Меню

Все интегралы таблица шпора



Таблица интегралов

  • Основные формулы интегралов
  • Правила интегрирования функций
  • Интегралы элементарных функций
    • Первообразные рациональных функций
    • Логарифмы
    • Экспоненциальные функции
    • Иррациональные функции
    • Тригонометрические функции
    • Гиперболические функции
  • Специальные функции

Основные формулы интегралов

Интегрирование — это процесс нахождения интеграла, что является одной из основных операций математического анализа. При вычислении определенного интеграла определяется площадь криволинейной трапеции, которая ограничивается сверху кривой (графиком заданной функции), снизу осью х, справа и слева вертикальными прямыми, которые параллельны оси y в заданных точках.

Знания основных формул интегрирования помогут взять неопределенный и вычислить определенный интегралы. Решение задач, где используются интегралы всегда начинается с взятия неопределенного интеграла, поэтому в этом разделе представлены основные формулы неопределенных интегралов, где С — это произвольная константа интегрирования, то есть число, которое можно задать, если нам будет известны дополнительные условия, например, значения функции в конкретной точке.

Ниже представлена таблица основных интегралов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  1. \(\int0\times\operatorname dx=C\\ \)
  2. \(\int\operatorname dx=\int1\times\operatorname dx=x+C\;\\\)
  3. \(\int x^n\operatorname dx=\frac>+C\;,\;при\;n\neq-1,\;x>0\\\)
  4. \(dx=\ln\left|\left.x\right|\right.+C\\\)
  5. \(\int a^x\operatorname dx=\frac<\ln\left(a\right)>+C\\\)
  6. \(\int e^x\operatorname dx=e^x+C\\\)
  7. \(\int\sin\left(x\right)\operatorname dx=-\cos\left(x\right)+C\\\)
  8. \(\int\cos\left(x\right)\operatorname dx=\sin\left(x\right)+C\\\)
  9. \(\int\frac<\operatorname dx><\sin<>^2x>=-ctg\left(x\right)+C\\\) \(\int\frac<\operatorname dx><\cos<>^2x>=tg\left(x\right)+C\\\) \( \int\frac<\operatorname dx><\sqrt>=arc\sin\left(\frac xa\right)+C,\;\left|\left.x\right|\;
  10. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1aarctg\left(\frac xa\right)+C\\\) Также к основным формулам относятся два интеграла, которые имеют специальные названия №13 — «Высокий» логарифм, №14 — «Длинный» логарифм:
  11. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1<2a>\ln\left(\left|\left.\frac\right|\right.\right)+C,\;\left|\left.x\right|\neq a\right.\\\)
  12. \(\int\frac<\operatorname dx><\sqrt>=\ln\left(\left|\left.x+\sqrt\right|\right.\right)+C\\\)

Правила интегрирования функций

Для того чтобы взять интеграл, не всегда хватает знания таблицы основных формул, также необходимо знать свойства интегралов и правила интегрирования различных функций.

  1. \(\int c\;f(x)\operatorname dx=c\int\;f(x)\operatorname dx\;\) п о с т о я н н ы й м н о ж и т е л ь ( к о н с т а н т у ) м о ж н о в ы н е с т и з а з н а к и н т е г р а л а
  2. \(\int\lbrack\;f(x)+g(x)\rbrack\operatorname dx=\int\;f(x)\operatorname dx\;+\int\;g(x)\operatorname dx\) и н т е г р а л о т с у м м ы ф у н к ц и й р а в е н с у м м е и н т е г р а л о в э т и х ф у н к ц и й
  3. \(\int\lbrack\;f(x)-g(x)\rbrack\operatorname dx=\int\;f(x)\operatorname dx\;-\int\;g(x)\operatorname dx\) и н т е г р а л о т р а з н о с т и ф у н к ц и й р а в е н р а з н о с т и и н т е г р а л о в э т и х ф у н к ц и й
  4. \(\int\;u\operatorname dv\;=uv-\int v\operatorname du\) п р а в и л о и н т е г р и р о в а н и я п о ч а с т я м , г д е u = f ( x ) , v = g ( x )

Метод замены переменной помогает упростить сложные интегралы и свести их либо к более простым, либо к табличным значениям, которые можно сразу проинтегрировать и вычислить значения, если нам известны пределы интегрирования (для определенного интеграла). Он производится двумя способами: подведение функции под знак дифференциала и собственно замена переменной.

