Тема 3 Прямая и обратная геодезическая задача

Тема 3. Прямая и обратная геодезическая задача.

При производстве строительных работ создается разбивочная основа в виде строительной сетки. Пункт Государственной геодезической сети выносится на территорию строительства для обеспечения исходными данными всех геодезических работ. Решение прямой геодезической задачи позволяет определить координаты всех точек, расположенных в зоне строительства.

В геодезии принята система плос­ких прямоугольных координат, в которой относительно оси XX , совпадающей с направлением меридиана, и оси YY , перпендику­лярной к оси XX , определяют положение каждой точки, т. е. её координаты х и у; при этом счет четвертей идет по ходу часовой стрелки, согласно возрастанию азимутов и дирекционных углов .

При составлении планов ситуацию накладывают от опорных точек и линий, их соединяющих. Поэтому на бумагу сначала на­носят опорные точки по их координатам. Так как число этих точек весьма велико, то при геодезических работах часто решают прямую задачу на координаты. Она состоит в том, что по извест­ным координатам данной точки, а также дирекционному углу и горизонтальному проложению линии от этой точки до определяе­мой вычисляют координаты определяемой точки.

Решить прямую геодезическую задачу, т.е Пример

определить прямоугольные координаты точки 2 через координаты точки 1 по следующим данным:

К ординаты точки 1 — X, = 4250 м. У,=6730 м;

Расстояние между точками d =120,10 м; направление линии, т.е дирекционный угол 48°30′ =r.

Для определения координат точки 2 сначала нужно найти приращение координат –ΔХ и ΔУ, затем сами координаты Х 2;У 2 .

1.Определяем приращение координат ΔХ = d . cosr = 120,10 . 0,6626 =79,51 м

Источник

Прямая геодезическая задача

В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А (рис. 23), горизон- тальное расстояние S AB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол a AB или румб r AB), можно оп- ределить координаты точки В.

В такой постановке передача коор- динат называется прямой геоде- зической задачей.

Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные труд- ности. Для точек на плоскости она решается следующим образом.

Дано: точка А ( X A , Y A), S AB и a AB.

Найти: точку В ( X B , Y B). Рис. 23. Прямая геодезическая задача

Непосредственно из рисунка имеем

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей на- зываются приращениями координат. Они представляют собой проекции

отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС

ΔX = S AB cos a AB ,

ΔY = S AB sin a AB .

Так как в этих формулах S AB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos a AB и sin a AB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл. 1.

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

При помощи румба приращения координат вычисляем по формулам:

ΔX = S AB cos r AB ,

ΔY = S AB sin r AB .

Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба. Вычислив приращения координат, находим искомые координаты дру-

X B = X A + ΔX , Y B = Y A + ΔY .

Таким образом можно найти координаты любого числа точек по пра- вилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.

Обратная геодезическая задача

Рис. 24. Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача за- ключается в том, что при известных коорди- натах точек А ( X A , Y A) и В ( X B , Y B) необхо- димо найти длину S AB и направление линии АВ: румб r AB и дирекционный угол a AB (рис. 24).

Данная задача решается следующим образом.

Сначала находим приращения координат

Величину угла r AB определяем из отношения

По знакам приращений координат вычисляем четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между ди- рекционными углами и румбами, находим a AB .

Для контроля расстояние S AB вычисляем дважды при помощи формул:

cos a АВ

Расстояние S AB можно определить также по формуле

S АВ = .

Связь между дирекционными углами предыдущей и последующей линии

На рис. 25 представлена схема определения дирекционных углов сто- рон теодолитного хода AB. Известен дирекционный угол исходной сторо- ны a 0 и измерены геодезическим прибором теодолитом углы β 1 , β 2 , β 3, лежащие справа по ходу от А к В.

Рис. 25. Схема определения дирекционных углов сторон теодолитного хода

Найдём дирекционные углы a 1 , a 2 , a 3 остальных сторон хода.

