Меню

Транспортные задачи примеры в Excel

РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЦЫ

На практике подобные задачи решаются, конечно же, при помощи различного программного обеспечения, что позволяет значительно упростить работу и сэкономить время.

Рассмотрим, как это можно сделать в среде электронных таблиц Microsoft Excel на примере следующей задачи.

ЗАДАЧА: В пунктах A и B находятся соответственно 150 и 190 т горючего. Пунктам 1, 2, 3 требуются соответственно 60, 70, 110 т горючего. Стоимость перевозки 1 т горючего из пункта A в пункты 1, 2, 3 равна 60, 10, 40 тыс. руб. за 1 т соответственно, а из пункта B в пункты 1, 2, 3 — 120, 20, 80 тыс. руб. за 1 т соответственно.

Составьте план перевозок горючего, минимизирующий общую сумму транспортных расходов.

Составим для наглядности таблицу исходных данных.

Поставщики Потребители Запасы
A 60 10 40 150
B 120 20 80 190
Потребность 60 70 110

Важно отметить, что данная задача сбалансирована, то есть запасы горючего и потребность в нем равны. В этом случае не нужно учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками. В противном случае в модель нужно ввести:

  • в случае превышения объема запасов — фиктивного потребителя; стоимость перевозок единицы продукции этому фиктивному потребителю полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок этому потребителю равны объемам складирования излишек продукции у поставщиков;
  • в случае дефицита — фиктивного поставщика; стоимость перевозок единицы продукции от фиктивного поставщика полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок от этого поставщика равны объемам недопоставок продукции потребителям.

Для решения данной задачи построим ее математическую модель. Неизвестными здесь являются объемы перевозок. Пусть x ij — объем перевозок от i-того поставщика j-тому потребителю. Функцией цели являются суммарные транспортные расходы, т.е.

где c ij — стоимость перевозки единицы продукции от i-того поставщика j-тому потребителю. Кроме того, неизвестные должны удовлетворять следующим ограничениям:

· неотрицательность объема перевозок;

· в силу сбалансированности задачи, вся продукция должна быть вывезена от поставщиков и потребности всех потребителей должны быть удовлетворены.

Таким образом, мы имеем следующую модель:

где a i — запасы горючего у i- того поставщика; b j — спрос у j-того потребителя.

В табличном процессоре Microsoft Excel для решения подобных задач предусмотрена надстройка Поиск решения. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, для ее установки нужно выбрать команду Сервис | Надстройки, в появившемся диалоговом окне выбрать Поиск решения и нажать кнопку Ok.

Выполните следующую подготовительную работу для решения транспортной задачи с помощью средства Поиск решения в табличном процессоре Microsoft Excel.

1. Введите в ячейки диапазона B4:D5 стоимости перевозок.

2. Отведите ячейки диапазона B8:D9 под значения неизвестных (объемов перевозок). Ячейки должны быть пустыми!

3. Введите в ячейки диапазона F8:F9 объемы запасов горючего у поставщиков.

4. Введите в ячейки диапазона B11:D11 потребность в горючем у потребителей.

5. В ячейку B14 введите функцию цели: =СУММПРОИЗВ(B4:D5;B8:D9). Сделать это можно при помощи мастера функций выбрав в разделе Математические функцию СУММПРОИЗВи указав необходимый диапазон.

6. В ячейки диапазонов E8:E9 введите формулы вычисляющие объемы запасов у поставщиков, в ячейки диапазона B10:D10 — формулы расчета объемов доставляемого топлива к потребителям.

Ячейка Формула Ячейка Формула
E8 =СУММ(B8:D8) C10 =СУММ(C8:C9)
E9 =СУММ(B9:D9) D10 =СУММ(D8:D9)
B10 =СУММ(B8:B9)

При этом на экране должно отображаться следующее:

7. Выберите в меню Сервис команду Поиск решения и заполните диалоговое окно Поиск решения, как показано на рисунке.

