Меню

Значения t критерия Стьюдента при уровне значимости



Библиотека постов MEDSTATISTIC об анализе медицинских данных

Ещё больше полезной информации в нашем блоге в Инстаграм @medstatistic

Критерии и методы

t-КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОВОКУПНОСТЕЙ

– общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

Уильям Госсет

Уильям Госсет

1. История разработки t-критерия

Данный критерий был разработан Уильямом Сили Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны, статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

2. Для чего используется t-критерий Стьюдента?

t-критерий Стьюдента используется для определения статистической значимости различий средних величин. Может применяться как в случаях сравнения независимых выборок (например, группы больных сахарным диабетом и группы здоровых), так и при сравнении связанных совокупностей (например, средняя частота пульса у одних и тех же пациентов до и после приема антиаритмического препарата). В последнем случае рассчитывается парный t-критерий Стьюдента

3. В каких случаях можно использовать t-критерий Стьюдента?

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. Также имеет значение равенство дисперсий (распределения) сравниваемых групп (гомоскедастичность). При неравных дисперсиях применяется t-критерий в модификации Уэлча (Welch’s t).

При отсутствии нормального распределения сравниваемых выборок вместо t-критерия Стьюдента используются аналогичные методы непараметрической статистики, среди которых наиболее известными является U-критерий Манна — Уитни.

4. Как рассчитать t-критерий Стьюдента?

Для сравнения средних величин t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле:

где М1 — средняя арифметическая первой сравниваемой совокупности (группы), М2 — средняя арифметическая второй сравниваемой совокупности (группы), m1 — средняя ошибка первой средней арифметической, m2 — средняя ошибка второй средней арифметической.

5. Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?

Полученное значение t-критерия Стьюдента необходимо правильно интерпретировать. Для этого нам необходимо знать количество исследуемых в каждой группе (n1 и n2). Находим число степеней свободы f по следующей формуле:

После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p=0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).

Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:

  • Если рассчитанное значение t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.
  • Если значение рассчитанного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.

6. Пример расчета t-критерия Стьюдента

Для изучения эффективности нового препарата железа были выбраны две группы пациентов с анемией. В первой группе пациенты в течение двух недель получали новый препарат, а во второй группе — получали плацебо. После этого было проведено измерение уровня гемоглобина в периферической крови. В первой группе средний уровень гемоглобина составил 115,4±1,2 г/л, а во второй — 103,7±2,3 г/л (данные представлены в формате M±m), сравниваемые совокупности имеют нормальное распределение. При этом численность первой группы составила 34, а второй — 40 пациентов. Необходимо сделать вывод о статистической значимости полученных различий и эффективности нового препарата железа.

Решение: Для оценки значимости различий используем t-критерий Стьюдента, рассчитываемый как разность средних значений, поделенная на сумму квадратов ошибок:

Источник

Проект Extra.im

Критические значения коэффициента Стьюдента (t-критерия) для различной доверительной вероятности p и числа степеней свободы f:

