Меню

Выразить интерквартильную широту

Выразить интерквартильную широту

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Проверка на широту и долготу
Здравствуйте. Мне нужно реализовать функцию проверки, является ли входящая строка правильного.

Получить долготу и широту по адресу?
Добрый день! Весь инет перерыл и не нашел решения. Есть база адресов Адреса в таком формате.

Отобразить широту в десятичном формате
Задание из книги Пратта. Собственно выделены слова я не очень то понял( Вот что я написал, а.

Определить местоположение источника (широту, долготу) по сигналу Wi-fi
Всем доброго дня. Задача следующая: необходимо с высокой точностью определить местоположение.

Вложения

IQR-решение2.xlsx (10.1 Кб, 21 просмотров)

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Геокодирование, получить координаты (широту и долготу) введенного адреса
Всем доброго времени суток. Имеется приложение, на форме которого расположена карта. Использую.

Как узнать город, зная его долготу и широту?
Мне понадобилось узнать, какой населенный пункт находится на конкретной географической точке.

Как определить широту, если известно высота солнца в полдень и дата?
Вообще говоря в дни равноденствий есть простая зависимость Ш + ВС = 90° где Ш — широта местности.

Выразить
Вопрос прост, что даже не знаю в какой раздел его опубликовать. Как выразить из k =.

Источник

Нормальное распределение (Гаусса) в Excel

В статье подробно показано, что такое нормальный закон распределения случайной величины и как им пользоваться при решении практически задач.

Нормальное распределение в статистике

История закона насчитывает 300 лет. Первым открывателем стал Абрахам де Муавр, который придумал аппроксимацию биномиального распределения еще 1733 году. Через много лет Карл Фридрих Гаусс (1809 г.) и Пьер-Симон Лаплас (1812 г.) вывели математические функции.

Лаплас также обнаружил замечательную закономерность и сформулировал центральную предельную теорему (ЦПТ), согласно которой сумма большого количества малых и независимых величин имеет нормальное распределение.

Нормальный закон не является фиксированным уравнением зависимости одной переменной от другой. Фиксируется только характер этой зависимости. Конкретная форма распределения задается специальными параметрами. Например, у = аx + b – это уравнение прямой. Однако где конкретно она проходит и под каким наклоном, определяется параметрами а и b. Также и с нормальным распределением. Ясно, что это функция, которая описывает тенденцию высокой концентрации значений около центра, но ее точная форма задается специальными параметрами.

Кривая нормального распределения Гаусса имеет следующий вид.

График плотности нормального распределения

График нормального распределения напоминает колокол, поэтому можно встретить название колоколообразная кривая. У графика имеется «горб» в середине и резкое снижение плотности по краям. В этом заключается суть нормального распределения. Вероятность того, что случайная величина окажется около центра гораздо выше, чем то, что она сильно отклонится от середины.

Различные вероятности у нормально распределенных данных

На рисунке выше изображены два участка под кривой Гаусса: синий и зеленый. Основания, т.е. интервалы, у обоих участков равны. Но заметно отличаются высоты. Синий участок удален от центра, и имеет существенно меньшую высоту, чем зеленый, который находится в самом центре распределения. Следовательно, отличаются и площади, то бишь вероятности попадания в обозначенные интервалы.

Формула нормального распределения (плотности) следующая.

Функция Гаусса

Формула состоит из двух математических констант:

π – число пи 3,142;

е – основание натурального логарифма 2,718;

двух изменяемых параметров, которые задают форму конкретной кривой:

m – математическое ожидание (в различных источниках могут использоваться другие обозначения, например, µ или a);

ну и сама переменная x, для которой высчитывается плотность вероятности.

Конкретная форма нормального распределения зависит от 2-х параметров: математического ожидания (m) и дисперсии ( σ 2 ). Кратко обозначается N(m, σ 2 ) или N(m, σ). Параметр m (матожидание) определяет центр распределения, которому соответствует максимальная высота графика. Дисперсия σ 2 характеризует размах вариации, то есть «размазанность» данных.

Параметр математического ожидания смещает центр распределения вправо или влево, не влияя на саму форму кривой плотности.

А вот дисперсия определяет остроконечность кривой. Когда данные имеют малый разброс, то вся их масса концентрируется у центра. Если же у данных большой разброс, то они «размазываются» по широкому диапазону.

Плотность распределения не имеет прямого практического применения. Для расчета вероятностей нужно проинтегрировать функцию плотности.

