нормального распределения основана на двух простых параметрах – среднем значении и стандартном отклонении – которые количественно определяют характеристики данного набора данных.

Среднее значение указывает на «центральное» или среднее значение всего набора данных, а стандартное отклонение указывает на «разброс» или отклонение точек данных вокруг этого среднего значения.

Ключевые выводы

  • Формула нормального распределения основана на двух простых параметрах – среднем значении и стандартном отклонении – которые количественно определяют характеристики данного набора данных.
  • Чтобы упростить единый стандартный метод для простых вычислений и его применимости к реальным задачам, было введено стандартное преобразование в Z-значения, которые являются частью Таблицы нормального распределения.
  • Свойства нормального распределения включают: нормальная кривая симметрична относительно среднего; среднее значение находится посередине и делит область пополам; общая площадь под кривой равна 1 для mean = 0 и stdev = 1; и распределение полностью описывается его средним значением и стандартным отклонением.
  • Таблицы нормального распределения используются в торговле ценными бумагами, чтобы помочь идентифицировать восходящие или нисходящие тенденции, уровни поддержки или сопротивления и другие технические индикаторы.

Пример нормального распределения

Рассмотрим следующие 2 набора данных:

  1. Набор данных 1 =
  2. Набор данных 2 =

Для набора данных 1 среднее значение = 10 и стандартное отклонение (стандартное отклонение) = 0.

Для набора данных 2 среднее значение = 10 и стандартное отклонение (стандартное отклонение) = 2,83.

Построим эти значения для DataSet1:

Аналогично для DataSet2:

Красная горизонтальная линия на обоих приведенных выше графиках указывает «среднее» или среднее значение каждого набора данных (10 в обоих случаях). Розовые стрелки на втором графике показывают разброс или отклонение значений данных от среднего значения. Это представлено значением стандартного отклонения 2,83 в случае DataSet2. Поскольку DataSet1 имеет все значения, одинаковые (по 10 каждое) и никаких вариаций, значение stddev равно нулю, и, следовательно, розовые стрелки не применимы.

Значение stddev имеет несколько важных и полезных характеристик, которые чрезвычайно полезны при анализе данных. Для нормального распределения значения данных распределяются симметрично по обе стороны от среднего. Для любого нормально распределенного набора данных с построением графика со стандартным отклонением по горизонтальной оси и количеством значений данных по вертикальной оси получается следующий график.

Свойства нормального распределения

  1. Нормальная кривая симметрична относительно среднего;
  2. Среднее значение находится посередине и делит область на две половины;
  3. Общая площадь под кривой равна 1 для mean = 0 и stdev = 1;
  4. Распределение полностью описывается его средним значением и стандартным отклонением.

Как видно из приведенного выше графика, stddev представляет следующее:

  • 68,3% значений данных находятся в пределах 1 стандартного отклонения от среднего (от -1 до +1)
  • 95,4% значений данных находятся в пределах 2 стандартных отклонений от среднего (от -2 до +2)
  • 99,7% значений данных находятся в пределах 3 стандартных отклонений от среднего (от -3 до +3)

Площадь под колоколообразной кривой при измерении указывает желаемую вероятность данного диапазона:

  • меньше X: например, вероятность того, что значения данных меньше 70
  • больше X: например, вероятность значений данных больше 95
  • между X 1 и X 2 : например, вероятность значений данных от 65 до 85

где X – интересующее значение (примеры ниже).

Построение и расчет площади не всегда удобно, поскольку разные наборы данных будут иметь разные значения среднего и стандартного отклонения. Чтобы упростить единый стандартный метод для простых вычислений и его применимости к реальным задачам, было введено стандартное преобразование в Z-значения, которые являются частью Таблицы нормального распределения.

Z = (X – среднее) / stddev, где X – случайная величина.

По сути, это преобразование вынуждает стандартизировать среднее значение и стандартное отклонение до 0 и 1 соответственно, что позволяет использовать стандартный определенный набор Z-значений (из таблицы нормального распределения ) для простых вычислений. Снимок стандартной таблицы значений z, содержащей значения вероятности, выглядит следующим образом:

Чтобы найти вероятность, связанную с z-значением 0,239865, сначала округлите ее до двух знаков после запятой (т.е. 0,24). Затем проверьте первые 2 значащие цифры (0,2) в строках и младшую значащую цифру (оставшиеся 0,04) в столбце. Это приведет к значению 0,09483.