f / p 0.80 0.90 0.95 0.98 0.99 0.995 0.998 0.999
1 3.0770 6.3130 12.7060 31.820 63.656 127.656 318.306 636.619
2 1.8850 2.9200 4.3020 6.964 9.924 14.089 22.327 31.599
3 1.6377 2.35340 3.182 4.540 5.840 7.458 10.214 12.924
4 1.5332 2.13180 2.776 3.746 4.604 5.597 7.173 8.610
5 1.4759 2.01500 2.570 3.649 4.0321 4.773 5.893 6.863
6 1.4390 1.943 2.4460 3.1420 3.7070 4.316 5.2070 5.958
7 1.4149 1.8946 2.3646 2.998 3.4995 4.2293 4.785 5.4079
8 1.3968 1.8596 2.3060 2.8965 3.3554 3.832 4.5008 5.0413
9 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 3.6897 4.2968 4.780
10 1.3720 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 3.5814 4.1437 4.5869
11 1.363 1.795 2.201 2.718 3.105 3.496 4.024 4.437
12 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0845 3.4284 3.929 4.178
13 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.1123 3.3725 3.852 4.220
14 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.976 3.3257 3.787 4.140
15 1.3406 1.7530 2.1314 2.6025 2.9467 3.2860 3.732 4.072
16 1.3360 1.7450 2.1190 2.5830 2.9200 3.2520 3.6860 4.0150
17 1.3334 1.7396 2.1098 2.5668 2.8982 3.2224 3.6458 3.965
18 1.3304 1.7341 2.1009 2.5514 2.8784 3.1966 3.6105 3.9216
19 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 3.1737 3.5794 3.8834
20 1.3253 1.7247 2.08600 2.5280 2.8453 3.1534 3.5518 3.8495
21 1.3230 1.7200 2.2.0790 2.5170 2.8310 3.1350 3.5270 3.8190
22 1.3212 1.7117 2.0739 2.5083 2.8188 3.1188 3.5050 3.7921
23 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.1040 3.4850 3.7676
24 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 3.0905 3.4668 3.7454
25 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.0782 3.4502 3.7251
26 1.315 1.705 2.059 2.478 2.778 3.0660 3.4360 3.7060
27 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.0565 3.4210 3.6896
28 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.0469 3.4082 3.6739
29 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 3.0360 3.3962 3.8494
30 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 3.0298 3.3852 3.6460
32 1.3080 1.6930 2.0360 2.4480 2.7380 3.0140 3.3650 3.6210
34 1.3070 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 3.9520 3.3479 3.6007
36 1.3050 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 9.490 3.3326 3.5821
38 1.3042 1.6860 2.0244 2.4286 2.7116 3.9808 3.3190 3.5657
40 1.303 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 3.9712 3.3069 3.5510
42 1.320 1.682 2.018 2.418 2.6980 2.6930 3.2960 3.5370
44 1.301 1.6802 2.0154 2.4141 2.6923 3.9555 3.2861 3.5258
46 1.300 1.6767 2.0129 2.4102 2.6870 3.9488 3.2771 3.5150
48 1.299 1.6772 2.0106 2.4056 2.6822 3.9426 3.2689 3.5051
50 1.298 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 3.9370 3.2614 3.4060
55 1.2997 1.673 2.0040 2.3960 2.6680 2.9240 3.2560 3.4760
60 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 3.9146 3.2317 3.4602
65 1.2947 1.6686 1.997 2.3851 2.6536 3.9060 3.2204 3.4466
70 1.2938 1.6689 1.9944 2.3808 2.6479 3.8987 3.2108 3.4350
80 1.2820 1.6640 1.9900 2.3730 2.6380 2.8870 3.1950 3.4160
90 1.2910 1.6620 1.9867 2.3885 2.6316 2.8779 3.1833 3.4019
100 1.2901 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 2.8707 3.1737 3.3905
120 1.2888 1.6577 1.9719 2.3578 2.6174 2.8598 3.1595 3.3735
150 1.2872 1.6551 1.9759 2.3515 2.6090 2.8482 3.1455 3.3566
200 1.2858 1.6525 1.9719 2.3451 2.6006 2.8385 3.1315 3.3398
250 1.2849 1.6510 1.9695 2.3414 2.5966 2.8222 3.1232 3.3299
300 1.2844 1.6499 1.9679 2.3388 2.5923 2.8279 3.1176 3.3233
400 1.2837 1.6487 1.9659 2.3357 2.5882 2.8227 3.1107 3.3150
500 1.2830 1.6470 1.9640 2.3330 2.7850 2.8190 3.1060 3.3100

Добавить комментарий Отменить ответ

Разделы

  • Видео и вебинары (7)
  • Интересные места планеты (30)
  • Научные основы (13)
  • Оффлайн исследования (7)
  • Приборы для исследований (5)
  • Статьи об исследованиях (13)
  • Экспедиции по местам Силы (20)