Описание элементов окна Поиск решения смотри здесь

8. Нажмите кнопку Выполнить. Средство Поиск решения найдет оптимальный план поставок горючего и соответствующие ему транспортные расходы

В результате получаем следующее распределение горючего между поставщиками и потребителями:

Поставщики Потребители
A 60 0 90
B 0 70 20

Значение целевой функции составило 10200 денежных единиц.

При этом, экономическая интерпретация результатов будет следующая. Поставщик A перевозит потребителям 1 и 3 — 60 и 90 т горючего соответственно, поставщик В — потребителям 2 и 3 — 70 и 20 т горючего соответственно. При этом затраты на перевозку продукции будут минимальными и составят 10200 денежных единиц.

Процедура поиска решения (solver) предназначена для решения задач по оптимизации, при этом значения исходных ячеек изменяются, оставляя другие данные в указанных пределах. При необходимости получить конкретное значение в определенной ячейке, изменяя всего один параметр, удобнее использовать процедуру подбора параметра (см. раздел «Подбор параметра»).
Для использования процедуры поиска решения на рабочем листе необходимо сначала загрузить надстройку Поиск решения (Solver). При отсутствии файла Solver.xla на жестком диске его необходимо установить. Для этого установите диск, содержащий программу установки Excel 2002, откройте папку X:\PFILES\MSOFFICE\OFFICE\LIBRARY\ и перепишите папку SOLVER в папку Н:\Program Files\Microsoft Office\Office\Library\. Здесь X и H — имена, определяющие устройство CD-ROM и системный каталог соответственно. После этого необходимо перезагрузить приложение Excel. Более подробную информацию о надстройках можно получить в разделе «Надстройки» в главе «Специальные возможности».

Процедура поиска решения предназначена для решения задач по оптимизации, при этом значения исходных ячеек изменяются, оставляя другие данные в указанных пределах. При необходимости получить конкретное значение в определенной ячейке, изменяя всего один параметр, удобнее использовать процедуру подбора параметра (см. раздел «Подбор параметра».)
Для проведения поиска решения на рабочий лист необходимо внести изменяемые ячейки, целевую формулу, результат которой будет оптимизироваться, а также ограничения, которые указывают пределы для решения. В Office 2002 включен файл Solvsamp.xls (находящийся в папке Program Files\Microsoft Office\Office\Samples), представляющий рабочую книгу с примером выполнения процедуры поиска решения. В нем для каждого рабочего листа выбраны целевые и изменяемые ячейки, а также ограничения.

  1. Внесите на рабочий лист изменяемые ячейки, целевую формулу, результат которой будет оптимизироваться, а также ограничения, которые указывают пределы для решения. Ячейки должны быть связаны через формулы. В противном случае изменения в одной ячейке не повлияют на другие.
  2. Выберите команду Сервис (Tools) Поиск решения (Solver). В окне диалога Поиск решения (Solver Parameters) в поле Установить целевую ячейку (Set Target Cell) введите адрес или имя целевой ячейки — ячейки, содержащей формулу.
  3. Укажите, на какой результат следует ориентироваться при поиске решения: Максимальному значению (Max), Минимальному значению (Min) или Значению (Value of). В последнем случае укажите конкретное значение в текстовом поле.
  4. В поле Изменяя ячейки (By changing cells) следует ввести адреса или имена для всех влияющих ячеек, разделяя несмежные ячейки запятыми.
  5. Чтобы дать возможность надстройке автоматически составить список изменяемых ячеек, нажмите кнопку Пред-положить (Guess).
  6. В поле Ограничения (Subject to the Constraints) введите необходимые условия и нажмите кнопку Выполнить (Solve).
  7. После того как решение найдено, на экране появится окно диалога Результаты поиска решения (Solver Results), в котором будут представлены несколько типов отчетов (см. раздел «Поиск решения: Создание отчета»):
  8. Выделите один или, удерживая клавишу Shift, несколько необходимых типов отчетов и нажмите кнопку OK.

СОВЕТ Чтобы восстановить исходные значения на рабочем листе после завершения работы с надстройкой Поиск решения (Solver), в окне диалога Результаты поиска решения (Solver Results) установите переключатель в положение Восстановить исходные значения (Restore original values).

Источник

Задачи на движение

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

Примеры простых задач.

Задача 1.

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2.