Полную таблицу нормального распределения с точностью до 5 десятичных знаков для значений вероятности (в том числе для отрицательных значений) можно найти здесь.

Давайте посмотрим на несколько реальных примеров. Рост людей в большой группе соответствует нормальному образцу распределения. Предположим, что у нас есть набор из 100 человек, рост которых записан, а среднее значение и стандартное отклонение рассчитаны для 66 и 6 дюймов соответственно.

Вот несколько примеров вопросов, на которые можно легко ответить с помощью таблицы z-значений:

Какова вероятность того, что рост человека в группе составляет 70 дюймов или меньше?

Вопрос в том, чтобы найти кумулятивное значение P (X = 75).

Z = (X – среднее) / стандартное отклонение = (75-66) / 6 = 9/6 = 1,5

Источник

Нормальное распределение непрерывной случайной величины

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Нормальное распределение: теоретические основы

Примерами случайных величин, распределённых по нормальному закону, являются рост человека, масса вылавливаемой рыбы одного вида. Нормальность распределения означает следующее: существуют значения роста человека, массы рыбы одного вида, которые на интуитивном уровне воспринимаются как «нормальные» (а по сути — усреднённые), и они-то в достаточно большой выборке встречаются гораздо чаще, чем отличающиеся в бОльшую или меньшую сторону.

гистограмма значений выборки, подчиняющейся нормальному закону распределения

Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины (иногда — распределение Гаусса) можно назвать колоколообразным из-за того, что симметричная относительно среднего функция плотности этого распределения очень похожа на разрез колокола (красная кривая на рисунке выше).

Вероятность встретить в выборке те или иные значение равна площади фигуры под кривой и в случае нормального распределения мы видим, что под верхом «колокола», которому соответствуют значения, стремящиеся к среднему, площадь, а значит, вероятность, больше, чем под краями. Таким образом, получаем то же, что уже сказано: вероятность встретить человека «нормального» роста, поймать рыбу «нормальной» массы выше, чем для значений, отличающихся в бОльшую или меньшую сторону. В очень многих случаях практики ошибки измерения распределяются по закону, близкому к нормальному.

Остановимся ещё раз на рисунке в начале урока, на котором представлена функция плотности нормального распределения. График этой функции получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. На ней столбцы гистограммы представляют собой интервалы значений выборки, распределение которых близко (или, как принято говорить в статистике, незначимо отличаются от) к собственно графику функции плотности нормального распределения, который представляет собой кривую красного цвета. На графике видно, что эта кривая действительно колоколообразная.

Нормальное распределение во многом ценно благодаря тому, что зная только математическое ожидание непрерывной случайной величины и стандартное отклонение, можно вычислить любую вероятность, связанную с этой величиной.

Нормальное распределение имеет ещё и то преимущество, что один из наиболее простых в использовании статистических критериев, используемых для проверки статистических гипотез — критерий Стьюдента — может быть использован только в том случае, когда данные выборки подчиняются нормальному закону распределения.

Функцию плотности нормального распределения непрерывной случайной величины можно найти по формуле:

где x — значение изменяющейся величины, — среднее значение, — стандартное отклонение, e=2,71828. — основание натурального логарифма, =3,1416.

Свойства функции плотности нормального распределения

  • для всех значений аргумента функция плотности положительна;
  • если аргумент стремится к бесконечности, то функция плотности стреится к нулю;
  • функция плотности симметрична относительно среднего значения: ;
  • наибольшее значение функции плотности — у среднего значения: ;
  • кривая функции плотности выпукла в интервале и вогнута на остальной части;
  • мода и медиана нормального распределения совпадает со средним значением;
  • при нормальном распределении коэффициенты ассиметрии и эксцесса равны нулю (подробнее рассмотрим это свойство в следующем параграфе о приближенном методе проверки нормальности распределения).

