Меню

Закон исключенного третьего 1 страница

Закон исключения третьего с помощью таблиц истинности

Если мы рассматриваем суждение в нераздельном виде, то по-моему противоположным суждением будет суждение которое заведомо имеет значение истинности противоположное исходному суждению. Фактически здесь ЗИТ равносилен требованию определенности истинности суждения. Но интереснее случай, когда рассматриваются суждения в предикатной форме “s есть p”. Т.е. утверждается, что s присуще свойство p. Тогда противоположным можно считать суждение утверждающее, что s не присуще p. Вот здесь определенность истинности суждения уже не влечет ЗИТ. Как такое может быть? Пример: “человеку присуща двуногость” – истинно, “человеку не присуща двуногость” — ложно, OK. Но “кошке присущ белый цвет” – ложно, потому что бывают черные кошки; “кошке не присущ белый цвет” – ложно, потому что бывают белые кошки, ЗИТ не выполняется. Заведомо ЗИТ выполняется в тех случаях, где субъект является индивидом. Собственно это кажется и есть определение индивида.

  • Корвин
  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Комментарии

Аватар пользователя mp_gratchev

Но “кошке присущ белый цвет” – ложно, потому что бывают черные кошки;

У кошки Мурки белая шерсть.

Кошке Мурке присущ белый цвет. (1)

То, что бывают чёрные кошки, не делает утверждение (1) ложным.

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

“кошке присущ белый цвет” – ложно, потому что бывают черные кошки; “кошке не присущ белый цвет” – ложно, потому что бывают белые кошки, ЗИТ не выполняется

У вас НЕправильно сформулированы противоположные суждения. Правильно так:

А: «Всем кошкам присущ белый цвет»

неА: «НЕ всем кошкам присущ белый цвет»

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Аватар пользователя mp_gratchev

А: «Всем кошкам присущ белый цвет» (1)

неА: «НЕ всем кошкам присущ белый цвет» (2)

«Всем не кошкам присущ белый цвет» (3)

«Всем кошкам не присущ белый цвет» (4)

«Всем кошкам присущ не белый цвет» (5)

А. Все белые медведи белого цвета (6)

неА. Все белые медведи черного цвета (7) =Истинно.

А. У белых медведей волосы белого цвета (8) = Иллюзия.

неА. Неверно, что «У белых медведей волосы белого цвета» (9) = Истинно.

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

«Всем не кошкам присущ белый цвет» (3)

А причём тут «не кошки»? В суждении «всем кошкам присущ белый цвет» рассматриваются только кошки.

«Всем кошкам не присущ белый цвет» (4)

«Всем кошкам присущ не белый цвет» (5)

Ну, а эти суждения повторяют смысл суждения «НЕ всем кошкам присущ белый цвет». На мой скромный вкус, из вариантов (2), (4), (5) наиболее удачен (понятен, благозвучен) вариант (2).

А. Все белые медведи белого цвета (6)

неА. Все белые медведи черного цвета (7) =Истинно.

неА составлено НЕверно. Верно так: неА = «НЕ все белые медведи белого цвета»

А. У белых медведей волосы белого цвета (8) = Иллюзия.

Ну, если А — иллюзия, значит А — ложно.

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Аватар пользователя mp_gratchev

При том, что «неА» отрицает всё предложение, а не отдельные слова. Убедились? Отрицание отдельных слов в предложении приводит к абсурду.

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

«неА» отрицает всё предложение, а не отдельные слова.

Именно. А ваше неА отрицает только отдельное слово, а НЕ всё предложение. Всё предложение о кошках, их окраске. А вы своим неА говорите о «не кошках». С тем же бессмысленным успехом можно составить неА и в таком виде «Всем телевизорам присущ белый цвет», где «телевизор» будет отрицанием «кошки».

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Аватар пользователя mp_gratchev

Верно так: неА = «НЕ все белые медведи белого цвета»

Это не про медведя, а сказка про белого бычка*. Ведь только что пояснил, что «неА» отрицает всё предложение, а не его отдельное слово. Ибо сразу появляется третье: ушедшие на материк белые медведи через какое-то время становятся бурыми.