Интегралы элементарных функций

Первообразные рациональных функций

  1. \(\int x^n\operatorname dx=\frac>+C\;(n\neq-1)\)
  2. \(\int\frac<\operatorname dx>x=\ln\left(\left|\left.x\right|\right.\right)+C\)
  3. \(\int\frac=\frac1a\ln\left(\left|\left.ax+b\right|\right.\right)+C\)
  4. \(\int\frac\operatorname dx=\frac acx+\frac\ln\left(\left|\left.cx+d\right|\right.\right)+C\)
  5. \(\int\left(ax+b\right)^n\operatorname dx=\frac<\left(ax+b\right)^>+C,\;n\neq-1\;\)
  6. \(\int\frac<\operatorname dx><\left(x+a\right)\left(x+b\right)>=\frac1\ln\left(\left|\left.\frac\right|\right.\right)+C\)
  7. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1<2a>\ln\left(\left|\left.\frac\right|\right.\right)+C\)
  8. \(\int\frac<\left(x+a\right)\left(x+b\right)>=\frac1\left(a\ln\left|x+a\right|-b\ln\left|x+b\right|\right)+C\)
  9. \(\int\frac=\frac12\ln\left|x^2-a^2\right|+C\)
  10. \(\int\frac=\frac12\ln\left|x^2+a^2\right|+C\)
  11. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1aarctg\left(\frac xa\right)+C\)
  12. \(\int\frac<\left(x^2+a^2\right)^2>=-\frac12\frac1+C\)
  13. \(\int\frac<\left(x^2+a^2\right)^3>=-\frac14\frac1<\left(x^2+a^2\right)^2>+C\)
  14. \(\int\frac<\left(x^2+a^2\right)^2>=-\frac1<2a^2>\frac x+\frac1<2a^3>arctg\left(\frac xa\right)+C\)
  15. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1<\sqrt>\ln\left(\left|\frac<2ax+b-\sqrt><2ax+b+\sqrt>\right|\right)+C,\;при\;(b^2-4ac>0)\)
  16. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1<\sqrt<4ac-b^2>>arctg\left(\frac<2ax+b><\sqrt<4ac-b^2>>\right)+C,\;при\;(b^2-4ac
  17. \(\int\frac=\frac1<2a>\ln\left|ax^2+bx+c\right|-\frac b<2a>\int\frac<\operatorname dx>\)
  18. \(\int\frac=\frac1\left(ax+b-b\ln\left|ax+b\right|\right)+C\)
  19. \(\int\frac=\frac1\left(\frac12\left(ax+b\right)^2-2b\left(ax+b\right)+b^2\ln\left(\left|ax+b\right|\right)\right)+C\)
  20. \(\int\frac<\left(ax+b\right)^2>=\frac1\left(ax+b-2b\ln\left(\left|ax+b\right|\right)-\frac\right)+C\)
  21. \(\int\frac<\left(ax+b\right)^2>=\frac1\left(\ln\left(\left|ax+b\right|\right)-\frac b\right)+C\)
  22. \(\int\frac<\operatorname dx>=-\frac1+\frac a\ln\left(\left|\fracx\right|\right)+C\)
  23. \(\int\frac<\operatorname dx>=\frac1b\ln\left(\left|\fracx\right|\right)+C\)

Логарифмы

Основные интегралы с логарифмическими функциями, которые нужно знать:

  1. \(\int\ln\left(x\right)\operatorname dx=x\ln\left(x\right)-x+C\)
  2. \(\int\frac<\operatorname dx>=\ln\left|\ln x\right|+C\)
  3. \(\int\log_b\left(x\right)\operatorname dx=x\log_b\left(x\right)-x\log_b\left(e\right)+C=x\frac<\ln\left(x\right)-1><\ln\left(b\right)>+C\)

Также рассмотрим частные случаи интегрирования логарифмических функций, примером могут служить такие интегралы:

  1. \(\int\left(\ln\;x\right)^2\operatorname dx=x\left(\ln\;x\right)^2-2x\;ln\;x+2x+C\)
  2. \(\int\left(\ln\;сx\right)^n\operatorname dx=x\left(\ln\;cx\right)^n-n\int\left(\ln\;cx\right)^\operatorname dx+C\)
  3. \(\int\frac<\left(\ln\;x\right)^n\operatorname dx>=\frac<\left(\ln\;x\right)^>+C,\;при\;n\neq-1\)
  4. \(\int\sin\left(\ln\;x\right)\operatorname dx=\frac x2\left(\sin\left(\ln\;x\right)-\cos\left(\ln\;x\right)\right)+C\)
  5. \(\int\cos\left(\ln\;x\right)\operatorname dx=\frac x2\left(\sin\left(\ln\;x\right)+\cos\left(\ln\;x\right)\right)+C\)

Источник

ЕГЭ формулы, шпаргалки — Свойства определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла.