Изменения среднего значения перемещают кривую функции плотности нормального распределения в направлении оси Ox. Если возрастает, кривая перемещается вправо, если уменьшается, то влево.

Если меняется стандартное отклонение, то меняется высота вершины кривой. При увеличении стандартного отклонения вершина кривой находится выше, при уменьшении — ниже.

Вероятность попадания значения нормально распределённой случайной величины в заданный интервал

Уже в этом параграфе начнём решать практические задачи, смысл которых обозначен в заголовке. Разберём, какие возможности для решения задач предоставляет теория. Отправное понятие для вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал — интегральная функция нормального распределения.

Читайте также:  Императорское Вольное экономическое общество

Интегральная функция нормального распределения:

Однако проблематично получить таблицы для каждой возможной комбинации среднего и стандартного отклонения. Поэтому одним из простых способов вычисления вероятности попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал является использование таблиц вероятностей для стандартизированного нормального распределения.

Стандартизованным или нормированным называется нормальное распределение, среднее значение которого , а стандартное отклонение .

Функция плотности стандартизованного нормального распределения:

Интегральная функция стандартизованного нормального распределения:

На рисунке ниже представлена интегральная функция стандартизованного нормального распределения, график которой получен при рассчёте некоторой выборки данных в пакете программных средств STATISTICA. Собственно график представляет собой кривую красного цвета, а значения выборки приближаются к нему.

интегральная функция стандартизированного нормального распределения

Для увеличения рисунка можно щёлкнуть по нему левой кнопкой мыши.

Стандартизация случайной величины означает переход от первоначальных единиц, используемых в задании, к стандартизованным единицам. Стандартизация выполняется по формуле

На практике все возможные значения случайной величины часто не известны, поэтому значения среднего и стандартного отклонения точно определить нельзя. Их заменяют средним арифметическим наблюдений и стандартным отклонением s. Величина z выражает отклонения значений случайной величины от среднего арифметического при измерении стандартных отклонений.

Открытый интервал

Таблица вероятностей для стандартизированного нормального распределения, которая есть практически в любой книге по статистике, содержит вероятности того, что имеющая стандартное нормальное распределение случайная величина Z примет значение меньше некоторого числа z. То есть попадёт в открытый интервал от минус бесконечности до z. Например, вероятность того, что величина Z меньше 1,5, равна 0,93319.

Пример 1. Предприятие производит детали, срок службы которых нормально распределён со средним значением 1000 и стандартным отклонением 200 часов.

Для случайно отобранной детали вычислить вероятность того, что её срок службы будет не менее 900 часов.

Решение. Введём первое обозначение:

Значения случайной величины находятся в открытом интервале. Но мы умеем вычислять вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного, а по условию задачи требуется найти равное или большее заданного. Это другая часть пространства под кривой плотности нормального распределения (колокола). Поэтому, чтобы найти искомую вероятность, нужно из единицы вычесть упомянутую вероятность того, что случайная величина примет значение, меньше заданного 900:

Теперь случайную величину нужно стандартизировать.

Продолжаем вводить обозначения:

x = 900 — заданное значение случайной величины;

μ = 1000 — среднее значение;

σ = 200 — стандартное отклонение.

По этим данным условия задачи получаем:

По таблицам стандартизированной случайной величине (границе интервала) z = −0,5 соответствует вероятность 0,30854. Вычтем ее из единицы и получим то, что требуется в условии задачи:

Итак, вероятность того, что срок службы детали будет не менее 900 часов, составляет 69%.

Эту вероятность можно получить, используя функцию MS Excel НОРМ.РАСП (значение интегральной величины — 1):

P(X≥900) = 1 — P(X≤900) = 1 — НОРМ.РАСП(900; 1000; 200; 1) = 1 — 0,3085 = 0,6915.

О расчётах в MS Excel — в одном из последующих параграфах этого урока.

Пример 2. В некотором городе среднегодовой доход семьи является нормально распределённой случайной величиной со средним значением 300000 и стандартным отклонением 50000. Известно, что доходы 40 % семей меньше величины A. Найти величину A.