«Ну, если А — иллюзия, значит А — ложно». Капитан очевидность.

Если написано «иллюзия», значит иллюзия. Загляните в толковый словарь!

*) Сказка про белого бычка — постоянно повторяющаяся фраза, выражение, ситуация, разговор, мысль, история, ни на что не влияющая, ничего не меняющая, никак не разрешающая проблему.

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Именно. Моё неА отрицает всё предложение. А всё предложение о том, что ВСЕ белые медведи белого цвета.

Если написано «иллюзия», значит иллюзия.

И. Иллюзия — высказывание ложное. неИллюзия — высказывание истинное. ЗИТ выполняется.

ушедшие на материк белые медведи через какое-то время становятся бурыми

Ага! А белые медведи, ушедшие в Африку, становятся неграми.

Ой фсё, ржунимагу )))

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Аватар пользователя mp_gratchev

Ага! А белые медведи, ушедшие в Африку, становятся неграми.

Они и так негры, только в маскировочных халатах.

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

Аватар пользователя vlopuhin

В законе исключения третьего (вообще то это закон исключенного третьего, что уже не одно и то же) говорится о суждениях? Тогда при чем здесь кошки с медведями? Мне кажется сначала необходимо разобраться именно с суждениями, и уже потом переходить «на кроликов». Для этого предлагаю следующую формулировку закона (ЗИТ): из всех возможных суждений абсолютно противоположными могут быть только и только два. Визуальная аналогия — диаметрально противоположные точки на окружности (сфере): все точки на окружности связаны в одну фигуру, но из всех точек на окружности противоположными могут быть только две, остальные (все третьи) из рассмотрения исключаются, типа близко, да не то. Именно по этому иногда закон исключенного третьего трактуется как принцип минимального действия.

Отсюда имеем, хорошо, если есть/возможна геометрическая визуализация, а если её нет и не предвидится? Тогда в ход идут всякие методы, например, такой:

Если мы рассматриваем суждение в нераздельном виде, то по-моему противоположным суждением будет суждение которое заведомо имеет значение истинности противоположное исходному суждению. Фактически здесь ЗИТ равносилен требованию определенности истинности суждения.

Но всё усугубляется тем, что всякого такого рода «методология» претендует на звание единственно верной логики: логика Аристотеля, логика Гегеля, логика математическая, булева математика и т.д и т.п. . Почему бы нет? Ничего плохого в этом нет, пока оппоненты не переходят на личности. Отсюда два принципа построения логических методов: обезличивание и доступность, что равносильно объективности и проверяемости. Первое, что приходит на ум, это две принципиально разных задачи, соответственно постановки проблемы:

1. Имеем суждение (элемент логики, атом, как уже где то здесь звучало), и необходимо найти противоположное суждение.

2. Имеем два суждения, и необходимо определить их противоположность.

Как это сделать? Понятно, что необходимо проверить эти суждения на соответствие некоторым условиям, вот с этого и начинаются теории — с определения условий. А именно:

. противоположным суждением будет суждение которое заведомо имеет значение истинности противоположное исходному суждению.

Но ведь для этого необходимо знать закон непротиворечия, не так ли? А откуда бы ему взяться, если ещё не получены два противоположных суждения?

Таким образом ставится под сомнение одно из краеугольных утверждений ФЛ: противоположное суждение получается банальным логическим отрицанием. Иногда это возможно и так, но насколько это утверждение абсолютно? И тут же геометрическая (визуальная) аналогия: для того, что бы логическое умножение А на не-А было всегда ноль, необходимо и достаточно, что бы все суждения А располагались на сфере, потому что если это эллипс с двумя центрами, то суждений не-А будет два, и придётся доказывать их эквивалентность. Таким образом возникает вопрос, насколько это верно, когда логика берётся за непосильную для неё задачу генерирования суждений? Можно ли с помощью банальных логических операций получить новое суждение? Нет, формально не-А действительно не совпадает с А, но ведь фактически это профанация! Что там говорит Гедель про полноту формальных теорий? Интерпретировать можно так, что и подтверждается фактически: за полноту теории приходится платить её внутренней противоречивостью. Вот с этого и начинается весь «формальный» бред типа А энд не-А равно ноль. То есть в формальной логике противоречие не определяется, не выводится из действительности, а задаётся через логическое отрицание. Оно возможно и правильно, но насколько соответствует действительности? Спрашивается куда смотрит философия, ведь фактически это её хлеб! То есть уже только тем, что в ЭДЛ М.П.Грачева на ряду с логическим субъектом суждения вводятся в рассмотрение иррациональные субъекты суждений, ЭДЛ достойна тщательного изучения. Иначе откуда ещё взяться суждениям в логике?