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3.

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Читайте также:  Элитарная народная и массовая культура
Задача 4.

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение:
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5.

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение:
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение:
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления , то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7.

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение:
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8.

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение:
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9.

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10.

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение:
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11.

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение:
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

  1. Основная формула:S=ν*t;
  2. Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
  3. Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов. Получить карточки с задачами разных видов можно по ссылке.

Источник



Решение транспортных задач ЛП в Excel

На этой странице разберем подробные решения транспортной задачи (алгоритм и примеры разных типов) с использованием пакета электронных таблиц MS Excel (надстройка Поиск решения).

Как решить транспортную задачу в Excel

Ручное решение транспортной задачи занимает очень много времени и сил (скажем, даже для учебной задачи типа 3*5 решение может составлять от 4 до 10 страниц расчетов!). Тогда как решение в Эксель для задачи размерности как 3*3, так и 5*7 потребует буквально 10-15 минут и немного опыта (правда, если уже составлена математическая модель).

Использовать можно любую версию программы — 2003, 2007, 2010 и так далее, главное, включить использование надстройки Поиск решения (интерфейс может немного отличаться в разных версиях).

Читайте также:  Вариант 2 закрепление сложной шапки

Алгоритм решения ТЗ в Эксель

  • Составить математическую модель транспортной задачи — то есть получить таблицу со стоимостью перевозок, запасами груза у поставщиков и потребностями потребителей (и, возможно, дополнительными ограничениями).
    математическая модель транспортной задачи
  • Если задача открытая (несбалансированная), то добавить потребителя или поставщика с нулевыми тарифами перевозки.
  • Внести на лист таблицы Excel данную модель в виде матрицы тарифов (затрат).
    данные транспортной задачи в Excel
  • Создать рядом на листе еще одну таблицу, где будут выводиться искомые перевозки (такой же размерности, что и таблица тарифов). Просуммировать перевозки по строкам и столбцам (чтобы сравнивать с аналогичными ячейками — предельными ограничениями задачи — запасами поставщиков и потребностями потребителей).
    таблица перевозок транспортной задачи
  • Ввести в ячейку формулу, подсчитывающую суммарную стоимость перевозок (это число мы должны минимизировать по смыслу транспортной задачи)
    целевая ячейка транспортной задачи в эксель
    В режиме формул таблица будет выглядеть так:
    формулы транспортной задачи в эксель
  • Запустить надстройку Поиск решения и указать а) ячейку, которую мы минимизируем, б) все ограничения на запасы поставщиков и потребности потребителей, в) дополнительные ограничения (иногда бывают запреты перевозок или требования по минимальному объему груза между определенными пунктами, как в данном случае).
    Поиск решения транспортной задачи, внесение ограничений
  • Получить решение транспортной задачи: в целевой ячейке вы увидите минимальную стоимость перевозок (в примере 435), а в таблице перевозок — искомые значения объема перевозимого груза (см. желтые ячейки).
    решение транспортной задачи в Excel
  • Проанализировать решение, если требуется и записать более подробно, например

Минимальные затраты на перевозку составят 435. План перевозок:
Из 1 карьера 10 тонн везем на 1-й участок, 15 тонн на 3-й.
Из 2 карьера 20 тонн везем на 1-й участок.
Из 3 карьера 20 тонн везем на 3-й.
Из 4 карьера 10 тонн везем на 1-й участок, 20 тонн на 2-й, 5 тонн на 3-й.

Транспортные задачи: примеры в Excel

Задача 1. Решить транспортную задачу вручную (методом потенциалов) и в программе Эксель.

Задача 2. Исходные данные задачи приведены схематически: внутри прямоугольника заданы удельные транспортные затраты на перевозку единицы груза, слева указаны мощности поставщиков, а сверху — мощности потребителей.
Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи, найти оптимальный план закрепления поставщиков за потребителями, установить единственность или не единственность оптимального плана, используя Поиск решений.

Задача 3. Имеется 3 нефтеперерабатывающих завода, 4 спиртовых завода, 3 завода по производству синтетического каучука.
Схема кооперационных связей (см. файл).
Далее приведены производственные показатели предприятий.
Также заданы расстояния между предприятиями.
Необходимо найти решение транспортной задачи с ориентацией на спрос СК и минимизацией транспортных суммарных затрат.