Новые материалы

  • 16-я необъяснимая встреча НОЗП и критика 28.06.2021
  • 18 — 21 июня 2021 26.06.2021
  • 9 — 11 апреля 2021 года 21.04.2021
  • 20 — 21 марта 2021 года 29.03.2021
  • Первый Чемпионат по экстрасенсорике 24.01.2021
  • Телепортация с точки зрения науки 14.11.2020
  • 31 октября — 1 ноября 2020 года 08.11.2020
  • Большой Взрыв, тесты на психокинез и Источник Всего 04.11.2020
  • Магия с точки зрения современной науки 25.10.2020
  • Портал в параллельный мир с точки зрения современной науки 18.10.2020
  • Статьи об исследованиях
  • Видео и вебинары
  • Интересные места планеты
  • Экспедиции
  • Оффлайн исследования
  • Научные основы
Читайте также:  Применение тонеров Булат для для печатающих устройств Brother

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Значения t-критерия Стьюдента при уровне значимости

Практика №1 по дисциплине

«Моделирование и прогнозирование социально-экономических процессов»

«Корреляционный анализ»

Основная задача корреляционного анализа — выявление взаимосвязи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценки парных (частных) коэффициентов корреляции, вычисления и проверки значимости множественных коэффициентов корреляции и детерминации.

С помощью корреляционного анализа решаются следующие задачи:

— отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связи между ними;

— обнаружение ранее неизвестных причинных связей.

Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между параметрами, но устанавливает численное значение этих связей и достоверность суждений об их наличии.

ковариация — это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных, таких, например, как доходности двух ценных бумаг. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.

Ковариация между двумя переменными рассчитывается следующим образом:

где — фактические значения случайных переменных x и y,

Ковариация зависит от единиц, в которых измеряются переменные .

Поэтому для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции.

При проведении корреляционного анализа вся совокупность данных рассматривается как множество переменных (факторов), каждая из которых содержит n –наблюдений; хik – i-ое наблюдение k-ой переменной.

Основными средствами анализа данных являются:

— парные коэффициенты корреляции,

— частные коэффициенты корреляции,

— множественные коэффициенты корреляции.

Коэффициент парной корреляции

Для двух переменных теоретический коэффициент корреляции определяется следующим образом:

где — дисперсии случайных переменных , а их ковариация.

Парный коэффициент корреляции является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменнымии обладает следующими основными свойствами:

— Коэффициент корреляции принимает значение в интервале (-1,+1), или |rxy| 0, α2>0.

Случайные величины Х, Y, можно уменьшать (увеличивать) в α раз, а также вычитать или прибавлять к значениям одно и тоже число β — это не приведет к изменению коэффициента корреляции r.

При r = ±1 случайные величины связаны линейной зависимостью, т.е. .

При r = 0 линейная корреляционная связь отсутствует.

В практических расчетах коэффициент корреляции r генеральной совокупности обычно не известен. По результатам выборки может быть найдена его точечная оценка – выборочный коэффициент корреляции r, так как выборочная совокупность переменных случайна, то в отличие от параметра r , r – случайная величина. Оценкой коэффициента корреляции является выборочный парный коэффициент корреляции:

где — оценки дисперсий величин .

Для оценки значимости коэффициента корреляции применяет­ся t — критерий Стьюдента:

— Фактическое значение этого критерия определяется по формуле:

— Вычисленное по этой формуле значение tнабл сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы.

— Если tнабл > tкр, то полученное значение коэффициента корре­ляции признается значимым (то есть нулевая гипотеза, утвер­ждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). Делается вывод о том, что между исследуемыми перемен­ными есть тесная статистическая взаимосвязь.

— Если значение близко к нулю, связь между переменными слабая.

— Если случайные величины связаны положительной корреляцией, это означает, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать.

— Если случайные величины связаны отрицательной корреляцией, это означает, что при возрастании одной случайной величины, другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Коэффициенты парной корреляции используются для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества m признаков n наблюдений получают матрицу коэффициентов парной корреляции R.