  • Для комментирования войдите или зарегистрируйтесь

“кошке присущ белый цвет” – ложно, потому что бывают черные кошки

Источник

Закон исключенного третьего 1 страница

Для доказательства закона исключенного третьего используем таблицу истинности (табл. 6.11).

Читайте также:  Как приготовить топливную смесь для лодочных моторов

Таблица 6.11 — Закон исключенного третьего

Столбец истинности, представляющий левую часть доказываемого тождества, равен константе единицы, что и требовалось доказать.

Для доказательства закона противоречия используем таблицу истинности (табл. 6.12).

Таблица 6.12 — Закон противоречия

Данный закон является двойственным к доказанному выше закону исключенного третьего.

Закон тождества ( свойство констант)

Пример.Для доказательства закона тождества (свойство констант) используем таблицу истинности (табл. 6.13).

Таблица 6.13 — Таблицы истинности тождеств

Докажем закон поглощения (элиминации) аналитически, используя тождества с константами и дистрибутивный закон:

Закон инволюции ( двойного отрицания)

Для доказательства закона инволюции (двойного отрицания)используем таблицу истинности (табл. 6.14).

Таблица 6.14 — Закон двойного отрицания

Законы де Моргана

Для доказательства закона де Морганаиспользуем таблицу истинности (табл. 6.15).

Таблица 6.15 — Доказательство закона де Моргана

Второй закон де Моргана является двойственным первому и, значит, также является верным.

6.8 Контрольные вопросы и задания

1. Какие переменные называются булевыми или логическими переменными?

2. Какая функция называется логической (булевой, переключательной)?

3. Приведите примеры задания (использования) булевых переменных в языках программирования.

4. Как называется совокупность конкретных значений аргументов булевой функции?

5. Сколько элементов-слов содержит -мерный булевый куб?

6. Что представляет собой область определения и область значений булевой функции?

7. Какая булева функция называется полностью определенной?

8. Как определить число всех булевых функций, зависящих от переменных.

9. Перечислите способы задания булевых функций.

10. Что представляет собой таблица истинности (соответствия) булевой функции. Назовите правила её построения.

11. Перечислите булевы функции от одной переменной.

12. Приведите примеры элементарных функций двух переменных.

13. Перечислите основные булевы функции от двух переменных.

14. Каким образом определяется номер булевой функции? Номер интерпретации?

15. Дайте определение формулы для задания булевой функции. Что такое суперпозиция булевых функций?

16. Какие знаки используются при образовании (построении) формул? Какой приоритет определен для операций алгебры логики?

17. Какая запись формул называется инфиксной? Приведите примеры.

18. Чем отличается табличный и формульный способ задания булевых функций? В каких случаях применяется каждый из них?

19. Какие формулы называются равносильными или эквивалентными?

20. Перечислите основные методы определения равносильности формул.

21. Дайте определение двойственной функции.

22. Дайте определение самодвойственной функции.

23. Каким образом формируется таблица истинности двойственной функции?

24. Сформулируйте принцип двойственности булевых функций.

25. Дайте определения двухэлементной булевой алгебры и алгебры логики.

26. Перечислите основные законы булевой алгебры.

27. Каким способом можно доказать законы булевой алгебры.

28. Сформулируйте и запишите тождества для законов булевой алгебры.

Лекция 7. Нормальные формы булевых функций

7.1 Нормальные формы булевых функций, основные понятия

При практическом применении теории булевых функций часто ставится задача поиска наиболее простой (в определенном смысле) формулы среди всех эквивалентных между собой формул, представляющих рассматриваемую булеву функцию.