На основании зависимости между прямыми и обратными дирекцион- ными углами можем написать

a 1 + β 1 = a 0 + 180°.

Из данного выражения следует, что

a 1 = a 0 + 180° – β 1 . (1)

Аналогично вычисляются дирекционные углы последующих сторон теодолитного хода

a 2 + β 2 = a 1 + 180° → a 2 = a 1 + 180° – β 2 , (2)

a 3 + β 3 = a 2 + 180° → a 3 = a 2 + 180° – β 3 , (3)

a n + β n = a n -1 + 180° → a n = a n -1 + 180° – β n . (n)

То есть, дирекционный угол последующей стороны равен дирек- ционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус угол, лежа- щий справа по ходу.

Для получения контрольной формулы в выражение (2) подставим значение a1 из выражения (1)

a 2 = a 0 + 180° – β 1 + 180° – β 2 = a 0 + 2 · 180° – ( β 1 + β 2) .

Если продолжить аналогичные действия для последующих сторон теодолитного хода, то получим

a n = a 0 + n · 180° – ( β 1 + β 2 + β 3 + . + β n) → a n – a 0 =

= n · 180° – ∑ β → a 0 – a n = ∑ β – n · 180°.

Данная формула может служить контрольной при вычислении дирек- ционных углов по увязанным углам β.

Если же вместо суммы исправленных углов подставить сумму изме- ренных углов ∑ β, то та же формула позволит определить невязку f β из- меренных углов теодолитного хода, если дирекционные углы a 0 и a n на- чальной и конечной сторон хода известны

f β = ∑ β – n · 180° – ( a 0 – a n) .

Иногда дирекционные углы вычисляют по углам, лежащим слева по ходу от А до В (l1, l2, …, ln)

Подставив эти значения в выражения (1), (2), . (n), получим

a 1 = a 0 – 180° + l1 ,

a 2 = a 1 – 180° + l2 ,

a n = a n -1 – 180° + ln .

Для проверки правильности вычисления дирекционных углов по углам

l, лежащим слева по ходу, используем выражение

a n – a 0 = ∑ Z – n · 180° или a n – a 0 = ∑l + n · 180°.

Тогда невязка fβ определяется по формуле

f β = ∑l + n · 180° – ( a n – a 0).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется ориентированием на местности?

2. Что называется дирекционным углом линии, и в каких пределах он измеряется?

3. Что такое румб линии, и в каких пределах он измеряется?

4. Что называется истинным и магнитным азимутами?

5. Какова зависимость между дирекционным углом и истинным азиму- том и между истинным азимутом и магнитным азимутом?

6. Что называется сближением меридианов?

7. Что называется склонением магнитной стрелки?

РЕЛЬЕФ, ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЕ НА КАРТАХ И ПЛАНАХ. ЦИФРОВЫЕ МОДЕЛИ МЕСТНОСТИ

Геодезическая съемка. План, карта, профиль

Рельеф. Основные формы рельефа

Изображение рельефа на планах и картах

Цифровые модели местности

Задачи, решаемые на планах и картах

Геодезическая съемка. План, карта, профиль

Чтобы спроектировать линию местности на горизонтальную плос- кость, нужно определить её горизонтальное проложение (проекцию ли- нии на горизонтальную плоскость) и уменьшить его до определенного

масштаба. Для проектирования на горизонтальную плоскость какого-либо многоугольника (рис. 26) измеряют расстояния между его вершинами и горизонтальные проекции его углов.

Рис. 26. Проектирование участка земной поверхности на горизонтальную плоскость

Совокупность линейных и угловых измерений на земной поверхности называется геодезической съемкой. По результатам геодезической съемки составляют план или карту.

План – чертеж, на котором в уменьшенном и подобном виде изобра- жается горизонтальная проекция небольшого участка местности.