Решение. В этой задаче 40 % — ни что иное, как вероятность того, что случайная величина примет значение из открытого интервала, меньшее определённого значения, обозначенного буквой A.

Чтобы найти величину A, сначала составим интегральную функцию:

По условию задачи

μ = 300000 — среднее значение;

σ = 50000 — стандартное отклонение;

x = A — величина, которую нужно найти.

По статистическим таблицам находим, что вероятность 0,40 соответствует значению границы интервала z = −0,25 .

Поэтому составляем равенство

и находим его решение:

Ответ: доходы 40 % семей менее 287300.

Закрытый интервал

Во многих задачах требуется найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина примет значение в интервале от z 1 до z 2 . То есть попадёт в закрытый интервал. Для решения таких задач необходимо найти в таблице вероятности, соответствующие границам интервала, а затем найти разность этих вероятностей. При этом требуется вычитать меньшее значение из большего. Примеры на решения этих распространённых задач — следующие, причём решить их предлагается самостоятельно, а затем можно посмотреть правильные решения и ответы.

Пример 3. Прибыль предприятия за некоторый период — случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения со средним значением 0,5 млн. у.е. и стандартным отклонением 0,354. Определить с точностью до двух знаков после запятой вероятность того, что прибыль предприятия составит от 0,4 до 0,6 у.е.

Пример 4. Длина изготавливаемой детали представляет собой случайную величину, распределённую по нормальному закону с параметрами μ=10 и σ=0,071 . Найти с точностью до двух знаков после запятой вероятность брака, если допустимые размеры детали должны быть 10±0,05 .

Подсказка: в этой задаче помимо нахождения вероятности попадания случайной величины в закрытый интервал (вероятность получения небракованной детали) требуется выполнить ещё одно действие.

позволяет определить вероятность того, что стандартизованное значение Z не меньше -z и не больше +z, где z — произвольно выбранное значение стандартизованной случайной величины.

Приближенный метод проверки нормальности распределения

Приближенный метод проверки нормальности распределения значений выборки основан на следующем свойстве нормального распределения: коэффициент асимметрии β 1 и коэффициент эксцесса β 2 равны нулю.

Коэффициент асимметрии β 1 численно характеризует симметрию эмпирического распределения относительно среднего. Если коэффициент асимметрии равен нулю, то среднее арифметрического значение, медиана и мода равны: и кривая плотности распределения симметрична относительно среднего. Если коэффициент асимметрии меньше нуля ( β 1 ), то среднее арифметическое меньше медианы, а медиана, в свою очередь, меньше моды ( ) и кривая сдвинута вправо (по сравнению с нормальным распределением). Если коэффициент асимметрии больше нуля ( β 1 > 0 ), то среднее арифметическое больше медианы, а медиана, в свою очередь, больше моды ( ) и кривая сдвинута влево (по сравнению с нормальным распределением).

Коэффициент эксцесса β 2 характеризует концентрацию эмпирического распределения вокруг арифметического среднего в направлении оси Oy и степень островершинности кривой плотности распределения. Если коэффициент эксцесса больше нуля, то кривая более вытянута (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более островершинный). Если коэффициент эксцесса меньше нуля, то кривая более сплющена (по сравнению с нормальным распределением) вдоль оси Oy (график более туповершинный).

Коэффициент асимметрии можно вычислить с помощью функции MS Excel СКОС. Если вы проверяете один массив данных, то требуется ввести диапазон данных в одно окошко «Число».

окно функции MS Excel СКОС для вычисления коэффициента асимметрии при приближенном методе проверки нормальности распределения

Коэффициент эксцесса можно вычислить с помощью функции MS Excel ЭКСЦЕСС. При проверке одного массива данных также достаточно ввести диапазон данных в одно окошко «Число».