На примере булевых функций обсудим важное понятие «нормальной формы», то есть синтаксически однозначного способа записи формулы, реализующей заданную функцию. Данный способ основан на рассмотрении представления логических функций в виде суперпозиций функций («и»), («или»), («не»).

Введем понятия, определяющие способ представления формул в виде дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм.

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция любого числа булевых переменных, взятых с отрицанием или без него, в которой каждая переменная встречается не более одного раза. Элементарной конъюнкцией, содержащей ноль переменных, будем считать константу 1.

Элементарными конъюнкциями для функции от одной переменной могут быть , ; для функции от двух переменных — , ; для функции от трех переменных — , , и т.д.

Дизъюнктивной нормальной формой ( ДНФ) называется формула, представленная в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций.

Если булева функция задана формулой в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций, то функция представлена своей дизъюнктивной нормальной формой. ДНФ функции может иметь вид

Члены дизъюнктивной нормальной формы, представляющие собой элементарные конъюнкции букв, называются минтермами -го ранга.

Элементарная конъюнкция является минтермом второго ранга; — минтермом третьего ранга; — минтермом четвертого ранга и т.п.

Конституентой единицы ( минтермом -го ранга) называют булеву функцию аргументов, которая принимает значение, равное 1, только на одной интерпретации (наборе).

Пример.Конституента единицы обращается в единицу только при одном соответствующем ей наборе значений переменных, который получается, если все переменные принять равными единице, а их отрицания — нулю, например, конституенте единицы соответствует набор (0101), а конституенте единицы — набор (110).

7.2 Совершенные нормальные формы булевых функций

Среди множества эквивалентных формул, представляющих выбранную булеву функцию , выделяется одна формула, которая называется совершенной нормальной формой функции . Она имеет регламентированную логическую структуру и однозначно определяется по функции.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой ( СДНФ) функции , содержащей различных переменных, называется дизъюнктивная нормальная форма, обладающая следующими свойствами:

а) в ней нет одинаковых слагаемых;

б) ни одно слагаемое не содержит двух одинаковых множителей;

в) никакое слагаемое не содержит переменной вместе с её отрицанием;

г) в каждом слагаемом содержится в качестве множителя либо переменная , либо её отрицание, где .

Условия а), б), в), г) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы ДНФ была СДНФ.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой ( СДНФ) булевой функции называется формула, представленная в виде дизъюнкции конституент единицы данной функции.

В каждом члене СДНФ представлены все переменные (либо в прямом, либо в инверсном виде).

Всякая булева функция , которая не является тождественным нулем, имеет:

— одну и только одну СДНФ (количество её членов равно количеству единичных значений функции).

Читайте также:  Продукты питания при гастрите с повышенной кислотностью

Элементарной дизъюнкциейназывается дизъюнкция любого числа булевых переменных, взятых с отрицанием или без него, в которой каждая переменная встречается не более одного раза. Элементарной дизъюнкцией, содержащей ноль переменных, будем считать константу 0.

Элементарными дизъюнкциями для функции от одной переменной могут быть , ; для функции от двух переменных — , ; для функции от трех переменных — , , и т.д.

Конъюнктивной нормальной формой ( КНФ) называется формула, представленная в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций.

Конъюнктивная нормальная форма функции может иметь вид

Члены конъюнктивной нормальной формы, представляющие собой элементарные конъюнкции букв, называются макстермами -го ранга.

Пример.Элементарная дизъюнкция является макстермом второго ранга; — макстермом третьего ранга; — макстермом четвертого ранга.

Конституентой нуля ( макстермом -го ранга) называют булеву функцию аргументов, которая принимает значение, равное 0, только на одной интерпретации (наборе).

Конституента нуля обращается в ноль только при одном соответствующем ей наборе значений переменных, который получается, если все переменные принять равными нулю, а их отрицания — единице, например, конституенте нуля соответствует набор (1010), конституенте нуля — набор (001), конституенте нуля — набор (01).