Вероятность того, что случайная величина окажется меньше некоторого значения x, определяется функцией нормального распределения:

Функция нормального распределения

Используя математические свойства любого непрерывного распределения, несложно рассчитать и любые другие вероятности, так как

P(a ≤ X 0 =1 и остается рассчитать только соотношение 1 на корень из 2 пи.

Читайте также:  Нормативные показатели температуры горячей воды в квартире

Таким образом, по графику хорошо видно, что значения, имеющие маленькие отклонения от средней, выпадают чаще других, а те, которые сильно отдалены от центра, встречаются значительно реже. Шкала оси абсцисс измеряется в стандартных отклонениях, что позволяет отвязаться от единиц измерения и получить универсальную структуру нормального распределения. Кривая Гаусса для нормированных данных отлично демонстрирует и другие свойства нормального распределения. Например, что оно является симметричным относительно оси ординат. В пределах ±1σ от средней арифметической сконцентрирована большая часть всех значений (прикидываем пока на глазок). В пределах ±2σ находятся большинство данных. В пределах ±3σ находятся почти все данные. Последнее свойство широко известно под названием правило трех сигм для нормального распределения.

Функция стандартного нормального распределения позволяет рассчитывать вероятности.

Функция стандартного нормального распределения

Понятное дело, вручную никто не считает. Все подсчитано и размещено в специальных таблицах, которые есть в конце любого учебника по статистике.

Таблица нормального распределения

Таблицы нормального распределения встречаются двух типов:

— таблица плотности;

— таблица функции (интеграла от плотности).

Таблица плотности используется редко. Тем не менее, посмотрим, как она выглядит. Допустим, нужно получить плотность для z = 1, т.е. плотность значения, отстоящего от матожидания на 1 сигму. Ниже показан кусок таблицы.

Таблица плотности стандартного нормального распределения

В зависимости от организации данных ищем нужное значение по названию столбца и строки. В нашем примере берем строку 1,0 и столбец , т.к. сотых долей нет. Искомое значение равно 0,2420 (0 перед 2420 опущен).

Функция Гаусса симметрична относительно оси ординат. Поэтому φ(z)= φ(-z), т.е. плотность для 1 тождественна плотности для -1, что отчетливо видно на рисунке.

График функции Гаусса

Чтобы не тратить зря бумагу, таблицы печатают только для положительных значений.

На практике чаще используют значения функции стандартного нормального распределения, то есть вероятности для различных z.

В таких таблицах также содержатся только положительные значения. Поэтому для понимания и нахождения любых нужных вероятностей следует знать свойства стандартного нормального распределения.

Функция Ф(z) симметрична относительно своего значения 0,5 (а не оси ординат, как плотность). Отсюда справедливо равенство:

Свойство 1

Это факт показан на картинке:

Свойство нормального распределения 1

Значения функции Ф(-z) и Ф(z) делят график на 3 части. Причем верхняя и нижняя части равны (обозначены галочками). Для того, чтобы дополнить вероятность Ф(z) до 1, достаточно добавить недостающую величину Ф(-z). Получится равенство, указанное чуть выше.

Если нужно отыскать вероятность попадания в интервал (0; z), то есть вероятность отклонения от нуля в положительную сторону до некоторого количества стандартных отклонений, достаточно от значения функции стандартного нормального распределения отнять 0,5:

Свойство 2

Для наглядности можно взглянуть на рисунок.

Свойство нормального распределения 2

На кривой Гаусса, эта же ситуация выглядит как площадь от центра вправо до z.

Свойство нормального распределения 2 на кривой Гаусса

Довольно часто аналитика интересует вероятность отклонения в обе стороны от нуля. А так как функция симметрична относительно центра, предыдущую формулу нужно умножить на 2:

Свойство 3

Свойство нормального распределения 3

Под кривой Гаусса это центральная часть, ограниченная выбранным значением –z слева и z справа.

Свойство нормального распределения 3 на кривой Гаусса

Указанные свойства следует принять во внимание, т.к. табличные значения редко соответствуют интересующему интервалу.

Для облегчения задачи в учебниках обычно публикуют таблицы для функции вида:

Функция стандартного нормального распределения

Если нужна вероятность отклонения в обе стороны от нуля, то, как мы только что убедились, табличное значение для данной функции просто умножается на 2.