Задача 4. Используя метод потенциалов, решить транспортную задачу. Выполнить проверку, используя табличный редактор Microsoft Excel Компания владеет тремя заводами А1, А2, А3. Соответствующие объемы производства равны 600, 300 и 330 единиц продукции. Компания обязалась поставить в города В1, В2, В3 и В4 соответственно 350, 350, 230 и 300 единиц. При заданных в таблице стоимостях перевозок единицы продукции составьте план ее распределения, чтобы общая стоимость перевозок была наименьшей.

Задача 5. Свести задачу к виду ТЗ и решить с помощью надстройки «Поиск решения»
Четыре ремонтные мастерские могут за год отремонтировать соответственно 400, 500, 450 и 550 машин при себестоимости ремонта одной машины в 500, 700, 650 и 600 рублей. Планируется годовая потребность в ремонте пяти автобаз: 550, 350, 300, 375 и 400 машин.
Ремонт машин с 1 автобазы должен осуществляться в 100% случаев силами ремонтных мастерских.
На 4 АБ возможно самостоятельное проведение ремонтных работ (бесплатное) в объеме, не превышающем 8% от планируемой годовой потребности этой мастерской. Платное (на стороне) — совсем не возможно.
Вторая, третья и пятая АБ могут «ремонтироваться» на стороне, стоимость ремонта +трансп.расходы каждой машины в таком случае составит 695 руб.
Дана матрица, характеризующая транспортные расходы на доставку машины с j-й автобазы в i-ю ремонтную мастерскую. Определить минимальную годовую потребность в кредитах на выполнение указанного объема работ по всем автобазам

Источник

Решение текстовых задач с помощью пошагового алгоритма прочтения текста и заполнения таблицы

Решение текстовых задач традиционно представляет собой трудность для учащихся, причем это касается не только младшей, но и средней и старшей школы.
Сложности при выполнении этого вида учебной деятельности для сегодняшних школьников становятся еще более серьезными и распространенными в связи с возросшими проблемами, касающимися освоения навыков чтения, понимания и смыслового анализа текста.

Даже та небольшая статистика, которая собиралась автором по этому вопросу, показывает, что у значительного процента школьников средней школы не сформировано умение читать и понимать текст одновременно. Понятно, что дефицит такого качества чтения делает весьма затруднительным выбор структурированной информации и поиск нужной стратегии при решении, сформулированной в виде сюжетного смыслового текста учебной задачи.

Алгоритм решения текстовых задач, который мы предлагаем нашим ученикам, сложился в ходе длительного опыта преподавания. Мы используем его достаточно эффективно как для сильных, так и для слабых учеников средней и старшей школы.

Сделаем замечание: для учащихся младшей школы настоящий подход является достаточно сложным в своей аналитической части. Но именно в этой возрастной категории максимальное внимание стоило бы уделять выработке и закреплению умения синхронного чтения и понимания. Этот навык оказывается решающим в ходе исследования текста, выделения формулировки задачи и поиска ее решения.

Подход к решению задач, о котором мы будем говорить, эффективен прежде всего при решении задач на движение и задач на совместную работу.
Сначала охарактеризуем стратегию алгоритма в целом, опишем его основные шаги. Затем на примерах нескольких типовых задач покажем, как работает данная методика на практике. И затем попробуем спрогнозировать возможные проблемы и вопросы, возникающие при использовании предлагаемого подхода.

Описание алгоритма

Основные особенности предлагаемого подхода связаны с тем, что главная задача сфокусирована на тщательном прочтении предлагаемого текста. Какие приемы смогут помочь нам сопроводить процесс чтения процессом мышления? Для того, чтобы чтение стало максимально осмысленным, надо, чтобы оно, во-первых, было достаточно медленным, позволяющим осознанно самому слушать читаемый текст, во-вторых, чтобы оно сопровождалось повышенной концентрацией внимания, чему, безусловно, способствует наличие дополнительного задания при чтении, например, по нахождению той или иной информации из текста.
Замедление чтения, выделение и структурирование смысловой информации происходит благодаря, во-первых, чтению задачи по смысловым отрезкам (предложениям или его частям), во-вторых, в связи с одновременным последовательным пошаговым заполнением таблицы, описывающей задачу.