Одной корреляционной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим, в многомерном корреляционном анализе рассматривается две задачи:

1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных (m – 1) величин, включенных в анализ;

2. Определение тесноты связи между величинами при фиксировании или исключении влияния остальных k величин, при k 2 к единице можно сделать вывод о тесноте взаимосвязи случайных величин, но не о ее направлении.

— Коэффициент множественной корреляции может только увеличиваться, если в модель включать дополнительные переменные и не увеличится, если из имеющихся признаков производить исключение.

— Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется путем сравнения расчетного значения критерия Фишера:

, (5)

с табличным Fтабл. Табличное значение критерия определяется заданным уровнем значимости и степенями свободы и .

— Коэффициент R 2 значимо отличается от нуля, если выполняется неравенство

Частный коэффициент корреляции

Если рассматриваемые случайные величины коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других величин. В связи с этим возникает необходимость исследования частной корреляции между величинами при исключении влияния одной или нескольких других случайных величин.

Выборочный частный коэффициент корреляции определяется по формуле:

где – алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы (3).

Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции изменяется от –1 до +1.

Задача №1 (ПРИМЕР РЕШЕНИЯ)

«Вычисление коэффициентов парной, множественной и частной корреляции».

В табл. 1. представлена информация об объёмах продаж и затратах на рекламу одной фирмы, а также индекс потребительских расходов за ряд текущих лет.

Таблица 1

Объем продаж, тыс. руб.-Y 126 137 148 191 274 370 432 445 367 367 321 307 331 345 364 384
Затраты на рекламу — Х1 4 4,8 3,8 8,7 8,2 9,7 14,7 18,7 19,8 10,6 8,6 6,5 12,6 6,5 5,8 5,7
Индекс потребительских расходов, % — X2 100 98,4 101,2 103,5 104,1 107 107,4 108,5 108,3 109,2 110,1 110,7 110,3 111,8 112,3 112,9

1. Построить диаграмму рассеяния (корреляционное поле) для переменных «объёмы продаж» и «индекс потребительских расходов».

2. Определить степень влияния индекса потребительских расходов на объёмы продаж (вычислить коэффициент парной корреляции).

3. Оценить значимость вычисленного коэффициента парной корреляции.

4. Построить матрицу коэффициентов парной корреляции по трем переменным.

5. Найти оценку множественного коэффициента корреляции.

6. Найти оценки коэффициентов частной корреляции.

1) Вытянутость облака точек на диаграмме рассеяния вдоль наклонной прямой позволяет сделать предположение о том, что существует некоторая объективная тенденция прямой линейной связи между значениями переменных x- индекс потребительских расходов и y- объёмы продаж.

Диаграмма рассеяния имеет вид, приведенный на рис.1.

Рис. 1. Диаграмма рассеяния (корреляционное поле).

2) Промежуточные расчеты при вычислении коэффициента корреляции между переменными x- индекс потребительских расходов и y- объёмы продаж приведены в таблице 2.

Средние значения случайных величин Х и Y, которые являются наиболее простыми показателями, характеризующими последовательности и , рассчитаем по формулам:

Дисперсия характеризуют степень разброса значений ( ) вокруг своего среднего ( , соответственно)

Стандартные ошибки случайных величин Х и Y рассчитаем по формулам:

Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле (1):

Таблица 2.

Y X
1 126 100 -180,813 -7,231 1307,500 52,291 32693,160
2 137 98,4 -169,813 -8,831 1499,657 77,991 28836,285
3 148 101,2 -158,813 -6,031 957,838 36,376 25221,410
4 191 103,5 -115,813 -3,731 432,125 13,922 13412,535
5 274 104,1 -32,813 -3,131 102,744 9,805 1076,660
6 370 107 63,188 -0,231 -14,612 0,053 3992,660
7 432 107,4 125,188 0,169 21,125 0,028 15671,910
8 445 108,5 138,188 1,269 175,325 1,610 19095,785
9 367 108,3 60,188 1,069 64,325 1,142 3622,535
10 367 109,2 60,188 1,969 118,494 3,876 3622,535
11 321 110,1 14,188 2,869 40,700 8,230 201,285
12 307 110,7 0,188 3,469 0,650 12,032 0,035
13 331 110,3 24,188 3,069 74,225 9,417 585,035
14 345 111,8 38,188 4,569 174,469 20,873 1458,285
15 364 112,3 57,188 5,069 289,869 25,692 3270,410
16 384 112,9 77,188 5,669 437,557 32,135 5957,910
сумма 4909 1715,7 0,000 0,000 5681,994 305,474 158718,438
среднее 306,8125 107,23125
Читайте также:  Как рассчитываются расстояния между городами