окно функции MS Excel ЭКСЦЕСС для вычисления коэффициента эксцесса при приближенном методе проверки нормальности распределения

Итак, как мы уже знаем, при нормальном распределении коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю. Но что, если мы получили коэффициенты асимметрии, равные -0,14, 0,22, 0,43, а коэффициенты эксцесса, равные 0,17, -0,31, 0,55? Вопрос вполне справедливый, так как практически мы имеем дело лишь с приближенными, выборочными значениями асимметрии и эксцесса, которые подвержены некоторому неизбежному, неконтролируемому разбросу. Поэтому нельзя требовать строгого равенства этих коэффициентов нулю, они должны лишь быть достаточно близкими к нулю. Но что значит — достаточно?

Требуется сравнить полученные эмпирические значения с допустимыми значениями. Для этого нужно проверить следующие неравенства (сравнить значения коэффициентов по модулю с критическими значениями — границами области проверки гипотезы).

Для коэффициента асимметрии β 1 :

— квантиль стандартного нормального распределения уровня ,

— среднеквадратическое отклонение для выборки с числом наблюдений n .

Для коэффициента эксцесса β 2 :

— квантиль стандартного нормального распределения уровня ,

— среднеквадратическое отклонение для выборки с числом наблюдений n .

Так как коэффициенты асимметрии и эксцесса могут оказаться и положительными, и отрицательными, то в приближенном методе проверки нормальности распределения используется двусторонний квантиль стандартного нормального распределения; он задаёт интервал, в который случайная величина попадает с определённой вероятностью. Приведём значения двусторонних квантилей стандартного нормального распределения определённых уровней (слева — уровень, справа — значение квантиля):

  • 0,90: 1,645
  • 0,95: 1,960
  • 0,975: 2,241
  • 0,98: 2,326
  • 0,99: 2,576
  • 0,995: 2,807
  • 0,999: 3,291
  • 0,9995: 3,481
  • 0,9999: 3,891

Например, для выборки с числом наблюдений n = 50 и α = 0,05 , пользуясь этими значениями и ранее приведёнными формулами, можно получить границу области принятия гипотезы для коэффициента асимметрии 0,62 и для коэффициента эксцесса 1,15. Поэтому приведённые ранее примеры эмпирических значений коэффициента асимметрии -0,14, 0,22, 0,43 попадают в область принятия гипотезы. То же самое относится к значениям коэффициента эксцесса 0,17, -0,31, 0,55. Следовательно, если получены такие эмпирические значения, то с вероятностью 95% данные выборки подчиняются нормальному закону распределения.

Читайте также:  50 фактов обо мне хотела 10 но разогналась

Нормальное распределение и расчёты в MS Excel

Значения функции плотности f(x) и интегральной функции F(x) нормального распределения можно вычислить при помощи функции MS Excel НОРМ.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

окно ms excel для расчёта нормального распределения

MS Excel требует ввести следующие данные:

  • x — значение изменяющегося признака;
  • среднее значение;
  • стандартное отклонение;
  • интегральная — логическое значение: 0 — если нужно вычислить функцию плотности f(x) и 1 — если вероятность F(x).

Решим ещё задачи на нормальное распределение

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Определить с точностью до двух знаков после запятой вероятность попадания при стрельбе в полосу шириной 3,5 м, если ошибки стрельбы подчиняются нормальному закону распределения со средним значением 0 и σ = 1,9 .

Решим ещё одну задачу вместе

Пример 6. О случайной величине X известно, что она нормально распределена, а вероятности того, что она составит 10 или меньше и больше 25, соответственно и . Найти среднее значение (математическое ожидание) случайной величины и её дисперсию.

Решение. Используем данные в условии задачи вероятности:

Пользуясь статистическими таблицами, находим:

Источник

Таблицы нормального распределения с примерами

Пример. Требуется определить значение функции распределения нормального закона в точке при среднем и среднеквадратическом отклонении

2. Находим с помощью таблицы значение функции в точке прибегая в случае необходимости к линейной интерполяции, а именно:

где — два соседних табличных значения аргумента между которыми находится интересующее нас значение . В нашем примере

Замечание. При отыскании значений для следует пользоваться соотношением . Например, если надо найти значение в точке , то имеем: так что

Таблица П.3. Значения -квантилей стандартного нормального распределения

Пример. Найти -квантиль Величину «0,9 находим из таблицы в графе, расположенной справа от соответствующего значения т. е.