Теперь посмотрим на конкретные примеры. Ниже показана таблица стандартного нормального распределения. Найдем табличные значения для трех z: 1,64, 1,96 и 3.

Таблица функции Лапласа

Как понять смысл этих чисел? Начнем с z=1,64, для которого табличное значение составляет 0,4495. Проще всего пояснить смысл на рисунке.

Значение функции Лапласа для z=1,64 в правую сторону

То есть вероятность того, что стандартизованная нормально распределенная случайная величина попадет в интервал от до 1,64, равна 0,4495. При решении задач обычно нужно рассчитать вероятность отклонения в обе стороны, поэтому умножим величину 0,4495 на 2 и получим примерно 0,9. Занимаемая площадь под кривой Гаусса показана ниже.

Значение функции Лапласа для z=1,64 под кривой Гаусса

Таким образом, 90% всех нормально распределенных значений попадает в интервал ±1,64σ от средней арифметической. Я не случайно выбрал значение z=1,64, т.к. окрестность вокруг средней арифметической, занимающая 90% всей площади, иногда используется для проверки статистических гипотез и расчета доверительных интервалов. Если проверяемое значение не попадает в обозначенную область, то его наступление маловероятно (всего 10%).

Для проверки гипотез, однако, чаще используется интервал, накрывающий 95% всех значений. Половина вероятности от 0,95 – это 0,4750 (см. второе выделенное в таблице значение).

Читайте также:  Освой AutoCAD за 40 минут пройдя базовый курс от Максима Фартусова

Значение функции Лапласа для z=1,96 в правую сторону

Для этой вероятности z=1,96. Т.е. в пределах почти ±2σ от средней находится 95% значений. Только 5% выпадают за эти пределы.

Значение функции Лапласа для z=1,96 под кривой Гаусса

Еще одно интересное и часто используемое табличное значение соответствует z=3, оно равно по нашей таблице 0,4986. Умножим на 2 и получим 0,997. Значит, в рамках ±3σ от средней арифметической заключены почти все значения.

Значение функции Лапласа для z=3 под кривой Гаусса

Так выглядит правило 3 сигм для нормального распределения на диаграмме.

С помощью статистических таблиц можно получить любую вероятность. Однако этот метод очень медленный, неудобный и сильно устарел. Сегодня все делается на компьютере. Далее переходим к практике расчетов в Excel.

Нормальное распределение в Excel

В Excel есть несколько функций для подсчета вероятностей или обратных значений нормального распределения.

Функции нормального распределения в Excel

Функция НОРМ.СТ.РАСП

Функция НОРМ.СТ.РАСП предназначена для расчета плотности ϕ( z ) или вероятности Φ(z) по нормированным данным (z).

z – значение стандартизованной переменной

интегральная – если 0, то рассчитывается плотность ϕ( z ) , если 1 – значение функции Ф(z), т.е. вероятность P(Z

Источник



Интерквартильный размах

shemanovskiy

Feb 24, 2018 · 2 min read

Для того, чтобы посчитать интерквартильный размах выборки, нужно сначала найти ее медиану. Перед поиском медианы выборку следуют упорядочить. Если выборка содержит нечетное количество элементов, то центральный элемент и будет медианой. Если выборка содержит четное количество — медианой будет среднее арифметическое двух центральных элементов.

Разберемся, как найти интерквартильный размах для выборки с четным количеством элементов. Для начала ее нужно упорядочить от меньшего к большему:

Медианой в этой выборке будет среднее арифметическое двух центральных элементов:

После того, как найдена медиана всей выборки, ее нужно разделить на две части — левее медианы и правее, и найти медиану каждой половины:

Меди а на всей выборки — это второй квартиль, медианы левой и правой половин — это, соответственно первый (или нижний) и третий (или верхний) квартили:

Интерквартильный размах — это просто разность между третьим и первым квартилями:

В этом случае интерквартильный размах будет равен 14–3 = 11.

Для выборки с нечетным количеством элементов, размах считается практически так же. Разница состоит в том, что медиана выборки (или второй квартиль) — это центральный элемент, а первый и третий квартили считаются как среднее арифметическое двух центральных элементов подвыборок, лежащих слева и справа от медианы всей выборки (не включая саму медиану):

В этом случае интерквартильный размах будет равен 20–3 = 17.

Кстати, первый, второй и третий квартиль еще называются, соответственно, 25-й, 50-й и 75-й перцентиль. Поэтому, когда вам говорят, что уровень зарплаты для вашего грейда считается как 75-й перцентиль от уровня зарплат по рынку, имеют ввиду именно третий квартиль.