Карта – уменьшенное и искаженное вследствие влияния кривизны Земли изображение горизонтальной проекции значительной части или всей земной поверхности, построенное по определенным математиче- ским законам.

Таким образом, и план, и карта – это уменьшенные изображения зем- ной поверхности на плоскости. Различие между ними состоит в том, что при составлении карты проектирование производят с искажениями по- верхности за счет влияния кривизны Земли, а на плане изображение по- лучают практически без искажений.

В зависимости от назначения планы и карты могут быть контурные и то- пографические. На контурных планах и картах условными знаками изобра- жают ситуацию, т. е. только контуры (очертания) горизонтальных проекций местных предметов (дорог, строений, пашен, лугов, лесов и т. п.).

На топографических картах и планах кроме ситуации изображают ещё рельеф местности.

Для проектирования железных, шоссейных дорог, каналов, трасс, во- допроводов и других сооружений необходимо иметь вертикальный раз- рез или профиль местности.

Профилем местности называется чертеж, на котором изображает- ся в уменьшенном виде сечение вертикальной плоскостью поверхности Земли по заданному направлению.

Как правило, разрез местности (рис. 27, а) представляет собой кривую линию ABC . G. На профиле (рис. 27, б) она строится в виде ломаной линии abc . g. Уровенную поверхность при этом изображают прямой линией. Для большей наглядности вертикальные отрезки (высоты, превышения) делают крупнее, чем горизонтальные (расстояния между точками).

Рис. 27. Вертикальный разрез ( а) и профиль ( б) местности

Рельеф. Основные формы рельефа

Рельеф – форма физической поверхности Земли, рассматриваемая по отношению к её уровенной поверхности.

Рельефом называется совокупность неровностей суши, дна океанов и морей, разнообразных по очертаниям, размерам, происхождению, воз- расту и истории развития. При проектировании и строительстве желез- ных, автомобильных и других сетей необходимо учитывать характер рельефа – горный, холмистый, равнинный и др.

Рельеф земной поверхности весьма разнообразен, но все многообра- зие форм рельефа для упрощения его анализа типизировано на неболь- шое количество основных форм (рис. 29).

К основным формам рельефа относятся.

Гора – это возвышающаяся над окружающей местностью конусооб- разная форма рельефа. Наивысшая точка её называется вершиной. Вершина может быть острой – пик или в виде площадки – плато. Боко- вая поверхность состоит из скатов. Линия слияния скатов с окружающей местностью называется подошвой или основанием горы.

Котловина – форма рельефа, противоположная горе, представляю- щая собой замкнутое углубление. Самая низкая точка её – дно. Боковая поверхность состоит из скатов; линия их слияния с окружающей местно- стью называется бровкой.

Рис. 29. Формы рельефа: 1 – лощина; 2 – хребет; 3, 7, 11 –

гора; 4 – водораздел; 5, 9 – седловина; 6 – тальвег; 8 – ре- ка; 10 – обрыв; 12 – терраса

Хребет – это возвышенность, вытянутая и постоянно понижающаяся в каком-либо направлении. У хребта два склона; в верхней части хребта они сливаются, образуя водораздельную линию, или водораздел.

Лощина – форма рельефа, противоположная хребту и представляющая вытянутое в каком-либо направлении и открытое с одного конца постоянно понижающееся углубление. Два ската лощины, сливаясь между собой в са- мой низкой части её образуют водосливную линию или тальвег, по которой стекает вода, попадающая на скаты. Разновидностями лощины являются долина и овраг: первая является широкой лощиной с пологими задерно- ванными скатами, вторая – узкая лощина с крутыми обнаженными скатами. Долина часто бывает ложем реки или ручья.

Седловина – это место, которое образуется при слиянии скатов двух соседних гор. Иногда седловина является местом слияния водоразделов двух хребтов. От седловины берут начало две лощины, распространяю- щиеся в противоположных направлениях. В горной местности через сед- ловины обычно пролегают дороги или пешеходные тропы, поэтому сед- ловины в горах называют перевалами.