Замечание 1. Если заданная величина q попадает между двумя соседними табличными значениями это может случиться при графической проверке нормальности распределения), то следует воспользоваться линейной интерполяцией, а именно формулой

Замечание 2. При нахождении -квантилей для значений следует воспользоваться соотношением Например,

Замечание 3. При отыскании -ных точек следует воспользоваться соотношением Например, .

Таблица П.4. Значения -ных точек -распределения с v степенями свободы

Продолжение табл. П.4

Таблица П.5. Значения точек -распределения с числом степеней свободы числителя и знаменателя

Продолжение табл. П.5

Продолжение табл. П.5

Продолжение табл. П.5

Таблица П.6. Значения -ных точек распределения Стьюдента ( -распределения) с v степенями свободы

Таблица П.7. Преобразование Фишера ( -преобразование) выборочного коэффициента корреляции

Продолжение табл. П.7

1. Дано Определить

Находим (в левом столбце таблицы) строку, соответствующую Чтобы получить заданное значение , к 0,20 надо прибавить 0,006, а потому искомое число находится (в этой строке) в столбце, расположенном под 0,006. Итак,

2. Дано Определить

Находим (в левом столбце таблицы) строку, соответствующую Чтобы получить значение к 0,51 надо прибавить 0,005, а потому находится как среднее арифметическое двух чисел данной строки, расположенных в столбцах, соответствующих верхним индексам 0,006 и 0,004, т. е.

3. Дано Определить .

Находим в таблице число, равное 0,8752, и определяем, какому значению оно соответствует. В нашем случае

Примечание. В тех случаях, когда в таблице не найдется в точности заданного числа, берут два приближенных (ближайших к нему) значения — с недостатком и с избытком. Искомое значение будет лежать между двумя значениями соответствующими этим приближенным величинам .

Таблица П.8. Верхняя (положительная) граница доверительного интервала для истинного значения коэффициента корреляции в случае отсутствия корреляционной связи (при доверительной вероятности )

Примечание. Верхний индекс (2,3 и т. д.) над цифрой начает, что эта цифра занимает первые 2,3 и т. д. разряда десятичной дроби. Например,

Пример. Если мы оцениваем корреляционную связь по наблюдениям, то при доверительной вероятности (т. е. при значение коэффициента корреляции, не превосходящее по абсолютной величине 0,444, еще не говорит о статистической значимости этой корреляционной связи (т. е. о том, что истинное значение коэффициента корреляции отлично от нуля).

Таблица П.9. Проверка статистической значимости корреляционной связи с помощью рангового коэффициента корреляции Спирмэна

Таблица П.10. Проверка статистической значимости корреляционной связи с помощью рангового коэффициента корреляции Кендалла

Таблица П.11а. Проверка статистической значимости выборочного значения коэффициента конкордации Вероятность того, что данное значение S будет достигнуто или превзойдено, для и от 2 до 10

Вероятность того, что данное значение S будет достигнуто или превзойдено, для

Вероятность того, что данное значение S будет достигнуто или превзойдено, для

Вероятность того, что данное значение S будет достигнуто или превзойдено, для и

Таблица П.11б Проверка статистической значимости выборочного значения коэффициента конкордации Критические значения S при уровне значимости а 0,05

Источник

Нормальное распределение (Гаусса) в Excel

В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График плотности нормального распределения

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

Различные вероятности у нормально распределенных данных

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Функция Гаусса

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии ( σ 2 ). Кратко обозначается N(m, σ 2 ) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ 2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

Функция нормального распределения

Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

P(a ≤ X 0 =1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.

Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.

Читайте также:  Как расширить умную таблицу влево

Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.

Функция стандартного нормального распределения

Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.

Таблица нормального распределения

Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:

— таблица плотности;

— таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы.

Таблица плотности стандартного нормального распределения

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец , т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен).

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

График функции Гаусса

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Свойство 1

Это факт показан на картинке:

Свойство нормального распределения 1

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:

Свойство 2

Для наглядности можно взглянуть на рисунок.

Свойство нормального распределения 2

На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.