3. Если функция f( x) интегрируема на [ a , b ], то

4. Если функция f( x) интегрируема на [ a , b ], то и функция | f (x)| интегрируема на [ a , b ] и

5. Если функция f( x) интегрируема на [ a, b], то и функция kf (x) (k = const) интегрируема на [ a , b ] и

6. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на [ a , b ], то и функции f (x) + g(x) и f (x) ⋅ g (x) интегрируемы на [ a , b ] и

Первая теорема о среднем.

Если функции f( x) и g( x) интегрируемы на [ a, b], m — f( x) — M и если g( x) не меняет знак на [ a, b], то существует такое число µ∈ [ m, M], что

Вторая теорема о среднем.

Если функция f (x) непрерывна, а g (x) монотонна и непрерывно дифференцируема на [ a , b ], то существует такое число ξ ∈ [ a , b ], что

Формула Ньютона — Лейбница.

Если функция f (x) определена и непрерывна на [ a , b ] и F ′ (x) = f (x), то

Источник

ЕГЭ формулы, шпаргалки — Свойства определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла.

3. Если функция f( x) интегрируема на [ a , b ], то

4. Если функция f( x) интегрируема на [ a , b ], то и функция | f (x)| интегрируема на [ a , b ] и

5. Если функция f( x) интегрируема на [ a, b], то и функция kf (x) (k = const) интегрируема на [ a , b ] и

6. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на [ a , b ], то и функции f (x) + g(x) и f (x) ⋅ g (x) интегрируемы на [ a , b ] и

Первая теорема о среднем.

Если функции f( x) и g( x) интегрируемы на [ a, b], m — f( x) — M и если g( x) не меняет знак на [ a, b], то существует такое число µ∈ [ m, M], что

Вторая теорема о среднем.

Если функция f (x) непрерывна, а g (x) монотонна и непрерывно дифференцируема на [ a , b ], то существует такое число ξ ∈ [ a , b ], что

Формула Ньютона — Лейбница.

Если функция f (x) определена и непрерывна на [ a , b ] и F ′ (x) = f (x), то

Источник

Таблица производных и первообразных.

Производная Функция Первообразная
f ‘(x) f(x) F(x)
1. C Cx
2. 1 x x 2 _ 2
3. n x n−1 x n x n+1 ____ n+1 , n ≠ −1
4. 1 ___ 2 √x _ x __ *
5. − 1 __ x 2 1 _ x ln x
6. e x e x e x
7. a x ln a a x a x __ ln a
8. 1 _ x ln x *
9. 1 ____ x ln a logax *
10. cos x sin x − cos x
11. − sin x cos x sin x
12. 1 _____ cos 2 x tg x *
13. * 1 _____ cos 2 x tg x
14. − 1 _____ sin 2 x ctg x *
15. * 1 _____ sin 2 x − ctg x
16. 1 _____ √1−x 2 ____ arcsin x *
17. * 1 _____ √1−x 2 ____ arcsin x
18. − 1 _____ √1−x 2 ____ arccos x *
19. 1 _____ 1 + x 2 arctg x *
20. * 1 _____ 1 + x 2 arctg x
21. − 1 _____ 1 + x 2 arcctg x *
Производная Функция Первообразная
\[f'(x)\] \[f(x)\] \[F(x)\]
1. C \[Cx\]
2. 1 \[x\] \[\frac<2>\]
3. \[nx^\] \[x^n\] \[\frac>,\] \(\small\)
4. \[\frac<1><2\sqrt>\] \[\sqrt\] *
5. \[-\frac<1>\] \[\frac<1>\] \[\ln\]
6. \[e^x\] \[e^x\] \[e^x\]
7. \[a^x\ln\] \[a^x\] \[\frac<\ln>\]
8. \[\frac<1>\] \[\ln\] *
9. \[\frac<1>\] \[\log_a\] *
10. \[\cos\] \[\sin\] \[-\cos\]
11. \[-\sin\] \[\cos\] \[\sin\]
12. \[\frac<1><\cos^2>\] \[\mathrmx\] *
13. * \[\frac<1><\cos^2>\] \[\mathrmx\]
14. \[-\frac<1><\sin^2>\] \[\mathrmx\] *
15. * \[\frac<1><\sin^2>\] \[-\mathrmx\]
16. \[\frac<1><\sqrt<1-x^2>>\] \[\arcsin\] *
17. * \[\frac<1><\sqrt<1-x^2>>\] \[\arcsin\]
18. \[-\frac<1><\sqrt<1-x^2>>\] \[\arccos\] *
19. \[\frac<1><1 + x^2>\] \[\mathrmx\] *
20. * \[\frac<1><1 + x^2>\] \[\mathrmx\]
21. \[-\frac<1><1 + x^2>\] \[\mathrmx\] *

таблица производных-первообразных рисунком

Полагаю, что посетитель этой страницы уже не единожды обращался и, скорее всего, пытался выучить наизусть таблицы производных и первообразных основных элементарных функций. Вместо таблицы первообразных Вы могли учить простейшие табличные интегралы, что, фактически, одно и то же. На мой взгляд, для вычисления неопределенных интегралов эффективнее пользоваться совмещенной таблицей, заодно это позволит быстрее её запомнить.