Изображение рельефа на планах и картах

Для решения инженерных задач изображение рельефа должно обес- печивать: во-первых, быстрое определение с требуемой точностью вы-

сот точек местности, направления крутизны скатов и уклонов линий; во- вторых, наглядное отображение действительного ландшафта местности. Рельеф местности на планах и картах изображают различными спо- собами (штриховкой, пунктиром, цветной пластикой), но чаще всего с по-

мощью горизонталей (изогипсов), числовых отметок и условных знаков.

Горизонталь на местности можно представить как след, образован- ный пересечением уровенной поверхности с физической поверхностью Земли. Например, если представить холм, окружённый неподвижной во- дой, то береговая линия воды и есть горизонталь (рис. 30). Лежащие на ней точки имеют одинаковую высоту.

Рис. 30. Способ изображения рельефа горизонталями

Допустим, что высота уровня воды относительно уровенной поверх- ности 110 м (рис. 30). Предположим теперь, что уровень воды упал на 5 м и часть холма обнажилась. Кривая линия пересечения поверхностей во- ды и холма будет соответствовать горизонтали с высотой 105 м. Если последовательно снижать уровень воды по 5 м и проектировать кривые линии, образованные пересечением поверхности воды с земной поверх- ностью, на горизонтальную плоскость в уменьшенном виде, то получим изображение рельефа местности горизонталями на плоскости.

Таким образом кривая линия, соединяющая все точки местности с равными отметками, называется горизонталью.

При решении ряда инженерных задач необходимо знать свойства го- ризонталей:

1. Все точки местности, лежащие на горизонтали, имеют равные от- метки.

2. Горизонтали не могут пересекаться на плане, поскольку они лежат на разных высотах. Исключения возможны в горных районах, когда гори- зонталями изображают нависший утес.

3. Горизонтали являются непрерывными линиями. Горизонтали, пре- рванные у рамки плана, замыкаются за пределами плана.

4. Расстояние между горизонтальными секущими плоскостями назы- вается высотой сечения рельефа и обозначается буквой h.

Высота сечения рельефа в пределах плана или карты строго посто- янна. Её выбор зависит от характера рельефа, масштаба и назначения карты или плана. Для определения высоты сечения рельефа иногда пользуются формулой

где М – знаменатель масштаба.

Такая высота сечения рельефа называется нормальной.

5. Расстояние между соседними горизонталями на плане или карте называется заложением ската или склона. Заложение есть любое рас- стояние между соседними горизонталями (см. рис. 30), оно характеризует крутизну ската местности и обозначается d.

Вертикальный угол, образованный направлением ската с плоскостью горизонта и выраженный в угловой мере, называется углом наклона ската v (рис. 31). Чем больше угол наклона, тем круче скат.

Источник



Прямая геодезическая задача, решение на плоскости

Прямая геодезическая задача состоит в том, что по известным координатам начального пункта А(х А,у А), линии АВ, дирекционному углу этой линии α АВ и ее горизонтальному проложению S АВ — вычисляют координаты конечной точки В(х В, у В). Прямая геодезическая задача решается разными способами.

Для точек на плоскости она решается следующим образом.

Разности ΔX и ΔY точек последующей и предыдущей называются приращениями. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС:

Так как в этих формулах S AB всегда число положительное, то знаки приращений ΔX и ΔY зависят от знаков cos α AB и sin α AB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в таблице ниже.

Таблица знаков приращений координат ΔX и ΔY

При помощи румба, приращения вычисляют по формулам:

Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба.

Вычислив приращения, находим искомые координаты другой точки:

Таким образом можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения. Прямая геодезическая задача чаще всего используется при вычислении координат в теодолитном ходе.

Источник

Тема: «Решение прямой и обратной геодезических задач»

Цель: Освоить навыки в вычислении координат точек, дирекционных углов и длин линий.