Источник

Основы точечного оценивания

date image2015-04-12
views image1736

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Пусть дана выборка объемом n.设给定样本容量n,

Характеристики случайной величины, найденные по выборке называются выборочными характеристиками. Рассмотрим по 4 выборочные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения.点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。通常它们是总体的某个特征值,如数学期望、方差和相关系数等。点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量,作为未知参数或未知参数的函数的估计值。

Точечные оценки математического ожидания:

1. Выборочное среднее (среднее арифметическое):样本平均值

2. Выборочная медиана – вычисляется по формуле (10.2):样本中位数

где квартили вычисляются по формулам (10.4), (10.5).

4. Полусумма экстремальных значений:极端值之和的一半

Точечные оценки средне квадратического отклонения:点估计四分位数均值的偏离

1. Выборочное отклонение:样本偏差

Сначала находят выборочную дисперсию:首先处于样本方差

2. Абсолютное отклонение:绝对偏差

3. Интерквартильная широта:四分位数间距

Основные свойства точечных оценок:点估计的基本性质

1. Состоятельность оценки означает, что с увеличением объема выборки оценка стремится к самой величине. Все рассмотренные выше статистические оценки математического ожидания и отклонения являются состоятельными.

2. Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание оценки равно математическому ожиданию самой величины. Все рассмотренные оценки математического ожидания являются несмещенными, а все оценки отклонения – смещенными. Для получения несмещенных оценок их нормируют. Универсально нормируется только выборочное отклонение, остальные нормировочные коэффициенты зависят от предполагаемого вида закона распределения случайной величины. Несмещенное отклонение вычисляется по формуле:

3. Робастность оценки в узком смысле означает устойчивость к выбросам случайных данных. Робастные оценки не содержат экстремальных элементов выборки.

12.2. Пример решения типового заданияпо теме
«Точечные оценки выборочных числовых характеристик»

Задание № 12.Дана выборка. Найти выборочное среднее, медиану, полусумму квартилей, полусумму экстремальных значений, выборочную дисперсию, выборочное отклонение, абсолютное отклонение, интерквартильную широту, размах. Расположить оценки математического ожидания и отклонения в порядке возрастания. Сделать вывод о степени близости оценок. Указать состоятельность, несмещенность и робастность всех найденных оценок выборочных характеристик. Найти несмещенное выборочное отклонение.给定样本。找出样本平均数,中位数,四分位数之和的一半,极端值之和的一半,样本方差,绝对偏差,四分位数间距,范围。找到升序排列的数学期望估计和偏差,得出接近额度值程度的结论。指出全部指定样本一致性,无偏性,有效性。找出一致估计偏差。

Решение.Объем выборки n=25. Построим вариационный ряд – упорядочим выборку по возрастанию (см. пример в разделе 10).

Найдем точечные оценки математического ожидания:

1. Найдем выборочное среднее по формуле (12.1):

2. Найдем выборочную медиану по формуле (12.2) аналогично примеру в разделе 10: med= 5.

3. Найдем полусумму квартилей по формуле(12.3). Сами квартили находим по аналогии с примером раздела 10: , .

4. Найдем полусумму экстремальных значений по формуле (12.4). Сами экстремальные значения определяются как в примере раздела 10:

Расположим оценки математического ожидания по возрастанию:

Видно, что оценки математического ожидания хорошо согласованы, за исключением, может быть, медианы, значение которой указывает на несимметричный характер распределения значений выборки.

Все оценки математического ожидания являются состоятельными и несмещенными. Робастными будут оценки, при вычислении которых не используются экстремальные значения. Это медиана med, формула (12.2) и полусумма квартилей , формула (12.3).

Найдем точечные оценки средне квадратического отклонения:

1. Выборочную дисперсию находим по формуле ( 12.5):

Выборочное отклонение вычисляется по формуле (12.6):

2. Абсолютное отклонение находим по формуле (12.7):

3. Интерквартильную широту находим по формуле (12.8):

4. Размах находим по формуле (12.9):

Расположим оценки отклонения по возрастанию:

Видно, что не все оценки отклонения хорошо согласованы. Но, во всяком случае, порядок возрастания различных оценок математического ожидания совпадает с порядком возрастания сходственных оценок отклонения (медиана – абсолютное отклонение, выборочное среднее – выборочное отклонение, полусумма квартилей – интерквартильная широта, полусумма экстремальных значений – размах). Кроме того, наиболее грубые из оценок – размах и полусумма экстремальных значений, действительно в наибольшей степени отличаются от группы остальных оценок.