Свойство нормального распределения 2 на кривой Гаусса

Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:

Свойство 3

Свойство нормального распределения 3

Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Свойство нормального распределения 3 на кривой Гаусса

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Функция стандартного нормального распределения

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Таблица функции Лапласа

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

Значение функции Лапласа для z=1,64 в правую сторону

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Значение функции Лапласа для z=1,64 под кривой Гаусса

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Значение функции Лапласа для z=1,96 в правую сторону

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Значение функции Лапласа для z=1,96 под кривой Гаусса

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Значение функции Лапласа для z=3 под кривой Гаусса

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

Нормальное распределение в Excel

В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.

Функции нормального распределения в Excel

Функция НОРМ.СТ.РАСП

Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ( z ) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z).

z – значение стандартизованной переменной

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность ϕ( z ) , если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z

Источник

Talkin go money

Т-критерий Стьюдента за 12 минут. Биостатистика. (Июль 2021).

Таблица нормального распределения, Объяснение - 2021 - Talkin go money

Table of Contents:

Формула нормального распределения основана на двух простых параметрах — среднем и стандартном отклонениях, которые определяют количественно характеристики данного набора данных. В то время как среднее означает «центральное» или среднее значение всего набора данных, стандартное отклонение указывает «разброс» или изменение точек данных вокруг этого среднего значения.

Рассмотрим следующие 2 набора данных:

Для набора данных 1, среднее значение = 10 и стандартное отклонение (stddev) = 0

Для Dataset2 среднее значение = 10 и стандартное отклонение (stddev) = 2. 83

Давайте нарисуем эти значения для DataSet1:

Аналогично для DataSet2:

Красная горизонтальная линия на обоих приведенных выше графиках указывает «среднее» или среднее значение каждого набора данных (в обоих случаях — 10). Розовые стрелки на втором графике показывают разброс или изменение значений данных из среднего значения. Это представлено стандартным значением отклонения 2. 83 в случае DataSet2. Поскольку DataSet1 имеет все значения одинаковые (по 10 каждый) и никаких изменений, значение stddev равно нулю, и, следовательно, не применяются розовые стрелки.

Значение stddev имеет несколько существенных и полезных характеристик, которые чрезвычайно полезны при анализе данных. Для нормального распределения значения данных симметрично распределены по обе стороны от среднего значения. Для любого нормально распределенного набора данных, график графика с stddev по горизонтальной оси и нет. значений данных по вертикальной оси, получается следующий график.

Свойства нормального распределения

  1. Нормальная кривая симметрична относительно среднего;
  2. Среднее значение находится в середине и делит область на две половины;
  3. Общая площадь под кривой равна 1 для среднего = 0 и stdev = 1;
  4. Распределение полностью описывается его средним значением и stddev

Как видно из приведенного выше графика, stddev представляет следующее:

  • 68. 3% значений данных находятся в пределах 1 стандартного отклонения от среднего (от -1 до +1)
  • 95. 4% значений данных находятся в пределах 2 стандартных отклонения от среднего (от -2 до +2)
  • 99. 7% значений данных находятся в пределах 3 стандартных отклонения от среднего (от -3 до +3)

Площадь под кривой колоколообразной кривой при измерении указывает на желаемую вероятность данного диапазон:

  • меньше, чем X: — e. г. вероятность значений данных меньше 70
  • больше X — e. г. вероятность значений данных больше 95
  • между X 1 и X 2 e. г. вероятность значений данных между 65 и 85

, где X представляет интересную ценность (примеры ниже).

Построение и вычисление области не всегда удобно, так как разные наборы данных будут иметь разные значения среднего и stddev.Чтобы облегчить единый стандартный метод для простых вычислений и применимости к реальным проблемам, было введено стандартное преобразование в значения Z, которые составляют часть таблицы Normal Distribution Table .

Z = (X — среднее) / stddev, где X — случайная величина.

В основном это преобразование заставляет среднее и stddev стандартизоваться на 0 и 1 соответственно, что позволяет использовать стандартный набор Z-значений (из Normal Distribution Table ), который будет использоваться для легких вычислений , Захват стандартной таблицы значений z, содержащей значения вероятности, выглядит следующим образом:

Источник