Оборудование: Рабочая тетрадь, учебник, конспект, методические рекомендации.

1. По исходным данным решить задачи

2. Составить схематические чертежи по решению задач.

3. Сделать вывод о выполненной работе.

Порядок выполнения работы:

8. Ознакомиться с краткими теоретическими сведениями.

9. Решить задачи по своему варианту в соответствии с заданием.

10. Ответить на контрольные вопросы.

Краткие теоретические сведения

При проведении геодезических работ на строительной площадке возникает необходимость в определении положения линий на местности относительно какого-либо направления, принятого за начальное.

Ориентировать линию – значит определить её направление относительно исходного.

Истинным или географическим меридианом называется линия пересечения земной поверхности плоскостью, проходящей через данную точку и ось вращения Земли.

Магнитным меридианом называется направление оси магнитной стрелки компаса, расположенного в данной точке.

Осевым меридианом называется средний истинный меридиан зоны.Угол δ, отсчитываемый от северного направления истинного меридиана Ν и до магнитного меридиана Ν м, называется склонением магнитной стрелки.

Угол γ, отсчитываемый от северного направления истинного меридиана Ν и до параллели осевому меридиану Ν о, называется сближением меридианов.

Азимутом А называется угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления меридиана до данной линии. Изменяется в пределах от 0 ᵒ до 360 ◦ .

Дирекционным углом α называется угол, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от северного направления осевого меридиана зоны до данной линии.

Сущность прямой геодезической задачи состоит в том, что по координатам исходной точки А и полярному углу α направления АВ, требуется определить координаты другой точки В. Так как в практике прямоугольные координаты не измеряют, то для решения задачи измеряют полярный угол α и расстояние d (рис.10).

Х А Х В = Х А Х

У А У В = У А У

α Х = d , У = d

Для выноса проекта на местность бывает необходимо по данным прямоугольных координат найти значение дирекционного угла и длину линии между заданными точками. Это и составляет сущность решения обратной геодезической задачи.

Х А, У А tg α А-В = = ;

Х В, У В по знакам числителя и знаменателя

Определить: определяем название румба линии АВ, а следовательно

α А-В, d А-В и дирекционный угол.

d А-В = = = = ;

= ;

Х 1 = 255,35 м Х 2 = Х 1 Х ; У 2 = У 1 У; α = 155 ᵒ 30 ′ ;

У 1 = 538,80 м ЮВ: r =

α = 155 ᵒ 30 ′ Х = d = 98,37 0,90996 = 89,51 м (–)

d = 98,37 м У = d = 98,37 0,41469 = 40,79 м (+)

Х 2 = 255,35 – 89,51 = 165,84 м

Определить: У 2 = 538,80 + 40,79 = 579,59 м

Схема решения прямой геодезической задачи.

( + )

( – )

Х 1 = 287,35 м tg α = ; Х = Х 2 – Х 1 = 155,85 – 287,35 = – 131,50 м

У 1 = 572,82 м У = У 2 – У 1 = 482,32 – 572,82 = – 90,50 м

Х 2 = 155,85 м tg α = = = 0,6882 ; т.к. Х и У имеют знак (–),

У 2 = 482, 32 м румб линии будет ЮЗ tg r = 0,6882; r = 34 ᵒ 32 ′ ,

Определить: соответственно α = 180 ᵒ + 34 ᵒ 32 ′ = 214 ᵒ 32 ′

α 1-2 ; d 1-2 ; d = = = = ;

d = = 159,64 м ; d = = 159,63 м

d = = = 159,63 м

за окончательное значение принимаем 159,63 м.

Схема решения обратной геодезической задачи.

Источник

Прямая и обратная геодез задачи

2015-04-08
27715

Геодезическая задача – математического вида задача, связаная с определением взаимного положения точек земной поверхности и подразделяется на прямую и обратную задачу.