Все оценки отклонения являются состоятельными и смещенными. Несмещенное выборочное отклонение находим по формуле (12.10):

Единственной робастной оценкой отклонения является интерквартильная широта, при вычислении которой не используются экстремальные элементы выборки.

12.3. Задания по теме «Точечные оценки выборочных
числовых характеристик»

Текст задания.Дана выборка.给定样本。

1) Найти выборочное среднее, медиану, полусумму квартилей, полусумму экстремальных значений, выборочную дисперсию, выборочное отклонение, абсолютное отклонение, интерквартильную широту, размах.找出样本平均数,中位数,四分位数之和的一半,极端值之和的一半,样本方差,绝对偏差,四分位数间距,范围。

2) Расположить оценки математического ожидания и отклонения в порядке возрастания. 找到升序排列的数学期望估计和偏差。

3) Сделать вывод о степени близости оценок. 得出接近额度值程度的结论。

4) Указать состоятельность, несмещенность и робастность всех найденных оценок выборочных характеристик. Найти несмещенное выборочное отклонение.指出全部指定样本一致性,无偏性,有效性。找出一致估计偏差。

Таблица 12.1

Варианты задания

12.1. 12.2.
З1
12.3. 12.4.
12.5. 12.6.
12.7. 12.8.
12.9. 12.10.

13.ТОЧНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ
ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТИ

估计概率的准确性与可靠性
(ФОРМУЛА МУАВРА-ЛАПЛАСА)

13.1. Основы интервального оценивания вероятности 区间估计

При больших объемах выборки точность и надежность статистической оценки вероятности связаны формулой Муавра-Лапласа:在大量样本统计估计概率准确性与可靠性是使用拉普拉斯公式:

,(13.1)

гдеФ – функция Лапласа拉普拉斯函数, р – оценка вероятности события А事件概率估计, q = 1 – p, ε – точность оценки вероятности爱侣估计准确性, γ – ее надежность可靠性, n – объем выборки样本容量.

Задавая два из трех параметров ε, γ илиn, можно найти значение третьего по формуле Муавра-Лапласа (13.1). Например, оценить объем выборки, требуемый для достижения заданной точности и надежности исследования.习题给出三个参数中的两个,可以根据拉普拉斯公式得出第三个。

13.2. Пример решения типового задания по теме
«Точность и надежность оценки вероятности»

Задание № 13. Вариант 1.Согласно опросу2500 человек рейтинг кандидата в депутаты муниципального образования оказался 20%. Какова точность этого опроса при его надежности 95%.据2500人问卷调查显示,20%认为市教育受欢迎。这个问卷的可靠性是95%,求准确性。

Решение.Определим значения параметров: n = 2500, γ = 95% = 0,95, р = 20% = 0,2, следовательно, q = 1 – p = 1 0,2 = 0,8.

Тогда формула Муавра-Лапласа (13.1) примет вид: .Это уравнение относительно х, причем функция Лапласа задана таблично в Прил. 2. Подставляя заданное значение надежности оценки, получаем

По таблице Прил. 2 находим аргумент функции Лапласа, соответствующий ее значению 0,475. Это х = 1,96. Запишем соотношение (13.2):

Значит, рейтинг кандидата в депутаты составляет 20%+1,6%.

Задание № 13. Вариант 2.Согласно анализу2000 дипломных работ выяснилось, что 920 из них содержат серьезные грамматические ошибки. Какова надежность этого исследования при его точности 3,5%.据分析2000份毕业论文中有920份有严重的语法错误。如果这个准确性是3,5%,那么求他的可靠性。

Решение.Определим значения параметров: n = 2000, ε = 3,5% = 0,035, р = = 0,46, следовательно, q = 1 – p = 1- 0,46 = 0,64.

Найдем по формуле (13.2):

Из формулы Муавра-Лапласа (13.1) выразим надежность

Значение функции Лапласа найдем по таблице Прил. 2:

Значит, надежность проведенного исследования дипломных работ составляет 99,93%. Как и следовало ожидать, надежность такого исследования близка к 1.

13.3. Задания по теме «Точность и надежность оценки вероятности»习题

Источник