Таблица представляет собой структуризацию информации, представленной в задаче. Благодаря таблице сюжетный текст превращается в информационную структуру со связями заданного вида, что помогает вплотную подойти к составлению уравнения и поиску окончательного решения.

Заполнение таблицы

Таблица для решения задачи имеет три столбца. В задачах на движение это столбцы S, v, t (путь, скорость, время). В задачах на совместную работу это А, р, t (работа, производительность, время). Каждая строчка характеризует объект, движущийся или работающий с определенной скоростью определенное время и проделывающий за это время некоторый путь или некоторую работу. При заполнении каждой строки сначала выбираем и заполняем тот столбец, информация о характеристике которого дана в задаче . Еще один столбец записываем в роли неизвестного (чаще всего – это та характеристика, которую требуется найти в задаче). И, наконец, в третью колонку вписываем формульную связь характеристик из двух уже заполненных столбцов. В задачах на равномерное движение путь, скорость и время связаны формулой S=v•t; в задачах на совместную работу связь работы, производительности и времени выражается формулой А=р•t. В таблице получается столько строчек, сколько раз каждый из объектов задачи действовал (перемещался или работал) или мог бы действовать. Например:

При внимательном, медленном и осмысленном прочтении задачи заполнение таблицы происходит так: читаем часть текста – заполняем первую строчку; читаем следующую часть текста – заполняем вторую строчку, и т.д.
По окончании заполнения таблицы оказывается, что есть часть информации, которая не вошла в таблицу, эта информация дублирует те значения величин в колонках, которые вычисляются в третью очередь, то есть по формуле. Это удвоение информации – и есть возможность для составления уравнения к задаче. Приравнивая формульные данные из таблицы к тому, что об этой же величине говорится в задаче, мы получаем искомое уравнение или систему уравнений, описывающих задачу.

Этапы решения задачи

Таким образом, решение задачи разбивается на несколько этапов и шагов.

  1. Читаем задачу целиком, чтобы уловить сюжет и конечный вопрос.
  2. Рисуем таблицу: 3 колонки, несколько строк…
  3. Читаем первый отрезок текста – заполняем первую строчку…
  4. Читаем следующий отрезок текста, и т.д., пока не заполним все строчки
  5. …в каждой строчке одна величина неизвестна (буква), вторая – взята из условия задачи, третья – находится по формуле;
  6. Находим дополнительную информацию задачи, которая удваивает имеющуюся в таблице;
  7. Составляем уравнение (или систему);
  8. Решаем уравнение
  9. Выписываем найденное решение в виде ответа.

Применение алгоритма при решении задач

Рассмотрим примеры решения задач с помощью описанной технологии.

Читайте также:  Регламент ТО Шкода Рапид по типу двигателя

Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 360 км, выехали одновременно два автомобиля. Через 3 ч оказалось, что первый из них прошел расстояние на 30 км больше, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что на весь путь первый автомобиль затратил на полчаса меньше, чем второй.

Это задача на движение. Требуется найти скорости двух объектов – автомобилей. Формула процесса S = v • t.

Рисуем таблицу. Заполняем ее параллельно с чтением частей текста.

S v t
1 3v v 3
2 3v – 30 v – 10 3
1 360 v 360/v
2 360 v – 10 360/(v – 10)

Шаг 1. Выбор неизвестного, v – скорость первого автомобиля;
Шаг 2. 3 – время первого автомобиля (второе предложение);
Шаг 3. 3v – путь первого автомобиля (по формуле);
Шаг 4. 3 – время второго автомобиля (второе предложение);
Шаг 5. 3v – 30 – путь второго (первый прошел на 30 км больше, чем второй);
Шаг 6. (3v – 30)/3 – скорость второго (по формуле);
Шаг 7. v – скорость первого автомобиля; 360 км – путь первого автомобиля ( по условию);
Шаг 8. 360/v – время первого автомобиля (по формуле);
Шаг 9. v – 10 – скорость второго автомобиля; 360 км – путь второго автомобиля ( по условию);
Шаг 10. 360/(v – 10) – время второго автомобиля (по формуле);

Информация задачи, не вошедшая в таблицу, о том, что на весь путь первый автомобиль затратил времени на полчаса меньше, чем второй, будет использована при составлении уравнения. Таким образом, уравнивать предполагается ВРЕМЯ. Разница между значениями величин в двух нижних ячейках последнего столбца (времени) равна половине, то есть 0,5.