Представим в табл. 7.1 конституенты единицы и нуля, соответствующие интерпретациям функций трех переменных. Для каждой интерпретации функции имеются единственные соответствующие ей конституента единицы и конституента нуля.

Таблица 7.1 — Конституенты единицы и нуля функций трех переменных

Различных конституент единицы и нуля для функции переменных имеется столько же, сколько и интерпретаций этой функции, т.е. .

Совершенной конъюнктивной нормальной формой ( СКНФ) функции , содержащей различных переменных, называется конъюнктивная нормальная форма, обладающая следующими свойствами:

а) в ней нет двух одинаковых множителей;

б) ни один множитель не содержит двух одинаковых слагаемых;

в) ни один множитель не содержит какой-нибудь переменной вместе с её отрицанием;

г) каждый множитель содержит в качестве слагаемого либо переменную , либо её отрицание для любого .

Условия а), б), в), г) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы ДНФ была СДНФ.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой ( СКНФ) булевой функции называется формула, представленная в виде конъюнкции конституент нуля данной функции.

В каждом члене СКНФ представлены все переменные (либо в прямом, либо в инверсном виде).

Всякая булева функция , которая не является тождественной единицей, имеет:

— одну и только одну СКНФ (количество её членов равно количеству единичных значений функции).

Различные нормальные формы (дизъюнктивные и конъюнктивные) можно получить, используя следующие основные подходы, в зависимости от того, каким способом представлена анализируемая булева функция:

— разложить булеву функцию по переменным;

— перейти от табличного представления функции к алгебраическому;

— преобразовать произвольную формулу алгебры логики в нормальную форму, проводя тождественные (эквивалентные) преобразования (используя законы (тождества) алгебры логики).

7.3 Теоремы о разложениях булевой функции по переменным

Рассмотрим теоремы о разложениях булевой функции по переменным. Для упрощения математических выкладок введем двоичный параметр и обозначение следующим образом: ;

Источник



Закон исключённого третьего

Закон исключённого третьего — это один из основных общелогических принципов, согласно которому в процессе рассуждения всякое суждение или истинно, или ложно. Данный закон устанавливает связь между противоречащими друг другу осмысленными высказываниями (в рассуждении, в тексте или теории): одно (и только одно) из них истинно, другое ложно. Относится к четырём так называемым основополагающим логическим законам — закону тождества, закону противоречия, закону исключённого третьего и закону достаточного основания (см. Законы логики), которые подразумевают наиболее общие принципы (или постулаты) теоретического мышления и используются при оперировании понятиями и суждениями, в умозаключениях, доказательствах и опровержениях, и поэтому присутствуют практически во всех логических системах.

Закон исключённого третьего подразумевает, что если истинно A, то не истинно — не-A, либо наоборот, неистинно A и истинно не-A. Здесь буква A обозначает произвольное высказывание. Символически закон выражается формулой:

Третьего не дано, как не дано ещё какого-либо B, которое претендовало бы на выражение истины. Таким образом, само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.

Закон исключённого третьего непосредственно связан с законом противоречия (см. Закон противоречия), согласно которому два взаимно противоречащих высказывания не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении (то есть одно из них должно быть ложным). Оба эти закона были впервые сформулированы Аристотелем в его «Метафизике» (IV, 8); в применении к атрибутивным высказываниям вида «B есть C» они рассматривались также в его «Аналитиках». Впоследствии эти законы наряду с законом тождества («A есть A») были приняты схоластами в качестве основных законов логики. Оригинальная формулировка Аристотеля: «Оба утверждения A и не-A не могут быть одновременно ложны». Наряду с этим, в «Метафизике» встречается (не как закон, а как способ рассуждения) другая формулировка, в настоящее время более употребимая: «Одно из утверждений A или не-A должно быть истинным». Эта формулировка известна как сильный закон исключённого третьего и получила в схоластической логике название tertium non datur.