3) Оценим значимость коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем значение t – статистики по формуле Табличное значение критерия Стьюдента равно: tтабл (α = 0,1; k = n – 2 = 14) =1,76 (см. Приложение). Сравнивая числовые значения критериев, видно, что tрасч > tтабл, т.е. полученное значение коэффициента корреляции значимо.

Таким образом, индекс потребительских расходов оказывает весьма высокое влияние на объёмы продаж.

4) Матрица R коэффициентов парной корреляции, вычисленных по формуле (1) для трех факторов будет иметь вид:

Объем реализации Затраты на рекламу Индекс потребительских расходов
1 2 3
Объем реализации 1 1 0,646 0,816
Затраты на рекламу 2 0,646 1 0,273
Индекс потребительских расходов 3 0,816 0,273 1

5) Вычисление множественного коэффициента корреляции y c x1 и x2.

— определитель корреляционной матрицы R равен 0,1304.

— алгебраическое дополнение 1-го диагонального элемента той же матрицы R

6) Вычисление коэффициентов частной корреляции.

где алгебраическое дополнение элемента матрицы R, а алгебраическое дополнение 2-го диагонального элемента :

Коэффициенты частной корреляции можно вычислить, используя коэффициенты парной корреляции:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Значения t-критерия Стьюдента при уровне значимости

Двухсторонний)

Число степеней свободы k

a

Число степеней свободы k

a

Дата добавления: 2018-04-15 ; просмотров: 9139 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

6.1 Параметрические критерии

В группу параметрических критериев методов математической статистики входят методы для вычисления описательных статистик, построения графиков на нормальность распределения, проверка гипотез о при­надлежности двух выборок одной совокупности. Эти методы основыва­ются на предположении о том, что распределение выборок подчиняется нормальному (гауссовому) закону распределения. Среди параметрических критериев статистики нами будут рассмотрены критерий Стьюдента и Фишера.

6.1.1 Методы проверки выборки на нормальность

Чтобы определить, имеем ли мы дело с нормальным распределением, можно применять следующие методы:

1) в пределах осей можно нарисовать полигон частоты (эмпирическую функцию распределения) и кривую нормального распределения на основе данных исследования. Исследуя формы кривой нормального распределения и графика эмпирической функции распределения, можно выяснить те параметры, которыми последняя кривая отличается от первой;

2) вычисляется среднее, медиана и мода и на основе этого определяется отклонение от нормального распределения. Если мода, медиана и среднее арифметическое друг от друга значительно не отличаются, мы имеем дело с нормальным распределением. Если медиана значительно отличается от среднего, то мы имеем дело с асимметричной выборкой.

3) эксцесс кривой распределения должен быть равен 0. Кривые с положительным эксцессом значительно вертикальнее кривой нормального распределения. Кривые с отрицательным эксцессом являются более покатистыми по сравнению с кривой нормального распределения;

4) после определения среднего значения распределения частоты и стандартного oтклонения находят следующие четыре интервала распределения сравнивают их с действительными данными ряда:

а) — к интервалу должно относиться около 25% частоты совокупности,

б) — к интервалу должно относиться около 50% частоты совокупности,

в) — к интервалу должно относиться около 75% частоты совокупности,

г) — к интервалу должно относиться около 100% частоты совокупности.

6.1.2 Критерий Стьюдента ( t-критерий)

Критерий позволяет найти вероятность того, что оба средних значения в выборке относятся к одной и той же совокупности. Данный критерий наиболее часто используется для проверки гипотезы: «Средние двух выборок относятся к одной и той же совокупности».