В таблице нет столбика для табличных интегралов по понятным причинам: неопределенный интеграл — совокупность первообразных, отличающихся друг от друга на постоянную величину. Этот столбик отличался бы от предыдущего только добавлением к первообразной одного слагаемого — произвольной постоянной «+ С«. При этом функцию следовало бы поместить под знак интеграла. Всё это несущественно для запоминания формул.

Звёздочки в некоторых ячейках таблицы не означают, что у этой функции нет производной или первообразной. (Хотя такое случается, но не с приведенными элементарными функциями.) Здесь звёздочки заменяют производные и первообразные, которые выражаются композицией функций, а потому не подлежат запоминанию. Напротив, на экзамене вас могут попросить вычислить их, пользуясь, соответственно, правилами дифференцирования или методами интегрирования функций. Примеры вычисления некоторых из них представлены ниже таблицы. Остальные используются для упражнений в разделе о вычислении интегралов.

таблица производных-первообразныхЕсли потребуется распечатать таблицу для использования, то лучше скачать её в формате рисунка. Тогда Вы сможете разместить его на листе формата А4 желаемым способом.

Пример вычисления отсутствующей производной в строке 13.

а) По правилу дифференцирования дроби

б) С использованием свойств степеней

Как показывает практика, большинство студентов предпочитает первый способ, но при этом чаще ошибается в вычислениях. Я рекомендую освоить второй подход, однако производная это тема другой статьи.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 4.

При вычислении использовались непосредственное интегрирование, свойства степенной функции и формулы для её первообразной (строка 3 таблицы).

Итак, одной из первообразных квадратного корня является функция 2xx _ ____ 3 , её можно поместить в таблицу вместо звёздочки в этой строке.

Вообще говоря, все пять верхних строк таблицы относятся к степенным функциям, поэтому их можно было бы заменить одним правилом:

— при дифференцировании степенной функции показатель степени сначала выносится коэффициентом перед ней, затем уменьшается на единицу;
— при интегрировании степенной функции показатель степени сначала увеличивается на единицу, затем сносится в знаменатель дроби.

Последнее верно для любых целых, дробных и отрицательных степеней, кроме n = −1, иначе в знаменатель пришлось бы помещать 0.

Пример вычисления отсутствующей первообразной в строке 8.

int(ln x) = x(ln x - 1) + C

При вычислении использовался метод интегрирования по частям.

В качестве первообразной натурального логарифма в таблицу можно поместить функцию x(ln x − 1).

Почему arccos x отсутствует в столбце первообразных?

Если производная функции arccosx это функция , то по определению первообразная функции это функция arccosx , которая по праву может занять своё место в таблице.
Но с таким же успехом мы можем считать, что это производная функции arcsinx , умноженная на −1, и тогда её первообразной следует считать функцию −arcsinx ?

Действительно, так как arcсosx и −arcsinx отличаются только на константу, то они относятся к одному и тому же неопределенному интегралу, а значит как первообразные взаимозаменяемы. Не имеет смысла учить две формулы, когда достаточно запомнить одну, если вы понимаете смысл происходящего.

arcsinx + arcсosx = π _ 2 ,

так как по сути это два острых угла одного и того же прямоугольного треугольника.
То же самое относится к функции arcctgx.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Источник

Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие « интеграл »

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

математика для чайников интегралы

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

найти интегралы для чайников

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Первообразные элементарных функций

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Определенный интеграл - площадь фигуры

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:


Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа Бари Алибасов и группа

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

как решать определенный интеграл для чайников

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

интегралы начало

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

как решать интегралы для чайников

Свойства определенного интеграла

интегралы для чайников подробно

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

интегралы для чайников подробно

  • При любых точках a, b и с:

высшая математика для чайников интегралы

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Формула Ньютона-Лейбница

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Примеры

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

  • Контрольная работа от 1 дня / от 100 р. Узнать стоимость
  • Дипломная работа от 7 дней / от 7950 р. Узнать стоимость
  • Курсовая работа 5 дней / от 1800 р. Узнать стоимость
  • Реферат от 1 дня / от 700 р. Узнать стоимость

Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Читайте также:  Незаменимый помошник в расстановке приоритетов Таблица Эйзенхауэра