Аристотель указал также границы применимости tertium non datur, рассмотрев пример неопределённого высказывания: «Завтра будет морское сражение», которое сегодня не истинно и не ложно. Данный пример можно представить в следующем виде:

    Предположим, сегодня истинно, что завтра будет морское сражение. Из этого следует, что не может быть, чтобы завтра не было морского сражения. Следовательно, необходимо, чтобы завтра морское сражение произошло. Подобно этому тезису, если сегодня ложно, что завтра будет морское сражение, то необходимо, чтобы морское сражение завтра не произошло. Но высказывание о том, что завтра произойдёт морское сражение, сегодня истинно или ложно (логический принцип двузначности, в соответствии с которым всякое высказывание является либо истинным, либо ложным, то есть принимает одно из двух возможных истинностных значений — «истинно» и «ложно»). Принцип двузначности предлагает нам выбрать одну из этих двух альтернатив как верную, то есть или необходимо, чтобы морское сражение завтра произошло, или необходимо, чтобы оно завтра не произошло. В самом деле, если сегодня высказано «Завтра будет морское сражение или завтра не будет морского сражения», то это высказывание будет неопределённым, если неопределённы образующие его части. Но утверждение «Завтра будет морское сражение или неверно, что завтра будет морское сражение» будет истинно: если высказывание «Завтра будет морское сражение» неопределённо, то высказывание «Неверно, что завтра будет морское сражение» истинно.

Аристотель считал, что закон исключённого третьего следует ограничить высказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям о неопределённых будущих событиях, то есть к таким, наступление которых в настоящий момент ещё не предопределено, поскольку нет причины ни для того, чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились.

От Аристотеля идёт традиция давать закону исключённого третьего три разные интерпретации:

  1. Логическая интерпретация. Закон понимается как принцип логики о высказываниях и их истинности: или высказывание, или его отрицание должно быть истинным.
  2. Онтологическая интерпретация. Закон понимается как утверждение об устройстве мира: всякий объект или реально существует, или не существует.
  3. Методологическая интерпретация. Закон понимается как принцип методологии научного познания: исследование каждого объекта должно вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно каждого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет.
Читайте также:  Заполните таблицу растения семейство лилейные

Закон исключённого третьего содержит в себе следующие предписания:

  1. Устанавливается альтернативность A и не-A и предлагается сделать выбор между ними по истинностному признаку.
  2. Запрещается выбирать в качестве альтернативы ещё какие-либо суждения.
  3. Устанавливается отношение контрарности (противоположности) между альтернативами таким образом, что одна из них является отрицанием другой.
  4. Трактуется универсальный приём логического мышления, согласно которому противоположное истине есть ложь.

На языке математической логики сильный закон исключённого третьего выражается формулой A ⋁ ¬A, которая часто подменяет его в современных математизированных работах и называется математическим законом исключённого третьего. Но последний не эквивалентен ни сильному закону исключённого третьего, ни аристотелеву закону. В частности, в алгебраической интерпретации со значениями в булевой алгебре выполнены все законы классической логики, но как A, так и ¬A могут быть неистинны. Сильный закон исключённого третьего математически означает полноту используемой теории, что практически недостижимо. Так, в случае рассуждений о бесконечных и неопределённых совокупностях объектов, об изменяющихся, текущих и тому подобных состояниях изучение объекта не всегда способно достичь такой полноты, чтобы на любой вопрос о нём удалось ответить однозначно «да» или «нет».

Сильный закон исключённого третьего оказался тем критическими местом, вокруг которого развивались дискуссии в течение всего времени существования логики как науки. Стоики и эпикурейцы рассматривали логики, несовместимые с законом исключённого третьего (как правило, не замечая разницы между его сильной и формулировкой Аристотеля). Интуиционизм начинался с утверждения о недостоверности сильного закона исключённого третьего, но он опровергает его достаточно тонко, сохраняя слабый закон исключённого третьего и придавая ему точную математическую формулировку: ¬¬ (A ⋁ ¬A), не вводя дополнительных логических значений. Эту формулировку ввёл Л. Брауэр в рамках критики применимости законов классической логики в математике (1908). Впоследствии её назвали брауэровым законом исключённого третьего. Брауэр был убеждён, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключённого третьего, он настаивал на том, что кроме утверждения и его отрицания имеется ещё третья возможность, которую нельзя исключить: она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов. Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которые применимы в математике и это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков. Первое формальное доказательство брауэрова закона дал В. И. Гливенко (1928). Критика Брауэром закона исключённого третьего положила начало новому направлению в формальной логике (см. Логика формальная) — интуиционистской логике. В ней не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны.