При использовании критерия можно выделить два случая. В первом случае его применяют для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних двух неза­висимых, несвязанных выборок (так называемый двухвыборочный t-критерий). В этом случае есть контрольная группа и экспериментальная (опытная) группа, количество испытуемых в группах может быть различно.

Во втором случае, когда одна и та же группа объектов порождает числовой матери­ал для проверки гипотез о средних, используется так называемый парный t-критерий. Выборки при этом называют зависимыми, связанными.

а) случай независимых выборок

Статистика критерия для случая несвязанных, независимых выборок равна:

где , — средние арифметические в эксперименталь­ной и контрольной группах,

— стан­дартная ошибка разности средних арифметических. Находится из формулы:

где n 1 и n 2 соответственно величины первой и второй выборки.

Если n 1= n 2, то стандартная ошибка разности средних арифметических будет считаться по формуле:

где n величина выборки.

Подсчет числа степеней свободы осуществля­ется по формуле:

При численном равенстве выборок k = 2 n — 2.

Далее необходимо срав­нить полученное значение t эмп с теоретическим значением t—рас­пределения Стьюдента (см. приложение к учеб­никам статистики). Если t эмп t крит, то гипотеза H принимается, в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

Рассмотрим пример использования t -критерия Стьюдента для несвязных и неравных по численности выборок.

Пример 1 . В двух группах учащихся — экспериментальной и контрольной — получены следующие результаты по учеб­ному предмету (тестовые баллы; см. табл. 1). [1]

Таблица 1. Результаты эксперимента

Первая группа (экспериментальная) N 1=11 человек

Вторая группа (контрольная)

12 14 13 16 11 9 13 15 15 18 14

13 9 11 10 7 6 8 10 11

Общее количество членов выборки: n 1=11, n 2=9.

Расчет средних арифметических: Хср=13,636; Y ср=9,444

Стандартное отклонение: s x=2,460; s y =2,186

По формуле (2) рассчитываем стандартную ошибку разности арифметических средних:

Считаем статистику критерия:

Сравниваем полученное в эксперименте значение t с табличным значением с учетом степеней свободы, равных по формуле (4) числу испытуемых минус два (18).

Табличное значение tкрит равняется 2,1 при допущении возможности риска сделать ошибочное сужде­ние в пяти случаях из ста (уровень значимости=5 % или 0,05).

Если полученное в эксперименте эмпирическое значение t превы­шает табличное, то есть основания принять альтернативную гипотезу (H1) о том, что учащиеся экспериментальной группы показывают в среднем более высокий уровень знаний. В эксперименте t=3,981, табличное t=2,10, 3,981>2,10, откуда следует вывод о преимуществе эксперимен­тального обучения.

Здесь могут возникнуть такие вопросы:

1. Что если полученное в опыте значение t окажется меньше табличного? Тогда надо принять нулевую гипотезу.

2. Доказано ли преимущество экспериментального метода? Не столько доказано, сколько показано, потому что с самого начала допускается риск ошибиться в пяти случаях из ста (р=0,05). Наш эксперимент мог быть одним из этих пяти случаев. Но 95% возможных случаев говорит в пользу альтернативной гипотезы, а это достаточно убедительный аргумент в статистическом доказательстве.

3. Что если в контрольной группе результаты окажутся выше, чем в экспериментальной? Поменяем, например, местами, сделав средней арифметической эксперимен­тальной группы, a — контрольной:

Отсюда следует вывод, что новый метод пока не про­явил себя с хорошей стороны по разным, возможно, при­чинам. Поскольку абсолютное значение 3,9811>2,1, принимается вторая альтернативная гипотеза (Н2) о пре­имуществе традиционного метода.

б) случай связанных (парных) выборок

В случае связанных выборок с равным числом измерений в каждой можно использовать более простую формулу t-критерия Стьюдента.