Получаем уравнение: 360/(v – 10) – 360/v = 0,5.

Решение этого уравнения стандартным способом дает нам следующее значение скорости первого автомобиля: v = 85 км/ч.
Скорость второго автомобиля на 10 км/ч меньше, то есть равна 75 км/ч.
Задача решена.

Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

Это задача на совместную работу. Требуется найти время работы каждого из двух работающих комбайнеров. Формула процесса А = р • t.

Рисуем таблицу. Заполняем ее параллельно с чтением частей текста.

A p t
1 1 1/t t
2 1 1/(t + 24) t + 24
1 и 2 вместе 1 1/35 35

Шаг 1. Время работы первого – t;
Шаг 2. Весь объем работы – 1 (то есть работу считаем в частях);
Шаг 3. Производительность первого – 1/t (по формуле);
Шаг 4. Время работы второго t + 24 (по условию задачи);
Шаг 5. Объем работы – такой же – равный 1.
Шаг 6. Производительность второго 1/(t + 24) (по формуле);
Шаг 7. Время совместной работы – 35;
Шаг 8. Объем работы по-прежнему равен 1;
Шаг 9. Производительность совместной работы 1/35 (по формуле).

Информация задачи, не вошедшая в таблицу, о том, что работа за 35 ч выполнялась совместно (это – характеристика скорости работы, она равна сумме скоростей работ поодиночке), будет использована при составлении уравнения. Иными словами, уравнивать в данном случае предполагается ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ. Сумма производительностей работы в одиночку равна совместной производительности.

Получаем уравнение: 1/t + 1/(t + 24) = 1/35;

Это уравнение легко решается и приводит к ответу:
Производительность первого равна 1/60, а второго – 1/84.
Таким образом, первый выполнит всю работу в одиночку за 60 ч, а второй – за 84 ч.
Задача решена.

Выводы

Мы рассмотрели достаточно подробно алгоритм решения текстовых задач. Попробуем подвести некоторые итоги.

Каковы сложности в применении данного подхода? Насколько легко он воспринимается детьми? Можно ли оценить степень его эффективности? Пользуются ли учащиеся данным способом составления уравнений по тексту при самостоятельной работе, когда он свободны в выборе приема поиска решения?

Проанализируем рассмотренный алгоритм с точки зрения ответов на поставленные вопросы.

  1. Описанный здесь способ решения помимо формальной стороны (заполнение таблицы определенным образом) имеет неформальную составляющую: медленное прочтение текста задачи, разбитого на части, и его осмысление . Неформальный момент затрудняет освоение метода.
  2. С другой стороны, наличие не только алгоритмики в приеме решения, но и размышления, осознания представленной в тексте информации, способствует формированию чрезвычайно важного сегодня навыка осмысленного чтения, понимания слова, умения выразить словом свою мысль.
  3. Помимо прямой цели – решить задачу – в этой учебной деятельности присутствует еще одна цель, неявная, но от этого не менее значимая: научиться медленно и осмысленно читать слова текста.
  4. Следует отметить, что учиться разбивать текст на смысловые части – это отдельная учебная задача, которую удобно решать при работе в группах.
  5. Отметим, что не любой способ заполнения таблицы становится эффективным при дальнейшем составлении уравнения. Именно пошаговое алгоритмизированное заполнение таблицы помогает четко выделить ту величину, вариация которой будет записана как уравнение. Исключается возможность приравнивания разноименных величин, например, часов к километрам
  6. Обратим внимание на то, что большинство детей, освоивших предлагаемый прием работы с текстовыми задачами, используют его и при самостоятельном поиске решения задачи.
  7. Освоение представленного алгоритма развивает в ученике навык работы с письменным текстом, учит анализировать данные, логически структурировать информацию, выбирать главное. Данный подход способствует не только научению решать задачи, но и повышает качество учебной деятельности в целом.