Прямой геодезической задачей (ПГЗ) называют вычисление геодезических координат — широты и долготы некоторой точки, лежащей на земном эллипсоиде, по координатам другой точки и по известным длине и дирекционному углу данного направления, соединяющей эти точки.

Обратная геодезическая задача (ОГЗ) заключается в определении по геодезическим координатам двух точек на земном эллипсоиде длины и дирекционного угла направления между этими точками.

В зависимости от длины геодезической линии, соединяющей рассматриваемые точки, применяются различные методы и формулы, разработанные в геодезии. По размерам принятого земного эллипсоида (см. Эллипсоид Красовского) составляются таблицы, облегчающие решение геодезических задач и рассчитанные на использование определённой системы формул.

Для определения координат точки в прямой геодезической задаче обычно применяют формулы:

1) нахождения приращений :

2) нахождения координат :

В обратной геодезической задаче находят дирекционный угол и расстояние:

1) вычисляют румб по формуле :

2) находят дирекционный угол в зависимости от четверти угла :

3) определяют расстояние между точками :

Геодезическая задача в том и другом виде возникает при обработке полигонометрии и триангуляции, а также во всех тех случаях, когда необходимо определить взаимное положение двух точек по длине и направлению соединяющей их линии или же расстояние и направление между этими точками по их геодезическим координатам. В ряде случаев геодезические задачи решают в пространственных прямоугольных координатах по формулам аналитической геометрии в пространстве. В этих случаях вместо длины и дирекционного угла, соединяющей две точки, используют длину и пространственные компоненты направления прямой линии между этими точками.

Тахетрическая съемка

Тахеометрическая съемка – топографическая съемка, выполняемая с помощью теодолита или тахеометра и дальномерной рейки (вехи с призмой), в результате которой получают план местности с изображением ситуации и рельефа.

Тахеометрическая съемка выполняется самостоятельно для создания планов или цифровых моделей небольших участков местности в крупных масштабах (1: 500 – 1: 5000) либо в сочетании с другими видами работ, когда выполнение стереотопографической или мензульной съемокэкономически нецелесообразно или технически затруднительно. Ее результаты используют при ведении земельного или городского кадастра, для планировки населенных пунктов, проектирования отводов земель, мелиоративных мероприятий и т.д. Особенно выгодно ее применение для съемки узких полос местности при изысканиях трасс каналов, железных и автомобильных дорог, линий электропередач, трубопроводов и других протяженных линейных объектов.

Слово «тахеометрия» в переводе с греческого означает «быстрое измерение». Быстрота измерений при тахеометрической съемке достигается тем, что положение снимаемой точки местности в плане и по высоте определяется одним наведением трубы прибора на рейку, установленную в этой точке. Тахеометрическая съемка выполняется обычно с помощью технических теодолитов или тахеометров.

При использовании технических теодолитов сущность тахеометрической съемки сводится к определению пространственных полярных координат точек местности и последующему нанесению этих точек на план. При этом горизонтальный угол B между начальным направлением и направлением на снимаемую точку измеряется с помощью горизонтального круга, вертикальный угол v – вертикального круга теодолита, а расстояние до точки D – дальномером. Таким образом, плановое положение снимаемых точек определяется полярным способом (координатами в,d), а превышения точек – методом тригонометрического нивелирования.

Преимущества тахеометрической съемки по сравнению с другими видами топографических съемок заключаются в том, что она может выполняться при неблагоприятных погодных условиях, а камеральные работы могут выполняться другим исполнителем вслед за производством полевых измерений, что позволяет сократить сроки составления плана снимаемой местности. Кроме того, сам процесс съемки может быть автоматизирован путем использования электронных тахеометров, а составление плана или ЦММ – производить на базе ЭВМ и графопостроителей. Основным недостатком тахеометрической съемки является то, что составление плана местности выполняется в камеральных условиях на основании только результатов полевых измерений и зарисовок. При этом нельзя своевременно выявить допущенные промахи путем сличения плана с местностью.

Источник