Вычисление значения t осуществляется по формуле:

где — разности между соответствующими значениями переменной X и переменной У, а d — среднее этих разностей;

Sd вычисляется по следующей формуле:

Число степеней свободы k определяется по формуле k= n -1. Рассмотрим пример использования t -критерия Стьюдента для связных и, очевидно, равных по численности выборок.

Читайте также:  СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ ЛИЧНОСТЬ СУБЪЕКТ И ИНДИВИД

Если t эмп t крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 2. Изучался уровень ориентации учащихся на художественно-эстети­ческие ценности. С целью активизации формирования этой ориентации в экспериментальной группе проводились бе­седы, выставки детских рисунков, были организованы по­сещения музеев и картинных галерей, проведены встречи с музыкантами, художниками и др. Закономерно встает вопрос: какова эффективность проведенной работы? С целью проверки эффективности этой работы до начала эксперимента и после давался тест. Из методических со­ображений в таблице 2 приводятся результаты небольшо­го числа испытуемых. [2]

Таблица 2. Результаты эксперимента

Вспомогательные расчеты

до начала экспери­мента (Х)

экспери­мента (У)

Вначале произведем расчет по формуле:

Затем применим формулу (6), получим:

И, наконец, следует применить формулу (5). Получим:

Число степеней свободы: k =10-1=9 и по таблице При­ложения 1 находим tкрит =2.262, экспериментальное t=6,678, откуда следует возможность принятия альтерна­тивной гипотезы (H1) о достоверных различиях средних арифметических, т. е. делается вывод об эффективности экспериментального воздействия.

В терминах статистических гипотез полученный результат будет звучать так: на 5% уров­не гипотеза Н отклоняется и принимается гипотеза Н1 .

6.1.3 F — критерий Фишера

Критерий Фишера позволяет сравнивать величины выбороч­ных дисперсий двух независимых выборок. Для вычисления Fэмп нуж­но найти отношение дисперсий двух выборок, причем так, что­бы большая по величине дисперсия находилась бы в числителе, а меньшая – в знаменателе. Формула вычисления критерия Фи­шера такова:

где — дисперсии первой и второй выборки соответственно.

Так как, согласно условию критерия, величина числителя должна быть больше или равна величине знаменателя, то значе­ние Fэмп всегда будет больше или равно единице.

Чис­ло степеней свободы определяется также просто:

k 1=nl — 1 для первой выборки (т.е. для той выборки, величина дисперсии которой больше) и k 2= n 2 — 1 для второй выборки.

В Приложе­нии 1 критические значения критерия Фишера находятся по величинам k 1 (верхняя строчка таблицы) и k 2 (левый столбец таблицы).

Если t эмп> t крит, то нулевая гипотеза принимается, в противном случае принимается альтернативная.

Пример 3. В двух третьих классах проводилось тестирование умственного развития по тесту ТУРМШ десяти учащихся. [3] Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос — есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами.

Решение. Для критерия Фишера необходимо сравнить дис­персии тестовых оценок в обоих классах. Резуль­таты тестирования представлены в таблице:

Рассчитав дисперсии для переменных X и Y, получаем:

Тогда по формуле (8) для расчета по F критерию Фишера находим:

По таблице из Приложения 1 для F критерия при степенях свободы в обоих случаях равных k =10 — 1 = 9 находим F крит=3,18 ( c следователь может утверждать, что по степени однородности такого показа­теля, как умственное развитие, имеется различие между выбор­ками из двух классов.

6.2 Непараметрические критерии

Сравнивая на глазок (по процентным соотношениям) результаты до и после какого-либо воздействия, исследователь приходит к заключению, что если наблюдаются различия, то имеет место различие в сравниваемых выборках. Подобный подход категорически неприемлем, так как для процентов нельзя определить уровень достоверности в различиях. Проценты, взятые сами по себе, не дают возможности делать статистически достоверные выводы. Чтобы доказать эффективность какого-либо воздействия, необходимо выявить статистически значимую тенденцию в смещении (сдвиге) показателей. Для решения подобных задач исследователь может использовать ряд критериев различия. Ниже будет рассмотрены непараметрические критерии: критерий знаков и критерий хи-квадрат.