Источник

Схемы задач на движение. Разные типы задач. Решение

Как составить схемы задач на движение от простого к сложному

Схемы задач на движение очень просто нарисовать. Они помогают представить наглядно условие задачи и найти верное решение. В дополнение к схеме в сложных случаях или когда ученик затрудняется с решением рекомендуется рисовать таблицу, где в шапке параметры скорости, времени и расстояния. Об этом подробнее ниже.

  1. Простые задачи на движение
  2. Решение
  3. Обратные задачи на движение
  4. Как найти скорость, если известно время и расстояние
  5. Как найти время, когда известны скорость и расстояние
  6. Схемы задач на встречное движение
  7. Решение
  8. Задачи на движение в одном направлении

Простые задачи на движение

Простые задачи про путников, лыжников, мотоциклистов и другие движущиеся объекты (встречаются даже задачки про черепах) начинают решать еще в начальных классах. Именно на этих примерах удобно разбирать составление схем.

Задача 1. Пешеход вышел из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Через 3 часа он добрался до пункта Б. Какое расстояние между этими двумя пунктами?

Рисуем схему к задаче: прямая линия, соединяющая точки А и Б — это весь путь. Стрелкой обозначаем направление движения путника. Над стрелкой отмечаем скорость, если известна. Время или расстояние отмечаем под (или над) отрезком:

схемы к задачам на движение 2, 3, 4 классы

Если со схемой вы не смогли решить задачу, то предлагаю вам воспользоваться таблицей:

скорость время расстояние
5 км/ч 3 ч ? км

Чтобы решать с помощью таблицы, запомните правила:

  • Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время: S = V x t
  • Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время, (это производное из первой формулы:
    V = S : t )
  • чтобы найти время, необходимо расстояние разделить на скорость. (также просто вывести из первой формулы:
    t = S : t

Решение

5 х 3 = 15 км — расстояние между пунктами А и Б

Обратные задачи на движение

Как найти скорость, если известно время и расстояние

Чтобы не путать вас разными условиями задачи состав задачу, обратную первому примеру:

Задача 2. Расстояние между пунктами А и Б равно 15 км. Путник преодолел это расстояние за 3 часа. С какой скоростью шел пешеход?

Обратные задачи на движение. Схема

скорость время расстояние
? км/ч 3 ч 15 км

Как найти время, когда известны скорость и расстояние

Задача 3. Расстояние между пунктами 15 км. Пешеход шел со скоростью 5 км/ч. За какое время пешеход преодолеет весь путь?

как найти время по расстоянию и скорости

Скорость время расстояние
5 км/ч ? ч 15 км

Схемы задач на встречное движение

Чтобы начертить встречное движение, мы рисуем стрелочки из двух пунктов навстречу. Флажком обозначаем место встречи

Когда задачи со встречным или удаляющимся движением — это задачи на общую скорость. Скоро будет подробный урок о них на моем сайте.

Задача 4. Два пешехода вышли одновременно из пунктов А и Б навстречу друг другу. Скорость одного — 5 км/ч, другого — 3 км/ч. Через какое время они встретятся, если известно, что расстояние между пунктами 24 км?

Схема задачи на встречное движение

Решение

5 + 3 =8 км/ч — общая скорость

Задачи на движение в одном направлении

Задача 5. Два пешехода вышли из пунктов А и Б одновременно в одном направлении. Пешеход, который шел впереди, двигался со скоростью 3 км/ч, а второй — со скоростью 5 км/ч. Через какое время второй пешеход догонит первого, если расстояние между пунктами 2 км?

Здесь нужно выяснить скорость сближения. Так как один пешеход шел быстрее второго, то расстояние между ними сокращалось на 2 км/ч (мы посчитали так: 5 — 3 = 2 км/ч). Так как первоначальное расстояние между пунктами 2 км, то найдем время:

Источник