В целом, закон исключённого третьего представляется теперь спорным законом логики, более того, в некоторых рассуждениях его следует считать ложным. Общая критика закона (в его сильной форме) сводится к следующим положениям. Он применим для рассмотрения терминов в фиксированной обстановке с фиксированной точки зрения. Он не подходит для меняющейся обстановки и субъективных понятий. Он не допустим даже для терминов, если исследователя интересует не просто доказательство, а построение. Тем не менее, во всех указанных случаях иногда его использование корректно и весьма эффективно, но требует дополнительных обоснований.

Источник

Основополагающий принцип всей математики — закон исключенного третьего. Можно ли от него отказаться?

Приветствую Вас, уважаемые Читатели ! Сегодня хочу предложить Вам погрузиться в пучину классической математической логики и хочу начать с одного из основных её законов — » принципе исключения третьего «, даже, если Вы не слышали о котором, то пользовались в своей жизни не раз. В конце статьи я к тому же расскажу о ветви в математике, в котором от этого закона отказываются. Поехали !

Итак, принцип исключения третьего заключается в том, что среди двух высказываний, одно из которых является отрицанием другого, всегда имеется истинное высказывание, т.е. эти два суждения не могут быть одновременно ложными. На формальном языке данное свойство записывается тождественно истинной формулой:

  • ¬ А ⋁ А, где ¬ — отрицание («не»), а ⋁ — дизъюнкция («или», «+»). Т.е. если одно высказывание истинно (1), а другое является его отрицанием (¬1 = 0), то выражение, составляющее их дизъюнкцию (логическую сумму) ¬1 ⋁ 1 = 0 ⋁ 1 = 1, т.е. тождественно истинно.

Объяснить принцип можно на простом примере. Рассмотрим выражение «Виктор Цой жив». Тогда закон исключенного третьего примет форму истинного высказывания: «Виктор Цой жив или Виктор не жив», тем самым исключая третью ситуацию , когда Цой и жив и не жив.

Однако математика не была бы царицей наук, если бы не нашлось людей, которые и этот не поддающийся сомнению закон, не подвергли обструкции. Речь идет о интуиционистах — последователях математической теории голландского математика Я. Брауэра. С их точки зрения закон исключенного третьего критикуется и не принимается как инструмент логического вывода.

Пример: рассмотрим два определения неких натуральных чисел k и l:

1. k — есть наибольшее простое число, такое, что k-1 — тоже простое число (утверждение А) . Если такого числа нет, то k = 1 (утверждение ¬А) .

2. l — наибольшее просто число, такое, что k-2 — тоже простое (утверждение А) . Если такого числа нет, то l = 1 (утверждение ¬А) .

Есть ли отличие в этих определениях? С точки зрения интуиционистов — глобальное. Если первое определение чёткое и позволяет нам непосредственно вычислить число k=3.

То для второго способа непосредственного вычисления числа k нет, потому что до сих пор не доказано бесконечность простых пар-близнецов (например, 11 и 13, 29 и 31 и т.д.), а значит нет способа их непосредственного вычисления.

Мы не знаем, является ли их количество конечным или бесконечным , поэтому не имеем права делать вообще никакой вывод об определении числа k — ни принимать его равным 1, ни принимать его равным наибольшему k, такому, что k-2 — простое. Иными словами второе утверждение не является определением числа в интуиционистской математической логике.

Логический вывод определения числа k как бы прерывается , натыкаясь на современную недоказанность бесконечности или конечности простых пар-близнецов, хотя казалось бы, по закону исключения третьего, мы во втором случае получаем тождественно истинное высказывание, претендующее на роль определения.

Ну как Вам такая математическая логика? Я думаю, я продолжу рассказывать про интуиционизм, так как тема действительно интересная, а информации о ней на просторах интернета немного. Спасибо за внимание!

  • Читайте огипервещественных числах в моём материале!
  • TELEGRAMиFacebook — там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.

Источник