6.2.1 Критерий знаков ( G-критерий)

Критерий предназначен для срав­нения состояния некоторого свойства у членов двух зави­симых выборок на основе измерений, сделанных по шка­ле не ниже ранговой.

Имеется две серии наблюдений над случайными переменными X и У, полученные при рассмотрении двух зависимых выборок. На их основе составлено N пар вида (х i , у i ), где х i , у i — результаты двукратного измерения одного и того же свойства у одного и того же объекта.

В педагогических исследованиях объектами изуче­ния могут служить учащиеся, учителя, администрация школ. При этом х i , у i могут быть, например, балловы­ми оценками, выставленными учителем за двукратное выполнение одной и той же или различных работ одной и той же группой учащихся до и после применения некоторого педагогическою средства.

Элементы каждой пары х i , у i сравниваются между собой по величине, и паре присваивается знак «+», ес­ли х i i , знак «—», если х i > у i и «0», если х i = у i .

Нулевая гипотеза формулируются следующим обра­зом: в состоянии изучаемого свойства нет значимых различий при первичном и вторичном измерениях. Альтернативная гипотеза: законы распределения величин X и У различны, т. е. состояния изучаемого свойства существенно раз­личны в одной и той же совокупности при первичном и вторичном измерениях этого свойства.

Ста­тистика критерия (Т) определяется следую­щим образом:

допустим, что из N пар (х, у,) нашлось несколько пар, в которых значения х i и у i равны. Такие пары обозначаются знаком «0» и при подсчете значения ве­личины Т не учитываются. Предположим, что за вы­четом из числа N числа пар, обозначенных знаком «0», осталось всего n пар. Среди оставшихся n пар подсчита­ем число пар, обозначенных знаком «-», т.е, пары, в которых xi yi . Значение величины Т и равно чис­лу пар со знаком минус.

Нулевая гипотеза принимается на уровне значимости 0,05, если наблю­даемое значение T n — ta , где значение n — ta определя­ется из статистических таблиц для критерия знаков Приложения 2.

Пример 4. Учащиеся выполняли контрольную ра­боту, направленную на проверку усвоения некоторого понятия. Пятнадцати учащимся затем предложили электронное пособие, составленное с целью фор­мирования данного понятия у учащихся с низким уров­нем обучаемости. После изучения пособия учащиеся снова выполняли ту же контрольного работу, которая оценивалась по пятибалльной системе.

Результаты двукратного выполнения ра­боты представляют измерения по шкале по­рядка (пятибалльная шкала). В этих условиях возмож­но применение знакового критерия для выявления тенденции изменения состояния знаний учащихся после изучения пособия, так как выполняются все допуще­ния этого критерия.

Результаты двукратного выполнения работы (в бал­лах) 15 учащимися запишем в форме таблицы (см. табл. 1). [4]

Источник

Оценка значимости коэффициента корреляции

Так как оценка тесноты связи с помощью коэффициента корреляции проводится, как правило, на основе выборочной информации об изучаемом явлении, то возникает вопрос: насколько правомерно наше заключение по выборочным данным о наличии корреляционной связи в генеральной совокупности, из которой была извлечена выборка?

В связи с этим возникает необходимость оценки значимости (существенности) линейного коэффициента корреляции, дающая возможность распространить выводы по результатам выборки на генеральную совокупность. В зависимости от объема выборочной совокупности предлагаются различные методы оценки существенности линейного коэффициента корреляции.

Оценка значимости коэффициента корреляции при малых объемах выборки выполняется с использованием t-критерия Стьюдента. При этом наблюдаемое (фактическое) значение этого критерия определяется по формуле:

Вычисленное по этой формуле значение сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t-критерия Стьюдента с учетом заданного уровня значимости α и числа степеней свободы (n-2).

Если , то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается). И делается вывод, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь.

Если корреляция между случайными величинами:

– положительная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать;

– отрицательная, то при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Источник